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本ページでは、1自由度におけるハイゼンベルグ描像での固有状態の定義と、固有状態が満たす性質、および演算子との関係について調べていく。
ここで、1自由度とは例えば\(x\)軸上を粒子が行ったり来たりするイメージである。
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前ページでは、1自由度におけるシュレーディンガー描像での固有状態について調べた。
1自由度におけるシュレーディンガー描像での座標と運動量の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)は座標と運動量の固有値\(q\),\(p\)と演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text S}}\),\(\hat p_{\scriptsize{\text S}}\)を用いて次のように書けた。
\begin{align*}&\hat q_{\scriptsize{\text S}}\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}= q\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}\tag{1}\\&\hat p_{\scriptsize{\text S}}\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}= p\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}\tag{2}\end{align*}
また、正準交換関係
\begin{align*}[\hat q_{\scriptsize{\text{S}}},\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}]&=\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}-\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=i\hbar\tag{3}\end{align*}
を満たすように、位置演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text S}}\)と運動量演算子\(\hat p_{\scriptsize{\text S}}\)は次の関係を満たした。
\begin{align*}\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial p}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{4}\\\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial }{\partial q}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{5}\end{align*}
また、規格直交関係は
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\delta(q-q’)\tag{6}\\ {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\delta(p-p’)\tag{7}\end{align*}
であり、完全系は
\begin{align*}\int dq\ \vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert&=\boldsymbol I\tag{8}\\\int dp\ \vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert&=\boldsymbol I\tag{9}\end{align*}
であった。最後に、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)と運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)の内積は次のようになった。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}e^{-\frac{i}{\hbar}pq}\tag{10}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}pq}\tag{11}\end{align*}
内容
ハイゼンベルク描像とは
また、ハイゼンベルグ描像とは、系の時間発展について、状態ベクトルは時間依存性を持たず、演算子と固有状態が時間発展すると考える論理形式のことをいう。今後、シュレーディンガー描像と区別するために、ハイゼンベルグ描像での演算子、固有状態、状態ベクトルには\(\text H\)の添字をつける。
ハイゼンベルグ描像での固有状態および演算子は、シュレーディンガー描像での固有状態および演算子を用いて次のように定義される。
\begin{align*}\vert q,t\rangle_{\scriptsize{\text H}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{12}\\\vert p,t\rangle_{\scriptsize{\text H}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{13}\end{align*}
\begin{align*}\hat q_{\scriptsize{\text H}}(t)&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat q_{\scriptsize{\text S}}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\tag{14}\\\hat p_{\scriptsize{\text H}}(t)&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat p_{\scriptsize{\text S}}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\tag{15}\end{align*}
この定義より、時刻\(t=0\)では固有状態および演算子はシュレーディンガー描像でもハイゼンベルク描像でも同じである。
シュレーディンガー描像での固有値方程式(1),(2)の両辺に左から\(e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\)を掛けることにより、
\begin{align*}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat q_{\scriptsize{\text S}}\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}&= e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}q\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}\\\rightarrow e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat q_{\scriptsize{\text S}}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}&= qe^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}\\\rightarrow\hat q_{\scriptsize{\text H}}(t)\vert q,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}&= q\vert q,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}\tag{16}\end{align*}
\begin{align*}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat p_{\scriptsize{\text S}}\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}&= e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}p\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}\\\rightarrow e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat p_{\scriptsize{\text S}}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}&= pe^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}\\\rightarrow\hat p_{\scriptsize{\text H}}(t)\vert p,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}&= p\vert p,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}\tag{17}\end{align*}
となり、1自由度におけるハイゼンベルグ描像での固有状態\(\vert q,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}\),\(\vert p,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}\)を、座標と運動量の固有値\(q\),\(p\)と演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text H}}(t)\),\(\hat p_{\scriptsize{\text H}}(t)\)を用いて書くことができる。(逆に、式(12)~(15)の代わりにこれらの式を定義式と考えても良い。)
ここで1点注意だが、シュレーディンガー描像と異なり、ハイゼンベルグ描像の演算子と固有状態は時間に依存している。
ハイゼンベルク描像での固有状態
シュレーディンガー描像における固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)の規格直交関係式(6),(7)より、ハイゼンベルグ描像での規格直交関係は
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\delta(q-q’)\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\delta(q-q’)\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q,t\vert q’,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}&=\delta(q-q’)\tag{18}\\ \end{align*}
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\delta(q-q’)\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\delta(q-q’)\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q,t\vert q’,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}&=\delta(q-q’)\tag{19}\\ \end{align*}
となる。
また、シュレーディンガー描像での完全系の式(8),(9)の両辺に左から\(e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\)と右から\(e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\)を掛けることにより、ハイゼンベルグ描像での完全系は
\begin{align*}\int dq\ \vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert&=\boldsymbol I\\\int dq\ e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\boldsymbol Ie^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\\\rightarrow\int dq\ \vert q,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q,t\vert&=\boldsymbol I\tag{20}\end{align*}
\begin{align*}\int dp\ \vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert&=\boldsymbol I\\\int dp\ e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\boldsymbol Ie^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\\\rightarrow\int dp\ \vert p,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle p,t\vert&=\boldsymbol I\tag{21}\end{align*}
となる。
ハイゼンベルク描像での演算子
ハイゼンベルク描像において運動量演算子\(\hat p_{\scriptsize{\text{H}}}\)を座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)に作用させた関係式は、シュレーディンガー描像での関係式(5)の両辺に左から\(e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\)を掛けると、次のようになる。
\begin{align*}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}i\hbar\frac{\partial}{\partial q}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}} e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}i\hbar\frac{\partial}{\partial q}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow\hat{p}_{\scriptsize{\text{H}}}(t)\vert q,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}&=i\hbar e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\frac{\partial}{\partial q}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{22}\end{align*}
また、ハイゼンベルク描像において位置演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text{H}}}\)を運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)に作用させた関係式は、シュレーディンガー描像での関係式(4)の両辺に左から\(e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\)を掛けると、次のようになる。
\begin{align*}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial p}\right)\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}} e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial p}\right)e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t)\vert p,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}&=-i\hbar e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\frac{\partial}{\partial p}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{23}\end{align*}
座標と運動量の固有状態の内積
シュレーディンガー描像における座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)と運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)の内積の式(10),(11)より、ハイゼンベルグ描像では
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle p,t\vert q,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}e^{-\frac{i}{\hbar}pq}\tag{24}\end{align*}
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q,t\vert p,t\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}pq}\tag{25}\end{align*}
となり、シュレーディンガー描像と同じであることがわかる。
ハミルトニアンと真空状態
演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\)や\(\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\)の積で表される一般の演算子\(\hat{\mathcal O}_{\scriptsize{\text{S}}}\)は、積で表されている演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\)や\(\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\)の間に\(e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\)が入り込み、次の関係を満たす。
\begin{align*}\hat{\mathcal O}_{\scriptsize{\text{H}}}(t)=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat{\mathcal O}_{\scriptsize{\text{S}}}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\tag{26}\end{align*}
次ページで確かめるが、シュレーディンガー描像\(\vert \psi\rangle_{\scriptsize{\text S}}\)での固有状態とハイゼンベルク描像\(\vert \psi\rangle_{\scriptsize{\text H}}\)での固有状態は
\begin{align*}\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text H}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert \phi(t)\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{27}\end{align*}
の関係があるため、式(26)の左辺を\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\psi\vert\)と\(\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text H}}\)で挟むと期待値はシュレーディンガー描像かハイゼンベルク描像かによらないことが分かる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\psi\vert\hat{\mathcal O}_{\scriptsize{\text{H}}}(t)\vert\phi\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle\psi(t)\vert\hat{\mathcal O}_{\scriptsize{\text{S}}}\vert\phi(t)\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{28}\end{align*}
また、ハミルトニアン同士は可換のため、式(26)で\(\hat{\mathcal O}_{\scriptsize{\text{S}}}\)を\(\hat H(q_{\scriptsize{\text{S}}},p_{\scriptsize{\text{S}}})\)、\(\hat{\mathcal O}_{\scriptsize{\text{H}}}\)を\(\hat H(q_{\scriptsize{\text{H}}}(t),p_{\scriptsize{\text{H}}}(t))\)とすると、
\begin{align*}\hat H(\hat q_{\scriptsize{\text{H}}}(t),\hat p_{\scriptsize{\text{H}}}(t))=\hat H(q_{\scriptsize{\text{S}}},p_{\scriptsize{\text{S}}})=\hat H\tag{29}\end{align*}
となり、ハイゼンベルク描像でのハミルトニアン\(\hat H(q_{\scriptsize{\text{H}}}(t),p_{\scriptsize{\text{H}}}(t))\)とシュレーディンガー描像でのハミルトニアン\(\hat H(q_{\scriptsize{\text{S}}},p_{\scriptsize{\text{S}}})\)は等しいことがわかる(式(26)の右辺の指数の肩にあるハミルトニアンはシュレーディンガー描像であることに注意する)。そのため、これまで区別は行なっていないかった。
最後に、式(12)に真空状態\(\vert 0\rangle\)を代入した式
\begin{align*}\vert 0\rangle_{\scriptsize{\text H}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert 0\rangle_{\scriptsize{\text S}}\\&=\left(1+\frac{i}{\hbar}t\hat H+\cdots\right)\vert 0\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{30}\end{align*}
と、シュレーディンガー描像での真空状態の定義
\begin{align*}\hat H\vert0\rangle_{\scriptsize{\text S}}=0\tag{31}\end{align*}
より、
\begin{align*}\vert0\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}=\vert0\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}=\vert0\rangle\tag{32}\end{align*}
となって、どの描像でも真空状態は等しくなることがわかる。
次ページから⋯
次ページでは、状態ベクトルと座標の固有状態との内積をとると波動関数の座標表示が得られ、運動量の固有状態との内積をとると波動関数の運動量表示が得られることをみる。
また、シュレーディンガー方程式の座標表示と運動量表示を求めていく。
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