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本ページでは、ルジャンドル多項式\(P_{l}( x )\)の母関数表示
\begin{align}G(P_{l}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{l=0}P_{l}( x )t^{l}\\&=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}\end{align}
と、ルジャンドル多項式を生成するロドリゲスの公式
\begin{align*}P_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\text{d}^{l}}{\text{d}x^{l}}(x^{2}-1)^{l}\end{align*}
を求める。
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前ページでは、ルジャンドルの微分方程式
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{d^{2}}{dx^{2}}P_{l}(x)-2x\frac{d}{dx}P_{l}(x)+ l(l+1)P_{l}( x)=0\tag{1}\end{align*}
において、\(l\)が\(0\)以上の整数\(\{l\in\mathbb{Z}\mid l≧0\}\)のときの解であるルジャンドル多項式
\begin{align*}P_{l}(x)=\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-2k)!}x^{l-2k}\tag{2}\end{align*}
をべき級数解法で求めた。
内容
母関数とは
母関数とは「数列の情報をすべて含んだ関数」のことであり、母関数が分かれば数列の一般項を求めることができる。逆もまた然り、数列の一般項から母関数を求めることができる。つまり、数列と母関数は一対一の関係となっている。
前回求めたルジャンドル多項式\(P_{l}( x )\)は、\(0\)以上の整数\(l\)を代入すると\(x\)に関する関数を返す数列であり、ルジャンドル多項式を母関数で表したものを用いるとルジャンドル多項式の直交性を簡単に調べることができる。
代表的な母関数の定義として通常型母関数\(G(a_{l};t)\)
\begin{align*}G(a_{l};t)=\sum ^{\infty}_{l=0}a_{l}t^{l}\tag{3}\end{align*}
や指数型母関数\(EG(a_{l};t)\)
\begin{align*}EG(a_{l};t)=\sum ^{\infty}_{l=0}a_{l}\frac{t^{l}}{l!}\tag{4}\end{align*}
がある。
母関数の導出
今回、ルジャンドル多項式(2)の通常型母関数\(G(a_{l};t)\)を求める。定義式(3)にルジャンドル多項式(2)を代入すると
\begin{align*}G(P_{l}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{l=0}P_{l}( x )t^{l}\\&=\sum ^{\infty}_{l=0}\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-2k)!}x^{l-2k}t^{l}\tag{5}\end{align*}
となる。式(5)の二重和の変数は\(l\)と\(k\)であるが、変数を\(k\)と\(l-k\)に変換する。そのため、わかりやすくするために和記号内を\(a(l,\ k,\ l-k)\)で表記すると
\begin{align*}G(P_{l}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{l=0}\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}a(l,\ k,\ l-k)\\&=a(0,\ 0,\ 0)\\&\ \ \ \ +a(1,\ 0,\ 1)\\&\ \ \ \ +a(2,\ 0,\ 2)+a(2,\ 1,\ 1)\\&\ \ \ \ +a(3,\ 0,\ 3)+a(3,\ 1,\ 2)\\&\ \ \ \ +a(4,\ 0,\ 4)+a(4,\ 1,\ 3)+a(4,\ 2,\ 2)\\&\ \ \ \ \cdots\\&\ \ \ \ +a(\infty,\ 0,\ \infty)+a(\infty,\ 1,\ \infty-1)+a(\infty,\ 2,\ \infty-1)+\cdots+a(\infty,\ [\frac{l}{2}]-1,\ \infty-[\frac{l}{2}]+1)+a(\infty,\ [\frac{l}{2}],\ \infty-[\frac{l}{2}])\\&\ \ \ \ \cdots\tag{6}\end{align*}
と展開できる。和記号内の\(a\)を変数\(l\)と\(k\)で表すと二重和は\(\sum ^{\infty}_{l=0}\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}\)であったが、上式(6)をみると変数\(k\)と\(l-k\)で表すには二重和を\(\sum ^{\infty}_{l-k=0}\sum ^{l-k}_{k=0}\)にすればよいことがわかる。\(l-k\)を新たな変数\(j\)として式(5)を変数\(j\)と\(k\)で表すと
\begin{align*}G(P_{l}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{j=0}\sum ^{j}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2j)!}{2^{j+k}k!j!(j-k)!}x^{j-k}t^{j+k}\\&=\sum ^{\infty}_{j=0}\frac{(2j)!}{2^{2j}(j!)^{2}}t^{j}\sum ^{j}_{k=0}\frac{j!}{k!(j-k)!}(2x)^{j-k}(-t)^{k}\tag{7}\end{align*}
と変換できる。
次に、二項定理
\begin{align*}(a+b)^{j}=\sum ^{j}_{k=0}\frac{j!}{k!(j-k)!}a^{j-k}b^{k}\tag{8}\end{align*}
を用いると式(7)は
\begin{align*}G(P_{l}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{j=0}\frac{(2j)!}{2^{2j}(j!)^{2}}t^{j}\sum ^{j}_{k=0}\frac{j!}{k!(j-k)!}(2x)^{j-k}(-t)^{k}\\&=\sum ^{\infty}_{j=0}\frac{(2j)!}{2^{2j}(j!)^{2}}t^{j}(2x-t)^{j}\\&=\sum ^{\infty}_{j=0}\frac{(2j)!}{2^{2j}(j!)^{2}}(2xt-t^{2})^{j}\tag{9}\end{align*}
と変換できる。そして、\((1-\xi)^{-\frac{1}{2}}\)のマクローリン展開
\begin{align*}(1-\xi)^{-\frac{1}{2}}=\sum ^{\infty }_{j=0}\frac{(2j)!}{2^{2j}(j!)^{2}}\xi^{j}\tag{10}\end{align*}
に\(\xi=2xt-t^2\)を代入した
\begin{align*}(1-2xt+t^2)^{-\frac{1}{2}}=\sum ^{\infty }_{j=0}\frac{(2j)!}{2^{2j}(j!)^{2}}(2xt-t^2)^{j}\tag{11}\end{align*}
を式(9)と見比べるとなんと同じである！よって母関数表示
\begin{align*}G(P_{l}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{l=0}P_{l}( x )t^{l}\\&=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}\tag{12}\end{align*}
が求められる。
ロドリゲスの公式とは
ルジャンドル多項式(2)の母関数表示(3)を求めたが、ついでに母関数から導けるロドリゲスの公式
\begin{align*}P_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\text{d}^{l}}{\text{d}x^{l}}(x^{2}-1)^{l}\tag{13}\end{align*}
も求める。
ロドリゲスの公式とはルジャンドル多項式を生成できる公式であり、他にもエルミート多項式やラゲール多項式を生成するロドリゲスの公式もある。
ロドリゲスの公式の導出
ロドリゲスの公式はルジャンドル多項式(2)から求めることができる。式(2)を変形すると、
\begin{align*}P_{l}(x)&=\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-2k)!}x^{l-2k}\\&=\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}(-1)^{k}\frac{(2l-2k)(2l-2k-1)\cdots(l-2k+1) }{2^{l}k!(l-k)!}x^{l-2k}\\&=\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{2^{l}k!(l-k)!}\frac{\text{d}^{l}}{\text{d}x^{l}}x^{2(l-k)}\\&=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\text{d}^{l}}{\text{d}x^{l}}\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}l!}{k!(l-k)!}x^{2(l-k)}\tag{14}\end{align*}
となる。ここで、和記号の範囲上限を\(k=[\frac{l}{2}]\)から\(k=l\)に変形すると、
\begin{align*}P_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\text{d}^{l}}{\text{d}x^{l}}\sum ^{l}_{k=0}\frac{(-1)^{k}l!}{k!(l-k)!}x^{2(l-k)}\tag{15}\end{align*}
となる。なぜなら、\(k\)が\([\frac{l}{2}]\)より大きいとき、\(2l-2k\)は\(l\)より小さい整数のため\(x^{2l-2r}\)の\(l\)階微分はゼロとなるからである。最後に、和記号内に二項定理を用いると
\begin{align*}P_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\text{d}^{l}}{\text{d}x^{l}}(x^{2}-1)^{l}\tag{13}\end{align*}
とロドリゲスの公式(13)が得られる。
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次ページでは、ルジャンドルの陪微分方程式の解であるルジャンドル陪多項式を求める。
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