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本ページでは…
本ページでは、プロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu} +m^2A^\nu=0\end{align*}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\end{align}
を求め、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)は相対論的不変性を持つがゲージ不変性は持たないことを確かめる。
前ページまで…
前ページでは、ゲージ場\(A_\nu\)の正準共役運動量\(\pi^\nu\)
\begin{align}\pi^\nu=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}=F^{\nu0}\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0A_\nu)\pi^\nu-\mathscr L)\end{align*}
によってマクスウェル方程式におけるハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2-\boldsymbol j\cdot\boldsymbol A+\rho A_0+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\right)\end{align*}
を求めた。
内容
ゲージ場のラグランジアン密度
自然単位系で表したプロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu} +m^2A^\nu=0\tag{1}\end{align*}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{2}\end{align}
である。ここで、電磁場テンソルは
\begin{align*}F^{\mu\nu}&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\tag{3}\\F_{\mu\nu}&=\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\gamma}F^{\rho\gamma}\\&=\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\gamma}(\partial^\rho A^\gamma-\partial^\gamma A^\rho)\\&=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\tag{4}\end{align*}
である(以前のページを参照)。実際にオイラー-ラグランジュ方程式(以前のページを参照)
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}=0\tag{5}\end{align}
に代入してみると
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}&=-\partial_\mu F^{\mu\nu} -m^2A^\nu\\&=0\tag{6}\end{align}
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu A_\nu}\left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma}\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial A_\nu}\left(\frac{m^2}{2} A_\mu A^\mu\right)\\&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu A_\nu}\left(-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}F_{\rho\gamma}F_{\kappa\tau}\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial A_\nu}\left(\frac{m^2}{2} \eta^{\mu\rho}A_\mu A_\rho\right)\\&=-\partial_\mu\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left\{\frac{\partial\left(F_{\rho\gamma}\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}\frac{\partial\left(F_{\kappa\tau}\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right\}-\frac{m^2}{2}\eta^{\mu\rho}\left(\frac{\partial A_\mu}{\partial A_\nu} A_\rho+A_\mu\frac{\partial A_\rho}{\partial A_\nu} \right)\\&=-\partial_\mu\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left\{(\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^\mu\delta_\rho{}^\nu)F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\delta_\kappa{}^\mu\delta_\tau{}^\nu-\delta_\tau{}^\mu\delta_\kappa{}^\nu)\right\}-\frac{m^2}{2}\eta^{\mu\rho}\left(\delta_\mu{}^\nu A_\rho+A_\mu\delta_\rho{}^\nu\right)\\&=-\partial_\mu\frac{1}{4}\left\{(\eta^{\mu\kappa}\eta^{\nu\tau}-\eta^{\nu\kappa}\eta^{\mu\tau})F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\eta^{\rho\mu}\eta^{\gamma\nu}-\eta^{\rho\nu}\eta^{\gamma\mu})\right\}-\frac{m^2}{2}\left(\eta^{\nu\rho} A_\rho+A_\mu\eta^{\mu\nu}\right)\\&=-\partial_\mu\frac{1}{4}\left(F^{\mu\nu}-F^{\nu\mu}+F^{\mu\nu}-F^{\nu\mu}\right)-\frac{m^2}{2}\left( A^\nu+A^\nu\right)\\&=-\partial_\mu F^{\mu\nu} -m^2A^\nu\\&=0\tag{4}\end{align}
2行目への変形では計量テンソルを用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、3行目への変形では積の微分公式を用い、4行目への変形では電磁場テンソル\(F_{\rho\gamma}\)の微分
\begin{align*}\frac{\partial\left(F_{\rho\gamma}\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}&=\frac{\partial\left(\partial_\rho A_\gamma\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}-\frac{\partial\left(\partial_\gamma A_\rho\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}\\&=\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^\mu\delta_\rho{}^\nu\end{align*}
を行ない、6行目への変形では電磁場テンソルの反対称性(以前のページを参照)
\begin{align*}F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}\end{align*}
を用いた。
となって、プロカ方程式が導出されることが分かる。
以前のページで、プロカ方程式とクライン-ゴルドン方程式は等価であると述べたため、プロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)とクライン-ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)(以前のページを参照)は同じものになるのではと思うかもしれない。しかし、プロカ方程式の解であるゲージ場\(A^\nu\)はプロカ方程式を満たすと同時に制約\(\partial_\nu A^\nu=0\)も満たさなければならないため、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)は同じものにならない。
ラグランジアン密度の相対論的不変性
プロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性を持つことを確認する。
ラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{2}\end{align}
において、ローレンツ変換によって電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)とゲージ場\(A_\mu\),\(A^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}F_{\mu\nu}&\rightarrow F’_{\mu\nu}\\F^{\mu\nu}&\rightarrow F’^{\mu\nu}\\A_\mu&\rightarrow A’_\mu\\A^\mu&\rightarrow A’^\mu\end{align*}
する際、変換後のラグランジアン密度\(\mathscr L’\)は
\begin{align}\mathscr{L}’=-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A’_\mu A’^\mu\tag{7}\end{align}
となる。また、ゲージ場\(A_\mu\),\(A^\mu\)はローレンツ変換の下でベクトルとして変換(以前のページを参照)
\begin{align*}A’_\mu&=A_\rho(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu\tag{8}\\A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\tag{9}\end{align*}
し、電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)はローレンツ変換の下でテンソルとして変換(以前のページを参照)
\begin{align*}F’_{\mu\nu}&=F_{\rho\gamma}(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\nu\tag{10}\\F’^{\mu\nu}&=\varLambda^\mu{}_\tau\varLambda^\nu{}_\kappa F^{\tau\kappa}\tag{11}\end{align*}
するため、ラグランジアン密度\(\mathscr L’\)
\begin{align}\mathscr L’&=-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A’_\mu A’^\mu\\&=-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\nu\varLambda^\mu{}_\tau\varLambda^\nu{}_\kappa F^{\tau\kappa}+\frac{m^2}{2} A_\rho(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\&=-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}\delta^\rho{}_\tau \delta^\gamma{}_\kappa F^{\tau\kappa}+\frac{m^2}{2}A_\rho\delta^\rho{}_\nu A^\nu\\&=-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma}+\frac{m^2}{2}A_\nu A^\nu\tag{12}\end{align}
はローレンツ変換前のラグランジアン密度\(\mathscr L\)と等しくなり、ゲージ場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)は相対論的不変性を持つことが分かる。
ラグランジアン密度のゲージ不変性
プロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)がゲージ不変性を持たないことを確認する。
ゲージ変換によってゲージ場\(A_\mu\),\(A^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}A_\mu\rightarrow A’_\mu=A_\mu+\partial_\mu\varLambda\\A^\mu\rightarrow A’^\mu=A^\mu+\partial^\mu\varLambda\end{align*}
するとき、電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)はゲージ変換の下で不変
\begin{align*}F_{\mu\nu}\rightarrow F’_{\mu\nu}&=\partial_\mu A’_\nu-\partial_\nu A’_\mu\\&=\partial_\mu A_\nu+\partial_\mu\partial_\nu\varLambda-\partial_\nu A_\mu-\partial_\nu\partial_\mu\varLambda\\&=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\\&=F_{\mu\nu}\\F^{\mu\nu}\rightarrow F’^{\mu\nu}&=\partial^\mu A’^\nu-\partial^\nu A’^\mu\\&=\partial^\mu A^\nu+\partial^\mu\partial^\nu\varLambda-\partial^\nu A^\mu-\partial^\nu\partial^\mu\varLambda\\&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\\&=F^{\mu\nu}\end{align*}
である。プロカ方程式を導くラグランジアン密度
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{2}\end{align}
において、ゲージ変換すると
\begin{align}\mathscr L’&=-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A’_\mu A’^\mu\\&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}(A_\mu+\partial_\mu\varLambda)(A^\mu+\partial^\mu\varLambda)\\&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu+m^2A_\mu\partial^\mu\varLambda+\frac{m^2}{2}(\partial_\mu\varLambda)(\partial^\mu\varLambda)\tag{13}\end{align}
となって、ゲージ変換前のラグランジアン密度\(\mathscr L\)と等しくならず、プロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)はゲージ不変性を持たないが分かる。
運動項とポテンシャル項
古典力学でのラグランジアン\(L\)は、
\begin{align*}L=\frac{m\dot x^2}{2}-V\tag{16}\end{align*}
と表されており、運動項\(\frac{m\dot x^2}{2}\)とポテンシャル項\(V\)から成り立っていた(以前のページを参照)。
場の理論でのラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{2}\end{align}
においては、運動項\(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)とポテンシャル項\(\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\)から構成されている。
もし、運動項が負でないと電磁場の運動エネルギーが負になり、粒子として解釈できない(このことは、後のページでルジャンドル変換を通して確認する)。そのため、運動項は負である必要があるが、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の式(2)の運動項\(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)はしっかりとそのようになっている。
また、もし、ポテンシャル項が正でないとポテンシャルエネルギーを表す関数が上に凸となり、エネルギーに下限がなくなって、どのような状態であってもエネルギーを放出しながらより低いエネルギー準位に遷移して安定状態をとれなくなる(このことも、後のページでルジャンドル変換を通して確認する)。そのため、ポテンシャル項は正である必要があるが、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の式(2)のポテンシャル項\(\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\)はしっかりとそのようになっている。
ラグランジアン密度の構成
ラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{2}\end{align}
を式(3)と式(4)
\begin{align*}F^{\mu\nu}&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\tag{3}\\F_{\mu\nu}&=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\tag{4}\end{align*}
を用いて電磁場テンソルを用いずに表すと
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\\&=\frac{1}{2}(A_\nu\partial_\mu\partial^\mu A^\nu-A_\nu\partial_\mu\partial^\nu A^\mu)+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{17}\end{align}
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\\&=-\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\\&=-\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu-\partial_\nu A_\mu\partial^\mu A^\nu+\partial_\nu A_\mu\partial^\nu A^\mu)+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\\&=-\frac{1}{2}(\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu)+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\\&=-\frac{1}{2}(\partial_\mu (A_\nu\partial^\mu A^\nu)- A_\nu\partial_\mu\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu (A_\nu\partial^\nu A^\mu)+ A_\nu\partial_\mu\partial^\nu A^\mu)+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\\&=\frac{1}{2}(A_\nu\partial_\mu\partial^\mu A^\nu-A_\nu\partial_\mu\partial^\nu A^\mu)+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\end{align}
5行目への変形では部分積分の公式を用い、6行目への変形では作用積分がゼロになり運動方程式に関与しない全微分項を無視した。
となる。ここで、式(17)に\(\mu=0\),\(\nu=0\)を代入すると、プロカ方程式を導くラグランジアン\(\mathscr L\)には\(A^0\)の時間の2階微分が含まれていないことが分かる。つまり、以前のページでプロカ方程式に\(A^0\)の時間の2階微分が含まれていなく、\(A^0\)は自由度として捉えることができないと述べたが、これはラグランジアン密度に\(A^0\)の時間の2階微分が含まれていないからである。
次ページから…
次ページでは、マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F_{\mu\nu}=j^\nu\end{align*}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-j^\mu A_\mu\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性とゲージ不変性を持つことを確かめる。
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