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本ページでは、非相対論的極限において負のエネルギー解
\begin{align*}E=- c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}
における荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\end{align*}
は、反粒子が従うシュレーディンガー方程式の複素共役
\begin{align*} i\hbar\bigg(\frac{\partial}{\partial t}&+\frac{iqA^0}{\hbar}\bigg)\chi=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\chi\end{align*}
となることを確かめる。
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前ページでは、非相対論的極限において正のエネルギー解
\begin{align*}E=+ c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}
におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\end{align*}
は、シュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\end{align*}
となることを確かめた。
内容
非相対論的極限
荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式には正のエネルギー解と負のエネルギー解の2つ
\begin{align*}E=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{1}\end{align*}
が存在する(以前のページ参照)が、今回、負のエネルギー解
\begin{align*}E=- c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{2}\end{align*}
における非相対論的極限を求める。
反粒子が従うシュレーディンガー方程式
クライン-ゴルドン方程式における負のエネルギー解は非相対論的極限(\(\boldsymbol p^2\ll c^2\))において次のような変形
\begin{align*}E&=-c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\\&=-mc^2\sqrt{1+\frac{1}{m^2c^2}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2}+qA^0\\&=-mc^2\left\{1+\frac{1}{2}\frac{1}{m^2c^2}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+\cdots\right\}+qA^0\\&\simeq -mc^2-\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{3}\end{align*}
を行なうことができ、
\begin{align*}E'{}’&=-\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{4}\end{align*}
と置くと、
\begin{align*}E=-mc^2+E'{}’\tag{5}\end{align*}
と表すことができるため、非相対論的極限において、クライン-ゴルドン方程式における負のエネルギー解\(E\)はエネルギー\(E'{}’\)に負の静止エネルギー\(-mc^2\)を足したものであることが分かる。
では、エネルギー\(E'{}’\)はどのようなエネルギーに相当するのだろうか。エネルギーとハミルトニアンは等しいため、エネルギー\(E'{}’\)に相当するハミルトニアン\(H'{}’\)は
\begin{align*}H'{}’&=-\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{6}\end{align*}
の形をしており、運動量\(\boldsymbol p\)を運動量演算子\(-i\hbar\boldsymbol\nabla\)に変換して正準量子化を行なうと
\begin{align*}\hat H'{}’&=-\frac{1}{2m}(-i\hbar\boldsymbol\nabla-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{7}\end{align*}
となり、時間に依存するシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\chi=\hat H'{}’ \chi\tag{8}\end{align*}
に代入すると
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\chi&=\left\{-\frac{1}{2m}(-i\hbar\boldsymbol\nabla-q\boldsymbol A)^2+qA^0\right\} \chi\\&=\left\{\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+qA^0\right\}\chi\\\rightarrow i\hbar\bigg(\frac{\partial}{\partial t}&+\frac{iqA^0}{\hbar}\bigg)\chi=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\chi\tag{9}\end{align*}
となる。この方程式(9)を満たす波動関数\(\chi\)のエネルギーが\(E'{}’\)である。
\begin{align*}\chi&=e^{-\frac{i}{\hbar}(E'{}’t-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\tag{10}\\E'{}’&=-\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{11}\end{align*}
次に、この方程式(9)はどのような粒子が満たす方程式だろうか。式(9)の複素共役をとると
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{i(-q)A^0}{\hbar}\right)\chi^*=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{i(-q)\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\chi^*\tag{12}\end{align*}
となり、正のエネルギー解におけるクライン-ゴルドン方程式の非相対論的極限であるシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\tag{13}\end{align*}
と比較すると、質量\(m\)は同じだが、電荷の符号が逆の反粒子が従う式であることがわかる。
以上より、方程式(9)は反粒子が従うシュレーディンガー方程式の複素共役であり、方程式(9)に従う粒子が持つエネルギーが\(E'{}’\)である。このように、負のエネルギー解においてクライン-ゴルドン方程式の非相対論的極限では、反粒子が関係してくることが分かる。
波動関数\(\chi\)と\(\phi\)の関係
クライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\tag{14}\end{align*}
における波動関数\(\phi\)は
\begin{align*}\phi&=e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\tag{15}\end{align*}
であるため、波動関数\(\chi\)
\begin{align*}\chi&=e^{-\frac{i}{\hbar}(E'{}’t-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\tag{10}\end{align*}
と\(\phi\)との関係は
\begin{align*}\phi&=e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\\&\simeq e^{-\frac{i}{\hbar}(-mc^2t+E'{}’t-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\\&=e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\chi\tag{16}\end{align*}
となる。
負のエネルギー解における非相対論的極限
次に負のエネルギー解における非相対論的極限を求める。クラインゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\tag{14}\end{align*}
に、波動関数\(\chi\)と\(\phi\)との関係性を表す式(16)を代入すると
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\chi-e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\chi+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\chi=0\tag{17}\end{align*}
となり、1つ目の項を計算すると
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\chi&=\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\chi\\&=\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}+\frac{imc^2}{\hbar}\right)\chi\\&=\frac{1}{c^2}e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}+\frac{imc^2}{\hbar}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}+\frac{imc^2}{\hbar}\right)\chi\\&=\frac{1}{c^2}e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}+\frac{imc^2}{\hbar}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)+\frac{imc^2}{\hbar}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}+\frac{imc^2}{\hbar}\right)\right\}\chi\\&=\frac{1}{c^2}e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}+2\frac{imc^2}{\hbar}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)-\frac{m^2c^4}{\hbar^2}\right\}\chi\tag{18}\end{align*}
となる。非相対論的極限では、静止エネルギーと比べて運動エネルギーやポテンシャルエネルギーは十分小さい
\begin{align*}\vert mc^2\chi\vert\gg \left| i\hbar\frac{\partial \chi}{\partial t}\right|,\vert qA^0\chi\vert\tag{19}\end{align*}
ため、式(18)の１つ目の括弧
\begin{align*}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}+2\frac{imc^2}{\hbar}\right)\end{align*}
の中で\(\frac{\partial }{\partial t}\)と\(\frac{iqA^0}{\hbar}\)を無視すると
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\chi&\simeq\frac{1}{c^2}e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{2\frac{imc^2}{\hbar}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)-\frac{m^2c^4}{\hbar^2}\right\}\chi\\&=e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{2\frac{im}{\hbar}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\chi\tag{20}\end{align*}
となり、式(17)に代入すると
\begin{align*}&e^{\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{2\frac{im}{\hbar}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\right\}\chi-e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\chi=0\\\rightarrow& i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\chi=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\chi\tag{9}\end{align*}
となって、非相対論的極限において負のエネルギー解におけるクライン-ゴルドン方程式は「反粒子が従うシュレーディンガー方程式の複素共役」となることが分かる。
非相対論的極限のまとめ
本ページと前ページの内容をまとめると、クライン-ゴルドン方程式の非相対論的極限では粒子のシュレーディンガー方程式だけでなく反粒子のシュレーディンガー方程式(正確にはその複素共役)が現れた、つまり、クライン-ゴルドン方程式には粒子だけでなく反粒子の式も含まれていることが示唆される。
また、非相対論的極限では、正のエネルギー解は粒子のエネルギーと、負のエネルギー解は反粒子のエネルギーと関係していることが分かる。ただし、正のエネルギー解は粒子のエネルギーに単純に相当していたが、負のエネルギー解は反粒子のエネルギーに相当せず、複素共役をとる操作が必要であった。このように、正のエネルギー解と負のエネルギー解で扱い方が変わる理由については、クライン-ゴルドン方程式やディラック方程式からは明らかにならず、場の量子論で明らかになる。
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