【やさしい解析力学】ハミルトニアンの導入

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本ページでは、ラグランジュの運動方程式の不満点を挙げ、不満点を解決するために、新たな関数であるハミルトニアンを導入する。

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以前のページで、ラグランジュの運動方程式は

\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}=0\tag{1}\end{align}

の形であり、保存力を受けているときのラグランジアン\(L\)は運動エネルギー\(T\)とポテンシャルエネルギー\(V\)を用いて

\begin{align}L=T-V\tag{2}\end{align}

と表せることを見た。

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ラグランジュの運動方程式の不満点

ラグランジュの運動方程式(\(1\))は一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)で表されており、どのような座標でも同じ表現でこの方程式を使える。これだけでも便利だが、いくつかの不満点が残っている。

不満点①は、二つの変数の一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)について、式が対称的ではないことである。一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)についてはラグランジアン\(L\)を偏微分しただけだが、一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}\)についてはラグランジアン\(L\)を偏微分した後に時間\(t\)で微分されている。

不満点②は、座標変換を拡張して「一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)＋一般化速度\(\dot p_{\scriptsize i}\)」や「一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)＋一般化運動量\(q_{\scriptsize i}\)」といった新しい変数を作るとラグランジュの運動方程式が複雑になることである。これは不満点①と関係しており、二つの変数について式が対称的でないことと関係している。

不満点③は、変数の一つの一般化速度\(\dot{q_i}\)が時間微分であり、式全体で解きにくい二階微分方程式であるということである。ラグランジュの運動方程式(1)の1項目のようにラグランジアン\(L\)を一般化速度\(\dot{q}_{\scriptsize i}\)で偏微分すると、一般化座標\(q_i\)の時間微分である一般化速度\(\dot{q}_{\scriptsize i}\)で表された関数が現れ、それをさらに時間で微分するため結局二階の時間微分となってしまう。

一般化運動量

不満点③を解決するには、一般化座標\(q_i\)の時間微分である一般化速度\(\dot{q}_{\scriptsize i}\)の代わりに別の変数を使い、一階の微分方程式で表せば良いように思える。ただし、式の数は二倍に増える(「新たな変数で表した一階の微分方程式であるラグランジュ方程式」と「新たな変数の定義式」)。

ここで、一般化速度\(\dot{q}_{\scriptsize i}\)の代わりに、ラグランジアン\(L\)の一般化速度微分\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}\)である一般化運動量\(p_{\scriptsize i}\)を新たな変数として使ってみよう。後でわかるが、この方法により不満点③だけではなく、不満点①と不満点②も解決する。

\begin{align}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\scriptsize i}}=p_i\tag{3}\end{align}

この式をラグランジュの運動方程式(1)に代入すると

\begin{align}\frac{\text{d}p_{\scriptsize i}}{\text{d}t}-\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}&=0\tag{4}\\\rightarrow\frac{\partial L}{\partial q_{\scriptsize i}}&=\dot{p_i}\tag{5}\end{align}

となって、先ほど述べたように「新たな変数\(p_{\scriptsize i}\)で表した一階の微分方程式であるラグランジュ方程式(5)」と「新たな変数\(p_{\scriptsize i}\)の定義式である一階の微分方程式(3)」と、式の数は二倍になる。

ハミルトニアンの導入

これで二階の微分方程式を回避できたかと思うが、ラグランジアン\(L\)は未だに時間\(t\)と一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)そして一般化速度\(\dot{q}_{\scriptsize i}\)の関数であるため、式(3)を計算すると相変わらず一般化運動量\(p_{\scriptsize i}\)も時間\(t\)と一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)そして一般化速度\(\dot{q}_{\scriptsize i}\)の関数であり、式(5)で一般化運動量\(p_{\scriptsize i}\)の時間微分を解かなければならないため、結局二階の微分方程式のままである。

それはそのはず。変数を一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)と一般化運動量\(p_{\scriptsize i}\)にすると言ったにもかかわらず、ラグランジアン\(L\)は未だに時間\(t\)と一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)そして一般化速度\(\dot{q}_{\scriptsize i}\)の関数であるからである。つまり、ラグランジアン\(L\)の代わりに、時間\(t\)と一般化座標\(q_{\scriptsize i}\)、そして一般化運動量\(p_{\scriptsize i}\)の関数を用いる必要がある。このような関数をハミルトニアン\(H\)と呼ぶ。

\begin{align}H(q,p,t)\tag{6}\end{align}

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次ページでは、ラグランジアン\(L\)とハミルトニアン\(H\)の関係を、ルジャンドル変換から求め、ハミルトンの正準方程式を求める。また、保存力を受けているときのハミルトニアン\(H\)は全エネルギーの総和になることを確認する。

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