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本ページでは、ハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を用いることにより、全角運動量保存則からローレンツ不変性が導かれることを確認し、角運動量\(\hat{J}^{\lambda\nu}\)はローレンツ変換の生成子であることを確認する。
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前ページでは、ハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を用いることにより、全エネルギー運動量保存則から時空並進不変性が導かれることを確認し、エネルギー運動量\(\hat{ P}^\nu\)は時空並進の生成子であることを確認する。
内容
全角運動量保存則とローレンツ不変性
場の理論のネーターの定理(ラグランジュ力学)から、時空座標\(x\)を無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega^\mu{}_\nu\)だけ(無限小)回転させても物理法則が変わらないローレンツ不変性が系に存在するとき、次の保存量\(Q\)
\begin{align*}Q=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu}\tag{1}\end{align*}
が保存し、全角運動量保存則の背景にはローレンツ不変性があることを以前のページで見た。
この逆の関係も成り立つことを見てみる。場の量子論のネーターの定理(ハミルトン力学)より、全角運動量\(J^{\mu\nu}\)から構成される保存量\(Q\)が保存するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_JA&=-\{Q, A\}\\&=-\frac{1}{2}\left\{\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu},A\right\}\tag{2}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在する。ここでは、計算をシンプルにするため物理量\(A\)として場\(\phi(t,\boldsymbol y)\)を考えると、無限小変化量\(\delta_J\phi\)は
\begin{align*}\delta_J\phi&=-\{Q, \phi\}\\&=-\frac{1}{2}\left\{\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu}, \phi\right\}\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu}y^\lambda\partial^\nu\phi(t,\boldsymbol y)\tag{3}\end{align*}
\begin{align*}\delta_J\phi&=-\{Q, \phi\}\\&=-\frac{1}{2}\{\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu}, \phi(t,\boldsymbol y)\}\\&=-\frac{1}{2}\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta (\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu})}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta (\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu})}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\frac{1}{2}\int d \boldsymbol x^3\ \frac{\delta (\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu})}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\&=\frac{1}{2}\frac{\delta (\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu})}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)} \\&=\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\Delta\omega_{\lambda0}z^\lambda\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\pi(t,\boldsymbol z)+\Delta\omega_{\lambda j}z^\lambda\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\partial^j\phi(t,\boldsymbol z)\right\}\\&=\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\Delta\omega_{\lambda0}z^\lambda\delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol z)\pi(t,\boldsymbol z)+\Delta\omega_{\lambda j}z^\lambda\delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol z)\partial^j\phi(t,\boldsymbol z)\right\}\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu}y^\lambda\partial^\nu\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
3行目への変形ではポアソン括弧の定義式
\begin{align}\left\{X,Y\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta X}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Y}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta X}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta Y}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を用い、4行目と7行目への変形では次の関係式
\begin{align*}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}&=\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}&=0\end{align*}
を用い、6行目への変形では角運動量\(J^{\mu\nu}\)を含んだ式(以前のページを参照)
\begin{align*}\Delta\omega_{\lambda\nu}J^{\lambda\nu}&=\Delta\omega_{\lambda\nu}\int{d}^3\boldsymbol z\ (z^\lambda T^{0\nu}-z^\nu T^{0\lambda})\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu}\int{d}^3\boldsymbol z\ (z^\lambda T^{0\nu}-z^\nu T^{0\lambda}+z^\lambda T^{0\nu}+z^\nu T^{0\lambda})\\&=2\Delta\omega_{\lambda\nu}\int{d}^3\boldsymbol z\ z^\lambda T^{0\nu}\\&=2\Delta\omega_{\lambda\nu}\int{d}^3\boldsymbol z\ z^\lambda (\partial^0 \phi\partial^\nu\phi-\eta^{0\nu}\mathscr{L})\\&=2\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\Delta\omega_{\lambda0}z^\lambda (\partial^0 \phi\partial^0\phi-\mathscr{L})+\Delta\omega_{\lambda j}z^\lambda (\partial^0 \phi\partial^j\phi)\right\}\\&=2\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\Delta\omega_{\lambda0}z^\lambda (\pi^2-\mathscr{L})+\Delta\omega_{\lambda j}z^\lambda (\pi\partial^j\phi)\right\}\\&=2\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\Delta\omega_{\lambda0}z^\lambda \left(\pi^2-\frac{1}{2}\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)+\Delta\omega_{\lambda j}z^\lambda (\pi\partial^j\phi)\right\}\\&=2\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\Delta\omega_{\lambda0}z^\lambda \left(\frac{1}{2}\pi^2-\frac{1}{2}\partial_j\phi\partial^j\phi+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)+\Delta\omega_{\lambda j}z^\lambda (\pi\partial^j\phi)\right\}\end{align*}
を用いた。
と計算でき、この無限小変化量は時空座標\(x_\nu\)が無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega_{\lambda\nu}\)だけ回転した時の場\(\phi\)の変化量であることが分かる。よって、無限小変換は
\begin{align*}\phi( x)\rightarrow \phi( x’)&=\phi( x)+\delta_J \phi\\&=\phi( x)+\Delta\omega_{\lambda\nu}x^\lambda\partial^\nu\phi( x)\\&=\phi( x+\Delta \omega\cdot x)\tag{4}\end{align*}
となって、全角運動量\(J^{\lambda\nu}\)が保存するとき、時空座標\(x_\nu\)が無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega_{\lambda\nu}\)だけ回転するローレンツ変換における不変性が存在する。
以上より、ローレンツ変換の背景には全角運動量保存則があるとも言える。
量子力学において、ある保存量\(Q\)が存在するときの物理量\(A\)の無限小変化量は演算子\(\hat Q\)と\(\hat A\)を用いて
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A[\hat \phi,\hat p]]\tag{5}\end{align*}
と表される(前ページを参照)ため、今回のような角運動量\(J^{\lambda\nu}\)から構成される量\(Q\)が保存するときの場\(\phi\)の無限小変化量は、演算子\(\hat Q\)と\(\hat \phi\)を用いて
\begin{align*}[\hat Q, \hat \phi]&=-i\hbar\delta_J\phi\\\rightarrow\left[\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}\hat J^{\lambda\nu} ,\hat \phi\right]&=-i\hbar\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}x^\lambda\partial^\nu\hat \phi\\\rightarrow[ \hat J^{\lambda\nu}, \hat \phi]&=-i\hbar x^\lambda\partial^\nu\hat \phi\tag{6}\end{align*}
となる(式(6)において、2行目への変形では演算子表示した式(3)を用いた)。
角運動量とローレンツ変換の生成子
式(4)を量子力学における演算子表示にすると
\begin{align*}\hat \phi\rightarrow \hat \phi’&=\hat \phi+\delta_J \phi\tag{7}\end{align*}
となり、この無限小変換を引き起こす演算子は
\begin{align*}\hat U_J(\Delta\omega)&=e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\tag{8}\end{align*}
と表すことができる。このことは、次のように場\(\hat \phi\)に左右から演算子\(\hat U_J(\Delta\omega)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_J(\Delta\omega)\hat \phi\hat U_J^{-1}(\Delta\omega)=\hat \phi+\delta_J \phi\tag{9}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_J(\Delta\omega)\hat \phi\hat U_J^{-1}(\Delta\omega)&=e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\hat \phi e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\\&=\left(1+\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}+\cdots\right)\hat \phi\left(1-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}+\cdots\right)\\&\simeq\hat \phi+\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}\hat \phi-\frac{i}{\hbar}\hat \phi\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}\\&=\hat \phi+\frac{i}{\hbar}\left[\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu},\hat \phi\right]\\&=\hat \phi+\delta_J \phi\end{align*}
2行目への変形ではテイラー展開を行ない、3行目への変形では無限小ローレンツ定数\( \Delta\omega_{\lambda\nu}\)の2次以上の項を無視し、4行目への変形では交換関係の記号を用い、5行目への変形では量子力学における場の理論のネーターの定理(以前のページ参照)
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A[\phi,\pi]]\end{align*}
を用いた。
式(8)より、角運動量\(J^{\lambda\nu}\)はローレンツ変換の無限小変換を作り出しているため、ローレンツ変換の生成子と呼ばれる。
ローレンツ変換の有限変換
無限小変換を起こす演算子\(\hat U_J(\Delta\omega)\)の無限小定数\(\Delta\omega_{\lambda\nu}\)を有限定数\( \omega_{\lambda\nu}\)に置き換えることにより有限変換を起こす演算子
\begin{align*}\hat U_J(\omega)&=e^{\frac{i}{\hbar} \omega_{\lambda\nu}\hat J^{\lambda\nu}}\tag{10}\end{align*}
が得られる。このことは、場\(\hat \phi\)の左右から演算子\(\hat U_J(\omega)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_J( \omega)\hat \phi\hat U_J^{-1}( \omega)=\hat \phi+ \omega_{\lambda\nu}x^\lambda\partial^\nu\hat\phi\tag{11}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_J(\omega)\hat \phi\hat U_J^{-1}(\omega)&=e^{\frac{i}{\hbar} \omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\hat \phi e^{-\frac{i}{\hbar} \omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}}_{m}\hat \phi\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}}_m\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}}_{m-1}\left(\hat \phi+\Delta\omega_{\lambda\nu}x^\lambda\partial^\nu\hat\phi\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}}_{m-1}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}}_{m-2}\left(\hat \phi+2\Delta\omega_{\lambda\nu}x^\lambda\partial^\nu\hat\phi\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{i\lambda\nu}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}}_{m-2}\\&=\cdots\\&=\hat \phi+m\Delta\omega_{\lambda\nu}x^\lambda\partial^\nu\phi\\&=\hat \phi+\omega_{\lambda\nu}x^\lambda\partial^\nu\phi\end{align*}
2行目への変形では次のように定義
\begin{align*} \omega_{\lambda\nu}=m\Delta\omega_{\lambda\nu}\end{align*}
した\(m\)を用いて展開し、3行目への変形では式(9)と式(3)を用い、4行目への変形では無限小ローレンツ定数\( \Delta\omega_{\lambda\nu}\)の2次以上の項を無視し、7行目への変形では再度
\begin{align*} \omega_{\lambda\nu}=m\Delta\omega_{\lambda\nu}\end{align*}
を用いた。
ローレンツ変換の演算子
以上より、｢\(i/\hbar\)｣と｢\(\Delta\omega_{\lambda\nu}\)や\( \omega_{\lambda\nu}\)などの変換のパラメーター｣と｢ローレンツ変換の生成子\(\hat J^{\lambda\nu}\)｣の積を指数関数の肩に上げたものは、ローレンツ変換を引き起こす演算子\(\hat U_J\)
\begin{align*}\hat U_J( \Delta\omega)&=e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{\lambda\nu}J^{\lambda\nu}}\tag{8}\\\hat U_J( \omega)&=e^{\frac{i}{\hbar} \omega_{\lambda\nu} \hat J^{\lambda\nu}}\tag{10}\end{align*}
となることが分かる。
角運動量演算子\(\hat{J}^{\lambda\nu}\)は次の関係
\begin{align*}(\hat{J}^{\lambda\nu})^\dagger=\hat{ J}^{\lambda\nu}\tag{12}\end{align*}
を満たすエルミート演算子であるため、ローレンツ変換を引き起こす演算子\(\hat U_J\)は次の関係
\begin{align*}\hat U_J^\dagger=\hat U_J^{-1}\tag{13}\end{align*}
を満たすユニタリ演算子となる。
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