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本ページでは…
本ページでは、ゲージ場\(A_\mu\)の正準共役運動量\(\pi^\mu\)
\begin{align}\pi^\nu=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}=F^{\nu0}\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0A_\nu)\pi^\nu-\mathscr L)\end{align*}
によってプロカ方程式におけるハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2+\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2\right)\end{align*}
を求める。
前ページまで…
前ページでは、プロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu} +m^2A^\nu=0\end{align*}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性を持つがゲージ不変性は持たないことを確かめた。
内容
ゲージ場の正準共役運動量
場の理論における正準共役運動量\(\pi^\nu\)は
\begin{align*}\pi^\nu=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}\tag{1}\end{align*}
であった(以前のページを参照)ため、プロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{2}\end{align}
を代入すると
\begin{align}\pi^\nu=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}=F^{\nu0}\tag{3}\end{align}
\begin{align}\pi^\nu&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}\\&=-\frac{1}{4}\frac{\partial (F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma})}{\partial\partial_0A_\nu}\\&=-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\frac{\partial (F_{\rho\gamma}F_{\kappa\tau})}{\partial\partial_0A_\nu}\\&=-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left(\frac{\partial F_{\rho\gamma}}{\partial\partial_0A_\nu}F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}\frac{\partial F_{\kappa\tau}}{\partial\partial_0A_\nu}\right)\\&=-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left\{(\delta_\rho{}^0\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^0\delta_\rho{}^\nu)F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\delta_\kappa{}^0\delta_\tau{}^\nu-\delta_\tau{}^0\delta_\kappa{}^\nu)\right\}\\&=-\frac{1}{4}\left\{(\eta^{0\kappa}\eta^{\nu\tau}-\eta^{\nu\kappa}\eta^{0\tau})F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\eta^{\rho0}\eta^{\gamma\nu}-\eta^{\rho\nu}\eta^{\gamma0})\right\}\\&=-\frac{1}{4}(F^{0\nu}-F^{\nu0}+F^{0\nu }-F^{\nu0})\\&=F^{\nu0}\end{align}
3行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\rho\kappa}\),\(\eta^{\gamma\tau}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、4行目への変形では積の微分公式を用い、5行目への変形では電磁場テンソル\(F_{\rho\gamma}\)の微分
\begin{align*}\frac{\partial\left(F_{\rho\gamma}\right)}{\partial \partial_0 A_\nu}&=\frac{\partial\left(\partial_\rho A_\gamma\right)}{\partial \partial_0 A_\nu}-\frac{\partial\left(\partial_\gamma A_\rho\right)}{\partial \partial_0 A_\nu}\\&=\delta_\rho{}^0\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^0\delta_\rho{}^\nu\end{align*}
を行ない、7行目への変形では電磁場テンソルの反対称性(以前のページを参照)
\begin{align*}F^{0\nu}=-F^{\nu 0}\end{align*}
を用いた。
となり、ゲージ場\(A_\nu\)の正準共役運動量\(\pi^\nu\)が得られる。これは、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)から求めたゲージ場\(A_\nu\)の正準共役運動量\(\pi^\nu\)と同じである(以前のページを参照)。
ここで、電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)は
\begin{align*}F^{\mu\nu}&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\tag{4}\end{align*}
であるため、ゲージ場\(A_0\)の正準共役運動量\(\pi^0\)はゼロになってしまうことが分かる。これは、ラグランジアン密度に\(A^0\)の時間の2階微分が含まれておらず、\(A^0\)を自由度として捉えることができないからである(前々ページを参照)。
ルジャンドル変換
場の理論におけるルジャンドル変換は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0A_\nu)\pi^\nu-\mathscr L)\tag{5}\end{align*}
であった(以前のページを参照)ため、プロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)を代入すると
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2-\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\right)\tag{6}\end{align*}
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0A_\nu)\pi^\nu-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left((\partial^0A_\nu)\pi^\nu+\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\right)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left((\partial^0A_0)\pi^0+(\partial^0A_k)\pi^k+\frac{1}{4}F_{00}F^{00}+\frac{1}{4}F_{k0}F^{k0}+\frac{1}{4}F_{0k}F^{0k}+\frac{1}{4}F_{kl}F^{kl}-\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\right)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left((\partial^0A_k)\pi^k+\frac{1}{2}F_{k0}F^{k0}+\frac{1}{4}F_{km}F^{km}-\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\right)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2-\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\right)\end{align*}
3行目への変形では添え字\(\mu\),\(\nu\)を時間成分と空間成分(\(k,m=1,2,3\))に分け、4行目への変形では正準共役運動量\(\pi^0\)と電磁場テンソル\(F_{00}\),\(F^{00}\)がゼロであること、そして、電磁場テンソル\(F_{k0}\),\(F^{k0}\)の反対称性を用いた。また、5行目への変形では次の4式を用いた。
※※※
\begin{align*}(\partial^0A_k)\pi^k&=\eta_{km}(\partial^0A^m)\pi^k\\&=\eta_{km}(\partial^0A^m-\partial^m A^0+\partial^m A^0)\pi^k\\&=\eta_{km}(F^{0m}+\partial^m A^0)\pi^k\\&=\eta_{km}(-F^{m0}+\partial^m A^0)\pi^k\\&=\eta_{km}(-\pi^m+\partial^m A^0)\pi^k\\&=\boldsymbol \pi^2+\pi^k\partial_kA^0\\&=\boldsymbol \pi^2+\pi^k\partial_kA_0\\&=\boldsymbol \pi^2+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\end{align*}
上式において、3行目への変形では電磁場テンソルの定義を用い、4行目への変形では電磁場テンソルの反対称性を用い、5行目への変形では正準共役運動量\(\pi^m\)の定義を用い、6行目への変形では計量テンソルの空間成分\(\eta_{km}\)は対角成分のみ\(-1\)の値を持つ性質を用い、正準共役運動量を\(\boldsymbol\pi=(\pi^1,\pi^2,\pi^3)\)と定義した。また、7行目への変形では\(A^0=A_0\)を用いた。
※※※
\begin{align*}\frac{1}{2}F_{k0}F^{k0}&=\frac{1}{2}\eta_{00}\eta_{km}F^{m0}F^{k0}\\&=\frac{1}{2}\eta_{00}\eta_{km}\pi^{m}\pi^{k}\\&=-\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2\end{align*}
上式において、2行目への変形では正準共役運動量\(\pi^k\),\(\pi^m\)の定義を用い、3行目への変形では計量テンソルの時間成分\(\eta_{00}\)が\(1\)である性質と、計量テンソルの空間成分\(\eta_{km}\)が対角成分のみ\(-1\)の値を持つ性質を用い、正準共役運動量を\(\boldsymbol\pi=(\pi^1,\pi^2,\pi^3)\)と定義した。
※※※
\begin{align*}\frac{1}{4}F_{kl}F^{kl}&=\frac{1}{4}\eta^{km}\eta^{ln}F_{kl}F_{mn}\\&=\frac{1}{4}\eta^{km}\eta^{ln}(\partial_k A_l-\partial_l A_k)(\partial_m A_n-\partial_n A_m)\\&=\frac{1}{4}\eta^{km}\eta^{ln}(-\partial_k A^l+\partial_l A^k)(-\partial_m A^n+\partial_n A^m)\\&=\frac{1}{2}(\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A)^2\end{align*}
上式において、2行目への変形では電磁場テンソルの定義を用い、3行目への変形では\(A_l=-A^l\)であることを用い、4行目への変形では計量テンソルの空間成分\(\eta^{km}\)が対角成分のみ\(-1\)の値を持つ性質と次の関係
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A&=(\partial_2A^3-\partial_3A^2,\partial_3A^1-\partial_1A^3,\partial_1A^2-\partial_2A^1)\\\boldsymbol A&=(A^1,A^2,A^3)\end{align*}
を用いた。1点注意だが、4行目への変形においてアインシュタインの縮約記法をベクトルで表すとき、\(2(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2\)が現れて係数は\(1/4\)から\(1/2\)に変わっている。
※※※
\begin{align*}-\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu&=-\frac{m^2}{2}A_0A^0-\frac{m^2}{2}A_iA^i\\&=-\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2\end{align*}
上式において3行目への変形では
\begin{align*}A^0&=A_0 \\\boldsymbol A&=(A^1,A^2,A^3)\\&=-(A_1,A_2,A_3)\end{align*}
を用いた。
となり、ハミルトニアン\(H\)が得られる。また、ハミルトニアン\(H\)とハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の関係は
\begin{align*}H=\int dx^3\ \mathscr H\tag{7}\end{align*}
であったため、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)は
\begin{align*}\mathscr H=\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2-\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\tag{8}\end{align*}
となることが分かる。
以前のページで、プロカ方程式とクライン-ゴルドン方程式は等価であると述べたため、プロカ方程式におけるハミルトニアン\(H\)とクライン-ゴルドン方程式におけるハミルトニアン\(H\)(以前のページを参照)は同じものになるのではと思うかもしれない。しかし、プロカ方程式の解であるゲージ場\(A^\nu\)はプロカ方程式を満たすと同時に制約\(\partial_\nu A^\nu=0\)も満たさなければならないため、ハミルトニアン\(H\)は同じものにならない。
マクスウェル方程式の導出
場の理論における正準方程式は
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial A_\nu(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_iA_\nu(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi^\nu(t,\boldsymbol y)\tag{9}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi^\nu(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0A_\nu(t,\boldsymbol y)\tag{10}\end{align*}
であった(以前のページを参照、\(i=1,2,3\))。正準共役運動量の時間成分\(\pi^0\)はゼロのため、式(9)と式(10)を時間成分(\(\nu=0\))と空間成分(\(\nu=k\))に分けると、次の3式
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial A_0(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_iA_0(t,\boldsymbol y)}&=0\tag{11}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial A_k(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_iA_k(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi^k(t,\boldsymbol y)\tag{12}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi^k(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0A_k(t,\boldsymbol y)\tag{13}\end{align*}
になり(\(k=1,2,3\))、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を代入すると
\begin{align*}-m^2A_0-\partial_i\pi^i&=0\tag{14}\\m^2A_k-\partial_i(\partial_i A_k-\partial_k A_i)&=-\partial^0\pi^k\tag{15}\\\pi^k+\partial_kA_0&=\partial^0A_k\tag{16}\end{align*}
となる。それぞれの式を少し変形すると
\begin{align*}\partial_i \pi^i+m^2A^0&=0\tag{17}\\\partial_i(\partial^i A^k-\partial^k A^i)-\partial_0\pi^k+m^2A^k&=0\tag{18}\\\pi^k&=(\partial^kA^0-\partial^0A^k)\tag{19}\end{align*}
式変形では次の関係を用いた。
\begin{align*}\partial_0&=\partial^0\\\partial_i&=-\partial^i\\A_0&=A^0\\A_i&=-A^i\end{align*}
となり、式(19)を式(17)と式(18)に代入すると
\begin{align*}\partial_i (\partial^iA^0-\partial^0A^i)+m^2A^0&=0\tag{20}\\\partial_i(\partial^i A^k-\partial^k A^i)+\partial_0(\partial^0A^k-\partial^kA^0)+m^2A^k&=0\tag{21}\end{align*}
となる。最後に次の自明な関係
\begin{align*}\partial_0(\partial^0A^0-\partial^0A^0)=0\tag{22}\end{align*}
も考慮すると式(20)と式(21)はプロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)+m^2A^\nu=0\tag{23}\end{align*}
の各成分であることが分かる。
ゲージ場のエネルギー
プロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)+m^2A^\nu=0\tag{23}\end{align*}
より次の関係
\begin{align*}\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0&=m^2(A_0)^2\tag{24}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0&=\pi^k\partial_kA_0\\&=\partial_k(\pi^kA_0)-A_0\partial_k\pi^k\\&=-A_0\partial_k\pi^k\\&=m^2A_0A^0\\&=m^2(A_0)^2\end{align*}
2行目への変形では部分積分を行ない、3行目への変形では全微分項を無視し、4行目への変形ではプロカ方程式の時間成分\(A^0\)を変形した式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu0}+m^2A^0&=0\\\rightarrow\partial_\mu\pi^\mu+m^2A^0&=0\\\rightarrow\partial_\mu\pi^\mu&=-m^2A^0\end{align*}
を用い、5行目への変形では\(A^0=A_0\)を用いた。
が成り立つため、ハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2-\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\right)\tag{6}\end{align*}
は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2+\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2\right)\tag{25}\end{align*}
と書き表すことができる。ハミルトニアン\(H\)はラグランジアン密度\(\mathscr L\)から求めたが、電磁場の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが正となるように運動項とポテンシャル項の符号を選んだ(以前のページを参照)ため、実際に本ページで求めたハミルトニアン\(H\)はちゃんと正となっている。
次ページから…
次ページでは、自然単位系においてゲージ場\(A^\nu\)の質量次元は\(1\)であり、4元電流密度\(j^\nu\)の質量次元は\(3\)であることを確認する。
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