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本ページでは、4つの式から構成されるマクスウェル方程式をゲージ場を用いて1つの式で表した次式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\end{align*}
を導出する。
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前ページでは、4元電流密度\(j^\nu\)
\begin{align*}j^\nu&=(\rho c,\boldsymbol j)\\&=(j^0,j^1,j^2,j^3)\end{align*}
を導入すると、マクスウェル方程式の2式
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol D&=\rho\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\end{align*}
が電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)を用いた次の1つの式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0j^\nu\end{align*}
にまとめられることをみる。
内容
マクスウェル方程式(ゲージ場)とは
ゲージ場\(A^\mu\)を用いることによって、4つの式から構成されるマクスウェル方程式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol D&=\rho\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\tag{4}\end{align*}
を次のように1つの式で書くことができる。
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\tag{5}\end{align*}
この式ではアインシュタインの縮約記法(以前のページを参照)を用いており、ひとつの項にペアで同じ下付き添え字と上付き添え字が現れたとき、総和記号が省かれていても添え字に関して総和をとる。
マクスウェル方程式(ゲージ場)の導出
自由電荷および自由電流のみが存在する真空中でのマクスウェル方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol D&=\rho\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\tag{4}\end{align*}
と構成方程式
\begin{align*}\boldsymbol E&=\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol D\tag{6}\\\boldsymbol B&=\mu_0\boldsymbol H\tag{7}\end{align*}
から、ゲージ場を用いて表したマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\tag{5}\end{align*}
を導出する。
以前のページで求めたが、マクスウェル方程式の式(1)と式(2)は電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{8}\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{9}\end{align*}
に変換でき、電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)を用いると次の1つの式にまとめることができた(前々ページを参照)。
\begin{align*}F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\tag{10}\end{align*}
また、マクスウェル方程式の式(3)と式(4)は4元電流密度
\begin{align*}j^\nu&=(\rho c,\boldsymbol j)\\&=(j^0,j^1,j^2,j^3)\end{align*}
を用いると次の1つの式にまとめることができた(前ページを参照)。
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0j^\nu\tag{11}\end{align*}
最後に、式(10)を式(11)に代入すれば
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\tag{3}\end{align*}
となって、マクスウェル方程式を1つの式で表すことができる。
次ページから…
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