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本ページでは、マクスウェル方程式がゲージ変換の下で不変であることをみる。
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前ページでは、マクスウェル方程式がポアンカレ変換(ローレンツ変換と時空座標の並進)の下で共変であることをみた。
内容
ゲージ変換とは
あるゲージ場\(A^\mu(x)\)が与えられたとき、そのゲージ場\(A^\mu(x)\)に任意関数\(\varLambda(x)\)の時空微分\(\partial^\mu\varLambda(x)\)を加えた新たなゲージ場\(A’^\mu(x)\)への変換
\begin{align*}A^\mu(x)\rightarrow A’^\mu(x)=A^\mu(x)+\partial^\mu\varLambda(x)\tag{1}\end{align*}
をゲージ変換(または局所的変換)という。また、このゲージ変換で方程式の形が変わらないとき、ゲージ不変性(またはゲージ対称性)があるという。
ゲージ変換の下での不変性
ゲージ場で表したマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu (x)-\partial^\nu A^\mu (x))=\mu_0j^\nu (x)\tag{2}\end{align*}
はゲージ変換において不変である。言い換えると、ゲージ場\(A^\mu(x)\)から新たなゲージ場\(A’^\mu(x)\)への変換が任意関数\(\varLambda(x)\)の時空微分\(\partial^\mu\varLambda(x)\)を用いて
\begin{align*}A^\mu(x)\rightarrow A’^\mu(x)=A^\mu(x)+\partial^\mu\varLambda(x)\tag{1}\end{align*}
と表されるとき、変換後のマクスウェル方程式の形
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A’^\nu (x)-\partial^\nu A’^\mu (x))=\mu_0j^\nu (x)\tag{3}\end{align*}
が元のマクスウェル方程式と変わらないということである。
このことは、次のように確かめられる。式(1)をマクスウェル方程式(3)に代入すると
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu (A^\nu (x)+\partial^\nu\varLambda(x))-\partial^\nu (A^\mu (x)+\partial^\mu\varLambda(x))&=\mu_0j^\nu (x)\\\rightarrow\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu (x)-\partial^\nu A^\mu (x))&=\mu_0j^\nu (x)\tag{4}\end{align*}
となり、ゲージ変換の下で元の方程式と変わらないことが分かる。
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次ページでは、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の中で運動する電荷\(q\)の荷電粒子におけるラグランジアン\(L\)
\begin{align*}L=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-q\phi\end{align*}
とハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+q\phi\end{align*}
を求める。
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