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本ページでは…
本ページでは、測定対象粒子と装置をユニタリ演算子によって量子もつれ状態にして、混合状態となった装置の部分系に射影測定を行なう間接測定をみる。
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前ページでは、物理量\(Q\)の測定を行なって結果が\(q_k\)であったとき、その測定の直後に再び物理量\(Q\)の測定を行なっても結果が同様に\(q_k\)となる測定である射影測定をみた。
内容
間接測定とは
前ページで射影測定を調べたが、量子測定において現実では射影測定でないものも多々あり、例えば、光電子増倍管を用いた光子数測定では、測定後に光子数が\(0\)になり、射影測定が成り立たない。そのため、より一般的な測定である間接測定を本ページでは考える。
間接測定は次の4ステップからなる。
①測定対象粒子\(\varPhi\)の純粋状態\(\vert\varPhi\rangle\)と装置\(\varPsi\)の純粋状態\(\vert\varPsi\rangle\)から合成系
\begin{align*}\vert\varPsi,\varPhi\rangle=\vert\varPsi\rangle\otimes\vert\varPhi\rangle\tag{1}\end{align*}
が作られる。
②合成系はユニタリ演算子\(\hat{\boldsymbol U}\)で表される相互作用によって、量子もつれの状態
\begin{align*}\vert\varPsi’,\varPhi’\rangle&=\hat{\boldsymbol U}\vert\varPsi,\varPhi\rangle\\&=\hat{\boldsymbol U}(\vert\varPsi\rangle\otimes\vert\varPhi\rangle)\tag{2}\end{align*}
となる。
③部分系である装置\(\varPsi\)に注目する。これは部分トレースをとる操作に相当し、部分系である装置\(\varPsi\)は混合状態になっている。
④部分系である装置\(\varPsi\)に対して射影測定を行なう。このとき、部分系は混合状態であり、古典的な確率分布で測定値が得られる。
上記からわかるように、間接測定は量子力学の特徴である重ね合わせ状態から古典的な確率分布への橋かけを行なっている。重要なことは「量子もつれ後に部分系に射影測定すると古典的な確率分布である混合状態になる」ことである。
間接測定において、もし、測定対象の粒子\(\varPhi\)と装置\(\varPsi\)が作る合成系に射影測定すると重ね合わせを含む純粋状態として測定できるが、通常は合成系を構成する粒子は多数に及ぶため合成系全体に射影測定することは難しく、混合状態の部分系に射影測定するしかない。
間接測定とクラウス演算子
間接測定において、装置\(\varPsi\)の純粋状態\(\vert\varPsi\rangle\)から測定後の状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)へは、以前のページよりクラウス演算子\(\hat{\boldsymbol M}_k\)
\begin{align*}\hat{\boldsymbol M}_k=(\boldsymbol I\otimes\langle u_k\vert)\hat{\boldsymbol U}(\boldsymbol I\otimes\vert\varPhi\rangle)\tag{3}\end{align*}
で表され、測定後の状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)は
\begin{align*}\vert\varPsi\rangle=\frac{\hat{\boldsymbol M}_k\vert\varPsi\rangle}{\sqrt{\text{tr}(\hat{\boldsymbol M}_k\hat{\boldsymbol M}_k^\dagger\rho_\varPsi)}}\tag{4}\end{align*}
と表される。
間接測定の例
間接測定の例として、光子の偏光を取り上げる。
粒子\(\varPhi\)において、右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)と左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)を
\begin{align*}\vert R\rangle&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{5}\\\vert L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{6}\end{align*}
と定義する。また、粒子\(\varPhi\)の偏光を測定する装置\(\varPsi\)として、初期状態は\(\vert R\rangle\)であり、状態\(\vert R\rangle\)の粒子\(\varPhi\)と相互作用しても状態は\(\vert R\rangle\)から変わらないが、状態\(\vert L\rangle\)の粒子\(\varPhi\)と相互作用すると状態が\(\vert L\rangle\)に変わる装置を用意する。
間接測定の例を4つのステップから見てみる。
①測定対象の粒子\(\varPhi\)の状態が
\begin{align*}\vert\varPhi\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}\vert R\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert L\rangle\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\tag{7}\end{align*}
であるとき、初期状態が
\begin{align*}\vert \varPsi\rangle&=\vert R\rangle\\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{8}\end{align*}
である装置\(\varPsi\)とつくる合成系を考える。それぞれの部分系の密度行列は
\begin{align*}\rho_\varPsi&=\vert\varPsi\rangle\langle\varPsi\vert\\&=\left(\begin{array}{c}1&0\\0&0\end{array}\right)\tag{9}\\\rho_\varPhi&=\vert\varPhi\rangle\langle\varPhi\vert\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&1\\1&1\end{array}\right)\tag{10}\end{align*}
であり、合成系の密度行列\(\rho\)は
\begin{align*}\rho&=\rho_\varPsi\otimes\rho_\varPhi\\&=\left(\begin{array}{c}1&0\\0&0\end{array}\right)\otimes\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&1\\1&1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{11}\end{align*}
となる。また、このときの状態は
\begin{align*}\vert \varPsi\rangle\otimes\vert \varPhi\rangle&=\vert R\rangle\otimes\left(\frac{\vert R\rangle+\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\0\end{array}\right)\tag{12}\end{align*}
と表せる。
②合成系が次のユニタリ演算子
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{array}\right)\tag{13}\end{align*}
で表される相互作用をして、純粋状態
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}(\vert \varPsi\rangle\otimes\vert \varPhi\rangle)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\0\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\right)\\&=\frac{\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\tag{14}\end{align*}
になったとき、相互作用した後の純粋状態は\(\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle\)と\(\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle\)の重ね合わせの状態であることが分かる。これが、量子もつれであり、密度行列\(\rho’\)は
\begin{align*}\rho’=\left(\begin{array}{c}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{array}\right)\tag{15}\end{align*}
となる。
③部分系である装置\(\varPsi\)に注目する。これは部分系\(\varPhi\)の部分トレースをとる操作に相当し、部分系である装置\(\varPsi\)の密度行列\(\rho’_\varPsi\)は混合状態になっている。
\begin{align*}\text{tr}_\varPhi(\rho’)&=\rho’_\varPsi\\&=\left(\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}\right)\\&=\vert R\rangle\langle R\vert+\vert L\rangle\langle L\vert\tag{16}\end{align*}
④部分系である装置\(\varPsi\)に対して射影測定を行なう。このとき、部分系は混合状態であり、古典的な確率分布で測定値が得られ、その測定値に対応した状態となる。
装置\(\varPsi\)の純粋状態\(\vert\varPsi\rangle\)から測定後の状態への変換は、クラウス演算子\(\hat{\boldsymbol M}_k\)
\begin{align*}\hat{\boldsymbol M}_k=(\boldsymbol I\otimes\langle u_k\vert)\hat{\boldsymbol U}(\boldsymbol I\otimes\vert\varPhi\rangle)\tag{17}\end{align*}
で表される。
基底ベクトルが
\begin{align*}\vert u_1\rangle=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{18}\end{align*}
のときのクラウス演算子\(\hat{\boldsymbol M}_1\)は
\begin{align*}\hat{\boldsymbol M}_1&=(\boldsymbol I\otimes\langle u_1\vert)\hat{\boldsymbol U}(\boldsymbol I\otimes\vert\varPhi\rangle)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1&0\\1&0\\0&1\\0&1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}\right)\tag{19}\end{align*}
となり、装置\(\varPsi\)の初期状態\(\vert\varPsi\rangle\)に作用すると
\begin{align*}\hat{\boldsymbol M}_1\vert\varPsi\rangle&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\vert R\rangle\tag{20}\end{align*}
となることから、クラウス演算子\(\hat{\boldsymbol M}_1\)は間接測定で装置\(\varPsi\)の状態が\(\vert R\rangle\)となる測定の演算子であることが分かる。
基底ベクトルが
\begin{align*}\vert u_2\rangle=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{21}\end{align*}
のときのクラウス演算子\(\hat{\boldsymbol M}_2\)は
\begin{align*}\hat{\boldsymbol M}_2&=(\boldsymbol I\otimes\langle u_2\vert)\hat{\boldsymbol U}(\boldsymbol I\otimes\vert\varPhi\rangle)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1&0\\1&0\\0&1\\0&1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0&1\\1&0\end{array}\right)\tag{22}\end{align*}
となり、装置\(\varPsi\)の初期状態\(\vert\varPsi\rangle\)に作用すると
\begin{align*}\hat{\boldsymbol M}_2\vert\varPsi\rangle&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0&1\\1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\vert L\rangle\tag{23}\end{align*}
となることから、クラウス演算子\(\hat{\boldsymbol M}_2\)は間接測定で装置\(\varPsi\)の状態が\(\vert L\rangle\)となる測定の演算子であることが分かる。
次ページから…
次ページでは、重ね合わせ状態の波動関数が測定することによって1つの固有関数に変化する現象である波動関数の収縮をみて、二重スリットの実験とサイコロを例のとり、解釈をしてみる。
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