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本ページでは…
本ページでは、ルジャンドル変換から複素場の理論におけるハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*)- L\end{align*}
を求める。また、汎函数微分を用いて表した複素場の理論における正準方程式
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi\\\frac{\delta H}{\delta\varPi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi\\\frac{\delta H}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi^*\\\frac{\delta H}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi^*\end{align*}
を求め、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いて複素場の理論における正準方程式が
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPhi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\varPhi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPhi^*(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi^*(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPi^*(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)\end{align*}
となることを確認する(\(i=1,2,3\))。
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前ページでは、複素場の理論における正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)が汎関数微分を用いて
\begin{align*}\varPi(t,\boldsymbol y)&=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\varPhi(t,\boldsymbol y)}\\\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\varPi(t,\boldsymbol y)&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\varPhi(t,\boldsymbol y)}\\\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
となることを確認した。
内容
ルジャンドル変換
場の理論において、ラグランジアン\(L(\phi,\partial_\mu\phi)\)からハミルトニアン\(H(\phi,\pi,\partial_j\phi(j=1,2,3))\)へのルジャンドル変換は変数\(\partial_0\phi\)を変数\(\pi\)に変える変換のため
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ (\partial^0\phi)\pi- L\tag{1}\end{align*}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align*}L=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr L\tag{2}\end{align*}
を用いて表すと
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ ((\partial^0\phi)\pi-\mathscr L)\tag{3}\end{align*}
となった(以前のページを参照)。
複素場の理論において、ラグランジアン\(L(\varPhi,\partial_\mu\varPhi,\varPhi^*,\partial_\mu\varPhi^*)\)からハミルトニアン\(H(\varPhi,\varPi,\partial_j\varPhi,\varPhi^*,\varPi,\partial_j\varPhi^*(j=1,2,3))\)への変換では変数\(\partial_0\varPhi\),\(\partial_0\varPhi^*\)を変数\(\varPi\),\(\varPi^*\)に変える変換のため
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*)- L\tag{4}\end{align*}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いて表すと
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*- \mathscr L)\tag{5}\end{align*}
となる。ルジャンドル変換でラグランジアン密度\(\mathscr L\)を除く項が2つ現れたのは複素場に2つの自由度があるからであり、以前求めたルジャンドル変換においても自由度\(i\)の数だけラグランジアン\(L\)を除く項があった。
ハミルトニアン密度
ハミルトニアン\(L\)とハミルトニアン密度\(\mathscr L\)の関係は
\begin{align*}H=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr H\tag{6}\end{align*}
であるため、ハミルトニアン密度は
\begin{align*}\mathscr H&=\partial^0\varPhi\varPi+\partial^0\varPhi^*\varPi^*-\mathscr L\tag{7}\end{align*}
と表される。
正準方程式(複素場の理論)
以前のページで、場の理論における正準方程式は汎関数微分を用いて
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi\tag{8}\\\frac{\delta H}{\delta\pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi\tag{9}\end{align*}
と表すことができ、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\tag{10}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\tag{11}\end{align*}
となることを確認した。
場の理論の正準方程式と同様に、複素場の理論の正準方程式も求めることができ、汎関数微分を用いて
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi\tag{12}\\\frac{\delta H}{\delta\varPi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi\tag{13}\\\frac{\delta H}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi^*\tag{14}\\\frac{\delta H}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi^*\tag{15}\end{align*}
と表すことができ、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPhi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\varPhi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi(t,\boldsymbol y)\tag{16}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi(t,\boldsymbol y)\tag{17}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPhi^*(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi^*(t,\boldsymbol y)\tag{18}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPi^*(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)\tag{19}\end{align*}
となる。正準方程式が4つ現れたのは複素場に2つの自由度があるからであり、以前求めた正準方程式においても自由度\(i\)の倍の数だけ方程式があった。
次ページから…
次ページでは、場の理論におけるポアソン括弧
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を定義し、ポアソン括弧を用いて正準方程式が
\begin{align}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\phi(t,\boldsymbol y),H\right\}\\\partial_0\pi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\pi(t,\boldsymbol y),H\right\}\end{align}
と表されることを確認する。
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