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本ページでは、多自由度におけるシュレーディンガー描像での固有状態の定義と、固有状態が満たす性質、および演算子との関係について調べていく。
ここで、多自由度とは例えば\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸…など複数の座標を持つ空間を粒子が行ったり来たりするイメージである。
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前ページでは、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)と座標の固有状態\(\vert q\rangle\)との内積をとると波動関数の座標表示
\begin{align*}\psi(q,t)=\langle q\vert\psi\rangle\end{align*}
が得られ、運動量の固有状態\(\vert p\rangle\)との内積をとると波動関数の運動量表示
\begin{align*}\psi(p,t)=\langle p\vert\psi\rangle\end{align*}
が得られることをみた。
また、シュレーディンガー方程式の座標表示と運動量表示を求めた。
内容
固有状態とは
量子力学において、固有値方程式の固有ベクトルを固有状態とよぶ。例えば次の固有値方程式のように、ある物理量\(A\)を表すエルミート演算子\(\hat A\)を作用させたときに固有値\(a_{\scriptsize{n}}\)を返す固有ベクトル\(\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle\)が固有状態にあたる。
\begin{align*}&\hat A\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle = a_{\scriptsize{n}}\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle \tag{1}\end{align*}
シュレーディンガー描像とは
シュレーディンガー描像とは、系の時間発展について、演算子と固有状態は時間依存性を持たず、状態ベクトルが時間発展すると考える論理形式のことをいう。今後、ハイゼンベルグ描像と区別するために、シュレーディンガー描像での演算子、固有状態、状態ベクトルには\(\text S\)の添字をつける。
固有状態の定義式(1)から、多自由度におけるシュレーディンガー描像での座標と運動量の固有状態
\begin{align*}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}}&=\vert q_{\scriptsize{1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F}}\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{2}\\\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}}&=\vert p_{\scriptsize{1}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F}}\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{3}\end{align*}
を考えたとき、自由度\(i\)での座標と運動量の固有値\(q_{\scriptsize{i}}\),\(p_{\scriptsize{i}}\)と、自由度\(i\)での固有値を返す演算子\(\hat q_{\scriptsize{i,\text S}}\),\(\hat p_{\scriptsize{i,\text S}}\)を用いて次のように書くことができる。
\begin{align*}&\hat q_{\scriptsize{i,\text S}}\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}= q_{\scriptsize{i}}\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}\tag{4}\\&\hat p_{\scriptsize{i,\text S}}\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}= p_{\scriptsize{i}}\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}\tag{5}\end{align*}
ここで2点注意だが、ハイゼンベルグ描像と異なり、シュレーディンガー描像の演算子と固有状態は時間に依存していない。また、シュレーディンガー描像での固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)は連続基底系の基底ベクトルであり、\(q_{\scriptsize{i}}\),\(p_{\scriptsize{i}}\)が連続しているためベクトルで表すことはできないが、無理やり表すと\(\infty\)行1列ベクトルで、行の数は1自由度のときと比べて\(N_F\)乗の数になっている。さらに、それぞれの行は\((q_{\scriptsize{1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F}})\)または\((p_{\scriptsize{1}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F}})\)のあらゆる組み合わせに対応している。そして、状態に該当する組み合わせ\((q_{\scriptsize{1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F}})\)または\((p_{\scriptsize{1}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F}})\)に対応する行のみ値をもち(規格直交性を満たすため\(\lim_{\Delta r\rightarrow0}(\frac{1}{\sqrt{\Delta r}})^{N_F}=\infty\)の値をもつ)、それ以外の成分はゼロのベクトルになる。
\begin{align*}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}},\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}}=\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)\end{align*}
固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}}\),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}}\)は様々な状態をとり、それに合わせて自由度\(i\)における固有値\(q_{\scriptsize{i}}\),\(p_{\scriptsize{i}}\)も様々な固有値をとるが、シュレーディンガー描像での自由度\(i\)における演算子は1つ(\(\hat q_{\scriptsize{i,\text S}}\)と\(\hat p_{\scriptsize{i,\text S}}\))しかなく、\(\infty\)行\(\infty\)列の対角行列であり、対角成分はその座標\(q_{\scriptsize{i}}\)、運動量\(p_{\scriptsize{i}}\)の値になっている。(行は\((q_{\scriptsize{1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F}})\)または\((p_{\scriptsize{1}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F}})\)の組み合わせに相当する。そのため、\(q_{\scriptsize i}\)または\(p_{\scriptsize i}\)、1自由度のときと異なり、自由度\(i\)における演算子の対角成分には同じ値が\(i\)個配置されている。)
\begin{align*}\hat q_{\scriptsize{i},\text S}=\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&q_{\scriptsize{i}}-\Delta q_{\scriptsize{i}}&&&\\&&q_{\scriptsize{i}}&&\\&&&q_{\scriptsize{i}}+\Delta q_{\scriptsize{i}}&\\0&&&&\ddots\end{array}\right),\ \ \ \hat p_{\scriptsize{i},\text S}=\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&p_{\scriptsize{i}}-\Delta p_{\scriptsize{i}}&&&\\&&p_{\scriptsize{i}}&&\\&&&p_{\scriptsize{i}}+\Delta p_{\scriptsize{i}}&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\end{align*}
よって、固有値方程式を無理やりベクトルで表すと次のようになる。
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&q_{\scriptsize{i}}-\Delta q_{\scriptsize{i}}&&&\\&&q_{\scriptsize{i}}&&\\&&&q_{\scriptsize{i}}+\Delta q_{\scriptsize{i}}&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)=q_{\scriptsize{i}}\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)\end{align*}
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&p_{\scriptsize{i}}-\Delta p_{\scriptsize{i}}&&&\\&&p_{\scriptsize{i}}&&\\&&&p_{\scriptsize{i}}+\Delta p_{\scriptsize{i}}&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)=p_{\scriptsize{i}}\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)\end{align*}
シュレーディンガー描像での固有状態
座標\(q_{\scriptsize{i}}\)と運動量\(p_{\scriptsize{i}}\)は離散的ではなく連続しているため、クロネッカーのデルタではなくデルタ関数を用いることによって、次のように固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)の規格直交関係を書くことができる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&= \prod_{i=1}^{N_F}\delta(q_{\scriptsize{i}}-q’_{\scriptsize{i}})=\delta^{N_F}(q-q’) \tag{6}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&= \prod_{i=1}^{N_F}\delta(p_{\scriptsize{i}}-p’_{\scriptsize{i}})=\delta^{N_F}(p-p’)\tag{7}\end{align*}
また、完全系は総和ではなく積分表示を用いて次のように記すことができる。
\begin{align*}\left(\prod_{i=1}^{N_F}\int dq_{\scriptsize{i}}\right)\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert&=\boldsymbol I\tag{8}\\\left(\prod_{i=1}^{N_F}\int dp_{\scriptsize{i}}\right)\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert&=\boldsymbol I\tag{9}\end{align*}
シュレーディンガー描像での演算子
シュレーディンガー描像においても、位置演算子\(\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\)と運動量演算子\(\hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\)の間には次の正準交換関係が成り立つ。
\begin{align*}[\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}},\hat p_{\scriptsize{j,\text{S}}}]&=\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\hat p_{\scriptsize{j,\text{S}}}-\hat p_{\scriptsize{j,\text{S}}}\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\\&=i\hbar\delta_{\scriptsize{ij}}\tag{10}\end{align*}
そのため、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)に演算子を作用させるとき、位置演算子\(\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\)が式(\(2\))の関係を満たすなら、運動量演算子\(\hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\)は正準交換関係を満たすように次の関係を満たす必要がある。
\begin{align*}\hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{11}\end{align*}
この関係は、次の式変形から求めることができる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’}\left(q_{\scriptsize{i}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} q_{\scriptsize{i}}’\right)\\&=\frac{1}{q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\hat p_{i,\scriptsize{\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert[\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}},\hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}]\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert i\hbar\delta_{\scriptsize{ii}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{i\hbar}{q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{i\hbar}{q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’}\delta^{N_F}(q-q’)\\&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}\delta^{N_F}(q-q’)\\&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\\\rightarrow \hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{12}\end{align*}
※※※2番目の等号では、式(\(4\))とそのエルミート共役
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\hat q_{\scriptsize{i,\text S}}= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q_{\scriptsize{i}}=q_{\scriptsize{i}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\tag{13}\end{align*}
を用い、3番目の等号では交換子\([]\)を用い、4番目の等号では正準交換関係を用い、6番目の等号では規格直交関係を用いた。また、7番目の等号では次の関係式
\begin{align*}(q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’)\delta^{N_F}(q-q’)&=0\\\rightarrow\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}\left\{(q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’)\delta^{N_F}(q-q’)\right\}&=\delta^{N_F}(q-q’)+(q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’)\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}\delta^{N_F}(q-q’)=0\\\rightarrow\frac{1}{q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’}\delta^{N_F}(q-q’)&=-\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}\delta^{N_F}(q-q’)\tag{14}\end{align*}
を用い(1番目の式はデルタ関数の性質によりどのような\(q_{\scriptsize{i}}-q_{\scriptsize{i}}’\)でも成り立つ自明な式であり、2番目の式は1番目の式を積の微分公式を用いて微分を行った。)、8番目の等号では再び規格直交関係を用い、9番目の等号では\(\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)を無視し、10番目の等号ではエルミート共役をとった(固有状態と演算子は行列だが、\(-i\hbar\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}\)はスカラーであることに注意する)。※※※
次に、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)ではなく運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)に演算子を作用させるとき、運動量演算子\(\hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\)が式(\(3\))の関係を満たすなら、位置演算子\(\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\)は正準交換関係を満たすように次の関係を満たす必要がある。
\begin{align*}\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial p_{\scriptsize{i}}}\vert p\rangle_{\scriptsize{i,\text{S}}}\tag{15}\end{align*}
この関係は、次の式変形から求めることができる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’}\left(p_{\scriptsize{i}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} p_{\scriptsize{i}}’\right)\\&=\frac{1}{p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert-[\hat p_{\scriptsize{i,\text{S}}},\hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}]\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert -i\hbar\delta_{\scriptsize{ii}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=-\frac{i\hbar}{p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=-\frac{i\hbar}{p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’}\delta^{N_F}(p-p’)\\&=i\hbar\frac{\partial }{\partial p_{\scriptsize{i}}}\delta^{N_F}(p-p’)\\&=i\hbar\frac{\partial }{\partial p_{\scriptsize{i}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial }{\partial p_{\scriptsize{i}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\\\rightarrow \hat q_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial p_{\scriptsize{i}}}\vert p\rangle_{\scriptsize{i,\text{S}}}\tag{16}\end{align*}
※※※ほぼ全ての式変形は式(\(11\))と同じだが、7番目の等号では次の関係を用いた。
\begin{align*}(p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’)\delta^{N_F}(p-p’)&=0\\\rightarrow\frac{\partial }{\partial p_{\scriptsize{i}}}\left\{(p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’)\delta^{N_F}(p-p’)\right\}&=\delta^{N_F}(p-p’)+(p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’)\frac{\partial }{\partial p_{\scriptsize{i}}}\delta^{N_F}(p-p’)=0\\\rightarrow\frac{1}{p_{\scriptsize{i}}-p_{\scriptsize{i}}’}\delta^{N_F}(p-p’)&=-\frac{\partial }{\partial q_{\scriptsize{i}}}\delta^{N_F}(p-p’)\tag{17}\end{align*}
※※※
座標と運動量の固有状態の内積
最後に、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)と運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)の内積は次のようになる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}\right)^{N_{\scriptsize{\text F}}}\exp\left[{-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{\text F}}}p_{\scriptsize{i}}q_{\scriptsize{i}}}\right]\tag{18}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}\right)^{N_{\scriptsize{\text F}}}\exp\left[{\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{\text F}}}p_{\scriptsize{i}}q_{\scriptsize{i}}}\right]\tag{19}\end{align*}
この関係式を導出するには、初めに次の式を計算する。
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\hat{p}_{i,\scriptsize{\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial}{\partial q_{\scriptsize{i}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q \rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \tag{20}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\hat{p}_{\scriptsize{i,\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=p_{\scriptsize{i}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \tag{21}\end{align*}
※※※1番目の式では、式(\(11\))を用い、2番目の式では式(\(5\))のエルミート共役
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\hat p_{\scriptsize{i,\text S}}= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p_{\scriptsize{i}}\tag{22}\end{align*}
を用いた。※※※
式(\(20\))と式(\(21\))は等しいため、
\begin{align*} \\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=N\exp\left[{-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{\text F}}}p_{\scriptsize{i}}q_{\scriptsize{i}}}\right]\tag{23} \end{align*}
が成り立つ。そして、規格化定数\(N\)は次のデルタ関数
\begin{align*} \\\delta^{N_{\scriptsize{\text{F}}}}(q-q’)&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\left\{\left(\prod_{i=1}^{N_F}\int dp_{\scriptsize{i}}\right)\ \vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\right\}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&=\left(\prod_{i=1}^{N_F}\int dp_{\scriptsize{i}}\right)\ N^*\exp\left[{\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{\text F}}}p_{\scriptsize{i}}q_{\scriptsize{i}}}\right]N\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{\text F}}}p_{\scriptsize{i}}q’_{\scriptsize{i}}\right]\\&=\vert N\vert^2\left(\prod_{i=1}^{N_F}\int dp_{\scriptsize{i}}\exp\left[\frac{i}{\hbar}p_{\scriptsize{i}}(q_{\scriptsize{i}}-q’_{\scriptsize{i}})\right]\right)\\&=\vert N\vert^2\left\{(2\pi\hbar)^{N_{\scriptsize{\text F}}}\delta^{N_{\scriptsize{\text F}}}(q-q’)\right\}\tag{24}\end{align*}
を計算すると、規格化定数は
\begin{align*}N&=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}\right)^{N_{\scriptsize{\text F}}}e^{i\theta}\tag{25}\end{align*}
と求められる。位相の不定性があるが、位相を\(1\)とすると
\begin{align*}N&=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}\right)^{N_{\scriptsize{\text F}}}\tag{26}\end{align*}
となり、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)と運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)の内積は式(\(18\))と式(\(19\))となる。
※※※式(\(24\))の1番目の等号は規格直交関係の式(\(6\))を用い、2番目の等号は完全系の式(\(9\))を用い、3番目の等号では式(\(23\))とそのエルミート共役を用い、5番目の等号ではデルタ関数の関係式
\begin{align*}\int dp_{\scriptsize{i}}\ e^{\frac{i}{\hbar}p_{\scriptsize{i}}(q_{\scriptsize{i}}-q’_{\scriptsize{i}})}=2\pi\hbar\delta(q_{\scriptsize{i}}-q’_{\scriptsize{i}})\tag{27}\end{align*}
を用いた。※※※
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