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クライン-ゴルドン方程式の非相対論的極限(正のエネルギー解)

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本ページでは…

 本ページでは、非相対論的極限において正のエネルギー解

\begin{align*}E=+ c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}

における荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式

\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\end{align*}

は、荷電粒子のシュレーディンガー方程式

\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\end{align*}

となることを確かめる。

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前ページでは、荷電粒子が従うクライン-ゴルドン方程式

\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi&=0\end{align*}

を導出し、この方程式がゲージ不変性を持つことを見た。

 また、相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン

\begin{align*}H=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}

を求め、正のハミルトニアンは非相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン

\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\end{align*}

に静止エネルギー\(mc^2\)を足したものであることを確認した。

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内容

非相対論的極限

 荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式には正のエネルギー解と負のエネルギー解の2つ

\begin{align*}E=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{1}\end{align*}

が存在する(以前のページ参照)が、今回、正のエネルギー解

\begin{align*}E=+ c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{2}\end{align*}

における非相対論的極限を求める。

波動関数\(\varPsi\)と\(\phi\)の関係

 初めに、シュレーディンガー方程式

\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\tag{3}\end{align*}

における波動関数\(\varPsi\)

\begin{align*}\varPsi&=e^{-\frac{i}{\hbar}(E’t-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\tag{4}\\E’&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{5}\end{align*}

と、クライン-ゴルドン方程式

\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\tag{6}\end{align*}

における波動関数\(\phi\)

\begin{align*}\phi&=e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\tag{7}\\E&=+ c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{2}\end{align*}

との関係性を調べる。

 クライン-ゴルドン方程式における正のエネルギー解\(E\)は非相対論的極限(\(\boldsymbol p^2\ll c^2\))において次のような変形

\begin{align*}E&=+c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\\&=mc^2\sqrt{1+\frac{1}{m^2c^2}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2}+qA^0\\&=mc^2\left\{1+\frac{1}{2}\frac{1}{m^2c^2}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+\cdots\right\}+qA^0\\&\simeq mc^2+\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\\&=mc^2+E’\tag{8}\end{align*}

を行なうことができ、非相対論的極限において、クライン-ゴルドン方程式における正のエネルギー解\(E\)はシュレーディンガー方程式におけるエネルギー\(E’\)に静止エネルギー\(mc^2\)を足したものであることが分かる。

 よって、波動関数\(\varPsi\)と\(\phi\)との関係は

\begin{align*}\phi&=e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\\&\simeq e^{-\frac{i}{\hbar}(mc^2t+E’t-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)}\\&=e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\varPsi\tag{9}\end{align*}

となる。

正のエネルギー解における非相対論的極限

 次に正のエネルギー解における非相対論的極限を求める。クライン-ゴルドン方程式

\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\tag{6}\end{align*}

に、波動関数\(\varPsi\)と\(\phi\)との関係性を表す式(9)を代入すると

\begin{align*}\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\varPsi-e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\varPsi=0\tag{10}\end{align*}

となり、1つ目の項を計算すると

\begin{align*}\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\varPsi&=\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\varPsi\\&=\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-\frac{imc^2}{\hbar}\right)\varPsi\\&=\frac{1}{c^2}e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-\frac{imc^2}{\hbar}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-\frac{imc^2}{\hbar}\right)\varPsi\\&=\frac{1}{c^2}e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-\frac{imc^2}{\hbar}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)-\frac{imc^2}{\hbar}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-\frac{imc^2}{\hbar}\right)\right\}\varPsi\\&=\frac{1}{c^2}e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-2\frac{imc^2}{\hbar}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)-\frac{m^2c^4}{\hbar^2}\right\}\varPsi\tag{11}\end{align*}

となる。非相対論的極限では、静止エネルギーと比べて運動エネルギーやポテンシャルエネルギーは十分小さい

\begin{align*}\vert mc^2\varPsi\vert\gg \left| i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial t}\right|,\vert qA^0\varPsi\vert\tag{12}\end{align*}

ため、式(11)の1つ目の括弧

\begin{align*}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-2\frac{imc^2}{\hbar}\right)\end{align*}

の中で\(\frac{\partial }{\partial t}\)と\(\frac{iqA^0}{\hbar}\)を無視すると

\begin{align*}\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\varPsi&\simeq\frac{1}{c^2}e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{-2\frac{imc^2}{\hbar}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)-\frac{m^2c^4}{\hbar^2}\right\}\varPsi\\&=e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{-2\frac{im}{\hbar}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\varPsi\tag{13}\end{align*}

となり、式(10)に代入すると

\begin{align*}&e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left\{-2\frac{im}{\hbar}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\right\}-e^{-\frac{imc^2}{\hbar}t}\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi=0\\\rightarrow& i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\tag{3}\end{align*}

となって、非相対論的極限において正のエネルギー解におけるクライン-ゴルドン方程式はシュレーディンガー方程式となることが分かる。

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次ページから…

次ページでは、非相対論的極限において負のエネルギー解

\begin{align*}E=- c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}

における荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式

\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\end{align*}

は、反粒子が従うシュレーディンガー方程式の複素共役

\begin{align*} i\hbar\bigg(\frac{\partial}{\partial t}&+\frac{iqA^0}{\hbar}\bigg)\chi=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\chi\end{align*}

となることを確かめる。


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