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本ページでは、汎函数微分を用いた複素場の理論におけるポアソン括弧
\begin{align}\left\{A,B\right\}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \varPhi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \varPi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&\ \ \ +\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \varPi^*(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を定義し、ポアソン括弧を用いて正準方程式が
\begin{align}\partial_0 \varPhi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\varPhi(t,\boldsymbol y),H\right\}\\\partial_0\pi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\varPi(t,\boldsymbol y),H\right\}\\\partial_0 \varPhi^*(t,\boldsymbol y)&=\left\{\varPhi^*(t,\boldsymbol y),H\right\}\\\partial_0\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\left\{\varPi^*(t,\boldsymbol y),H\right\}\end{align}
と表されることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、ルジャンドル変換から複素場の理論におけるハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ ((\partial^0\varPhi)\varPi+(\partial^0\varPhi^*)\varPi^*)- L\end{align*}
を求めた。また、汎函数微分を用いて表した複素場の理論における正準方程式
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi\\\frac{\delta H}{\delta\varPi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi\\\frac{\delta H}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi^*\\\frac{\delta H}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi^*\end{align*}
を求め、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いて複素場の理論における正準方程式が
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPhi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\varPhi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPhi^*(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\varPi^*(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \varPi^*(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)\end{align*}
となることを確認した。
内容
ポアソン括弧の定義
以前のページで、場の理論におけるポアソン括弧は汎関数微分を用いて
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\tag{1}\end{align}
となることを確認した。
場の理論のポアソン括弧と同様に、複素場の理論のポアソンも求めることができ、汎関数微分を用いて
\begin{align}\left\{A,B\right\}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \varPhi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \varPi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&\ \ \ +\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \varPi^*(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\right)\tag{2}\end{align}
となる。ポアソン括弧に積分項が2つ現れたのは複素場に2つの自由度があるからであり、以前求めたポアソン括弧においても自由度\(i\)の数だけ積分項があった。
ポアソン括弧を用いた正準方程式
場の理論において物理量\(A\)の時間微分は
\begin{align}\frac{d A}{d t}=\left\{A,H\right\}\tag{3}\end{align}
と表されていた(以前のページを参考)が、複素場の理論においてもこの関係式は成り立つ。そのため、物理量\(A\)として複素場\(\varPhi\)や正準共役運動量\(\varphi\)のときを考えると
\begin{align}\partial_0 \varPhi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\varPhi(t,\boldsymbol y),H\right\}\tag{4}\\\partial_0\pi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\varPi(t,\boldsymbol y),H\right\}\tag{5}\\\partial_0 \varPhi^*(t,\boldsymbol y)&=\left\{\varPhi^*(t,\boldsymbol y),H\right\}\tag{6}\\\partial_0\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\left\{\varPi^*(t,\boldsymbol y),H\right\}\tag{7}\end{align}
となり、ハミルトンの正準方程式そのものになる。複素場の理論において、時間\(t\)と空間座標\(\boldsymbol y\)はそれぞれ独立変数であるため、時間における微分と偏微分は等しい。
代表的な関係式
ポアソン括弧でよく使う関係は以下である。
\begin{align}\left\{\varPhi(t,\boldsymbol y),\varPi(t,\boldsymbol z)\right\}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta \varPhi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \varPi(t,\boldsymbol z)}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta \varPi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \varPi(t,\boldsymbol z)}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol x)\delta^3(\boldsymbol z-\boldsymbol x)\\&=\delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol z)\tag{8}\\\left\{\varPhi^*(t,\boldsymbol y),\varPi^*(t,\boldsymbol z)\right\}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta \varPhi^*(t,\boldsymbol y)}{\delta \varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \varPi^*(t,\boldsymbol z)}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta \varPhi^*(t,\boldsymbol y)}{\delta \varPi^*(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \varPi^*(t,\boldsymbol z)}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol x)\delta^3(\boldsymbol z-\boldsymbol x)\\&=\delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol z)\tag{9}\end{align}
\begin{align}\left\{\varPhi(t,\boldsymbol y),\varPhi(t,\boldsymbol z)\right\}&=0\tag{10}\\\left\{\varPhi^*(t,\boldsymbol y),\varPhi^*(t,\boldsymbol z)\right\}&=0\tag{11}\\\left\{\varPhi(t,\boldsymbol y),\varPhi^*(t,\boldsymbol z)\right\}&=0\tag{12}\end{align}
\begin{align}\left\{\varPi(t,\boldsymbol y),\varPi(t,\boldsymbol z)\right\}&=0\tag{13}\\\left\{\varPi^*(t,\boldsymbol y),\varPi^*(t,\boldsymbol z)\right\}&=0\tag{14}\\\left\{\varPi(t,\boldsymbol y),\varPi^*(t,\boldsymbol z)\right\}&=0\tag{15}\end{align}
\begin{align}\left\{\varPhi(t,\boldsymbol y),\varPi^*(t,\boldsymbol z)\right\}&=0\tag{16}\\\left\{\varPhi^*(t,\boldsymbol y),\varPi(t,\boldsymbol z)\right\}&=0\tag{17}\end{align}
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