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本ページでは、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、ネーター電荷\(N\)
\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\end{align*}
が保存することを表すネーターの定理を導く。
内容
ネーターの定理とネーター電荷
系に連続的な不変性(不変性ではなく、対称性ともいう)が存在するとき、ネーター電荷と呼ばれる保存量が存在し、この関係をネーターの定理と呼ぶ。連続的な不変性には、空間並進不変性や時間並進不変性、空間回転不変性などが存在し、それぞれ、空間座標をずらしても、時間座標をずらしても、空間座標を回転させても作用積分(つまり、物理法則)が変わらないことを示す。
ここで注意だが、ネーターの定理では連続的な不変性における定理であり、離散的な不変性(空間反転不変性など)ではネーターの定理が成り立つとは限らない。
ネーターの定理の導出
不変性と保存量の関係性を表すネーターの定理を導く。
時間\(t\)と一般化座標\(q_{i}(t)\)が次のような無限小変換
\begin{align}t&\rightarrow t’=t+\delta_N t\tag{1}\\q_{i}&\rightarrow q’_{i}=q_{i}+\delta_Nq_{i}\tag{2}\end{align}
をするとき、ラグランジアン\(L\)の変化量\(\delta_NL\)は
\begin{align}\delta_NL&=\sum_{i=1}^n\left(\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial q_i}+\delta_N \dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)+\delta_N t\frac{\partial L}{\partial t}\\&=\sum_{i=1}^n\left\{\delta_N q_i\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)+\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\delta_N q_i\right)\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right\}+\delta_N t\frac{\partial L}{\partial t}\\&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)+\delta_N t\frac{\partial L}{\partial t} \tag{3}\end{align}
となる。ここで、2行目への変形ではオイラー-ラグランジュ方程式と一般化速度\(\dot{q}_i\)の無限小変換の関係式を用いた。
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}&\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\tag{4}\\&\delta_N \dot{q}_i=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\delta_N q_i\tag{5}\end{align}
ラグランジアン\(L\)の全微分は次のように計算
\begin{align}\frac{\text dL}{\text d t}&=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\text d q_i}{\text d t}\frac{\partial L}{\partial q_i}+\frac{\text d\dot q_i}{\text dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)\\&=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left\{\dot q_i\frac{\text d}{\text d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)+\frac{\text d\dot q_i}{\text dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right\}\\&=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\text d}{\text d t}\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\tag{6}\end{align}
できるため、変形した次の関係式
\begin{align}\frac{\partial L}{\partial t}=\frac{\text d}{\text d t}\left(L-\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\tag{7}\end{align}
が成り立ち、式(3)に代入するとラグランジアン\(L\)の変化量\(\delta_NL\)は
\begin{align}\delta_NL&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\right]\tag{8}\end{align}
となる。よって、作用積分\(S\)の変化量\(\delta S_N\)は
\begin{align*}\delta_N S&=\int \text dt\ \delta_N L\\&=\int \text dt\ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\right]\tag{9}\end{align*}
と表すことができ、無限小変換で物理法則が変わらない、つまり、作用積分が変化しない
\begin{align*}\delta_N S&=0\tag{10}\end{align*}
とき、式(9)と式(10)より次の式
\begin{align*}\int \text dt\ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\right]=0\tag{11}\end{align*}
が成り立ち、ネーター電荷と呼ばれる次の量
\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\tag{12}\end{align*}
が保存することが分かる。
以上より、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、自然法則が変わらないとき、ネーター電荷\(N\)が保存することがわかる。これをネーターの定理という。
次ページから⋯
次ページでは、ネーターの定理を用いることにより空間並進不変性から全運動量保存則が導かれることを確認する。
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