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本ページでは…
本ページでは、汎函数微分を用いた場の理論におけるポアソン括弧
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を定義し、ポアソン括弧を用いて正準方程式が
\begin{align}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\phi(t,\boldsymbol y),H\right\}\\\partial_0\pi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\pi(t,\boldsymbol y),H\right\}\end{align}
と表されることを確認する。
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前ページまで…
前ページでは、ルジャンドル変換から場の理論におけるハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ (\partial^0\phi)\pi- L\end{align*}
を求めた。また、汎函数微分を用いて表した場の理論における正準方程式
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\delta H}{\delta\pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
を求め、次の関係
\begin{align*}H=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr H\end{align*}
を満たすハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いて場の理論における正準方程式が
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
となることを確認した。
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内容
ポアソン括弧の定義
ある物理量\(\mathscr A\)と\(\mathscr B\)が、場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)と正準共役運動量\(\pi(t,\boldsymbol x)\)そして場の空間微分\(\partial_i\phi(t,\boldsymbol x)(i=1,2,3)\)の関数になっているとする。
\begin{align}&\mathscr A(\phi,\pi,\partial_i\phi)\tag{1}\\&\mathscr B(\phi,\pi,\partial_i\phi)\tag{2}\end{align}
また、物理量\(\mathscr A\)と\(\mathscr B\)を空間積分した汎関数\(A\)と\(B\)を定義する。
\begin{align*}A[\phi,\pi]&=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr A(\phi,\pi,\partial_i\phi)\tag{3}\\B[\phi,\pi]&=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr B(\phi,\pi,\partial_i\phi)\tag{4}\end{align*}
汎関数\(A\)の微小変化\(\delta A[\phi,\pi]\)は
\begin{align*}\delta A[\phi,\pi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)-\delta \phi(t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\tag{5}\end{align*}
\begin{align*}\delta A[\phi,\pi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \delta \mathscr A(\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol x),\partial_i\phi(t,\boldsymbol x))\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\delta \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)+\partial_i\left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)\right)-\delta \phi(t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)-\delta \phi(t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align*}
3行目への変形では部分積分を行ない、4行目への変形では全微分項を無視した。
であるから、変数の中で\(\phi(t,\boldsymbol y)\)以外を固定(\(\delta\pi=0\))したとき、\(\phi(t,\boldsymbol y)\)の無限小増分に対する汎関数\(A[\phi,\pi]\)の増分は
\begin{align*}\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}-\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta^3( \boldsymbol x- \boldsymbol y)-\delta^3( \boldsymbol x- \boldsymbol y)\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}\tag{6}\end{align*}
となり、変数の中で\(\pi(t,\boldsymbol y)\)以外を固定(\(\delta\phi=0\))したとき、\(\pi(t,\boldsymbol y)\)の無限小増分に対する汎関数\(A[\phi,\pi]\)の増分は
\begin{align*}\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}&=\int d \boldsymbol x^3\ \frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta^3( \boldsymbol x- \boldsymbol y)\\&=\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}\tag{7}\end{align*}
となる。
また、時間が微小変化した際の汎関数\(A\)の微小変化\(\delta A[\phi,\pi]\)は
\begin{align*}\delta A[\phi,\pi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \pi(t,\boldsymbol x)-(\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x))\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\delta t\tag{8}\end{align*}
\begin{align*}\delta A[\phi,\pi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\mathscr A(\phi(t+\delta t,\boldsymbol x),\pi(t+\delta t,\boldsymbol x),\partial_i\phi(t+\delta t,\boldsymbol x))-\mathscr A(\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol x),\partial_i\phi(t,\boldsymbol x))\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\mathscr A(\phi+\partial_0\phi\delta t,\pi+\partial_0\pi\delta t,\partial_i\phi+\partial_0\partial_i\phi)-\mathscr A(\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol x),\partial_i\phi(t,\boldsymbol x))\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x)\delta t+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \pi(t,\boldsymbol x)\delta t+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)\delta t\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \pi(t,\boldsymbol x)+\partial_i\left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x)\right)-(\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x))\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\delta t\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \pi(t,\boldsymbol x)-(\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\delta t\end{align*}
4行目への変形では部分積分を行ない、5行目への変形では全微分項を無視した。
であるから、汎関数\(A[\phi,\pi]\)の時間微分は
\begin{align*}\frac{d A[\phi,\pi]}{d t}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr A}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr A}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \pi(t,\boldsymbol x)-(\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x))\partial_i\frac{\partial \mathscr A}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\tag{9}\end{align*}
となる。ここで、微分の形で表せるのは、汎関数\(A\)において時間積分はされておらず、時間の関数だからである。この式に式(6)と式(7)を代入すると
\begin{align*}\frac{d A[\phi,\pi]}{d t}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\partial_0 \pi(t,\boldsymbol x)\right)\tag{10}\end{align*}
となり、ここに場の理論における正準方程式
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol x)\tag{11}\\\frac{\delta H}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol x)\tag{12}\end{align*}
を代入すると
\begin{align*}\frac{d A[\phi,\pi]}{d t}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta H}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta H}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\tag{13}\end{align*}
となる。ここでかなり対称な部分が現れるが、次のような定義のポアソン括弧を導入しよう。
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\tag{14}\end{align}
ポアソン括弧を用いて汎関数\(A\)の時間微分を表すと
\begin{align}\frac{d A}{d t}=\left\{A,H\right\}\tag{15}\end{align}
とポアソン括弧に等しくなり、粒子におけるポアソン括弧と同様になる(以前のページを参照)。
ポアソン括弧を用いた正準方程式
式(15)の汎関数\(A\)として、場\(\phi\)や正準共役運動量\(\pi\)のときを考えると
\begin{align}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\phi(t,\boldsymbol y),H\right\}\tag{16}\\\partial_0\pi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\pi(t,\boldsymbol y),H\right\}\tag{17}\end{align}
となり、ハミルトンの正準方程式そのものになる。
代表的な関係式
ポアソン括弧でよく使う関係は次の三つである。
\begin{align}\left\{\phi(t,\boldsymbol y),\pi(t,\boldsymbol z)\right\}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol x)\delta^3(\boldsymbol z-\boldsymbol x)\\&=\delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol z)\tag{18}\end{align}
\begin{align}\left\{\phi(t,\boldsymbol y),\phi(t,\boldsymbol z)\right\}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol z)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \phi(t,\boldsymbol z)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=0\tag{19}\end{align}
\begin{align}\left\{\pi(t,\boldsymbol y),\pi(t,\boldsymbol z)\right\}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=0\tag{20}\end{align}
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次ページから…
次ページでは、複素場の理論における正準共役運動量\(\varPi\),\(\varPi^*\)が汎関数微分を用いて
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\varPi(t,\boldsymbol y)&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\varPhi(t,\boldsymbol y)}\\\varPi^*(t,\boldsymbol y)&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\varPhi^*(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
となることを確認する。