HOME ＞ 解析力学 ＞ 不変性と保存量 ＞ネーターの定理(ラグランジュ力学)
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、ネーター電荷\(N\)
\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-K\end{align*}
が保存することを表すネーターの定理を導く(関数\(K\)は\(q\)と\(\dot q\)から構成される)。
内容
ネーターの定理とネーター電荷
系に連続的な不変性(不変性ではなく、対称性ともいう)が存在するとき、ネーター電荷と呼ばれる保存量が存在し、この関係をネーターの定理と呼ぶ。連続的な不変性には、空間並進不変性や時間並進不変性、空間回転不変性などが存在し、それぞれ、空間座標をずらしても、時間座標をずらしても、空間座標を回転させても作用積分(つまり、物理法則)が変わらないことを示す。
ここで注意だが、ネーターの定理では連続的な不変性における定理であり、離散的な不変性(空間反転不変性など)ではネーターの定理が成り立つとは限らない。
ネーターの定理の導出
不変性と保存量の関係性を表すネーターの定理を導く。
ある粒子の運動がラグランジアン\(L(q,\dot q)\)で表されるとき、作用積分\(S\)は
\begin{align*}S=\int \text dt\ L\tag{1}\end{align*}
となり、作用原理から
\begin{align*}\delta S&=\delta\int \text dt\ L\\&=0\tag{2}\end{align*}
が成り立つ(以前のページを参照)。もし、ラグランジアン\(L(q,\dot q)\)に時間に関する全微分項\(\frac{\text d}{\text dt}K(q,\dot q)\)(関数\(K\)は\(q\)と\(\dot q\)から構成される)を加えたラグランジアン\(L'(q,\dot q)\)
\begin{align*}L'(q,\dot q)=L(q,\dot q)+\frac{\text d}{\text dt}K(q,\dot q)\tag{3}\end{align*}
を定義したとき、作用積分\(S’\)は
\begin{align*}S’&=\int \text dt\ L’\\&=\int \text dt\ L+\int \text dt\ \frac{\text d}{\text dt}K\tag{4}\end{align*}
となり、作用積分\(S’\)の変分\(\delta S’\)を計算すると
\begin{align*}\delta S’&=\delta S\tag{5}\end{align*}
\begin{align*}\delta S’&=\delta\int \text dt\ L'(q,\dot q)\\&=\delta\int \text dt\ L(q,\dot q)+\delta\int \text dt\ \frac{\text d}{\text dt}K(q,\dot q)\\&=\delta S+\int \text dt\ \frac{\text d}{\text dt}\delta K(q,\dot q)\\&=\delta S+[\delta K(q,\dot q)]^{t=+\infty}_{t=-\infty}\\&=\delta S+\delta K(q,\dot q)|_{t=+\infty}-\delta K(q,\dot q)|_{t=-\infty}\\&=\delta S\end{align*}
2行目への変形では式(3)を用い、3行目へ変形では式(2)を用い、6行目への変形では始点(\(t=-\infty\))および終点(\(t=+\infty\))では粒子の経路が固定されており一般化座標\(q_i\)と一般化速度\(\dot q_i\)が変分で変わらないこと
\begin{align*}\delta q_i|_{t=\pm\infty}&=0\\\delta \hat q_i|_{t=\pm\infty}&=0\end{align*}
を用いた。
となる。つまり、作用積分\(S\)の変分\(\delta S\)と等しくなり、ラグランジアン\(L\)に全微分項\(\frac{d}{dt}K(q,\dot q)\)を加えてラグランジアン\(L’\)になっても物理法則は変化しない。
次に、一般化座標\(q_{i}\)が次のような無限小変換
\begin{align}q_{i}&\rightarrow q’_{i}=q_{i}+\delta_Nq_{i}\tag{6}\end{align}
するとき、ラグランジアン\(L\)の変化量\(\delta_NL\)は
\begin{align}\delta_NL&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)\tag{7}\end{align}
\begin{align}\delta_NL&=\sum_{i=1}^n\left(\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial q_i}+\delta_N \dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)\\&=\sum_{i=1}^n\left\{\delta_N q_i\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)+\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\delta_N q_i\right)\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right\}\\&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)\end{align}
2行目への変形ではオイラー-ラグランジュ方程式
\begin{align*}\frac{\text{d}}{\text{d}t}&\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\end{align*}
と一般化速度\(\dot{q}_i\)の無限小変換の関係式
\begin{align}\delta_N \dot{q}_i=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\delta_N q_i\end{align}
を用いた。
となる。そして、この無限小変換で物理法則が変わらないとき、式(3)から
\begin{align*}\delta_NL=\frac{\text d}{\text dt}K\tag{8}\end{align*}
が成り立つため、式(7)と式(8)より次の式
\begin{align*}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-K\right]=0\tag{9}\end{align*}
が成り立ち、ネーター電荷と呼ばれる次の量
\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-K\tag{10}\end{align*}
が保存することが分かる。
以上より、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、自然法則が変わらないとき、ネーター電荷\(N\)が保存することがわかる。これをネーターの定理という。
次ページから⋯
次ページでは、ネーターの定理を用いることにより空間並進不変性から全運動量保存則が導かれることを確認する。
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 解析力学 ＞ 不変性と保存量 ＞ネーターの定理(ラグランジュ力学)
