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本ページでは、1自由度におけるシュレーディンガー描像での固有状態の定義と、固有状態が満たす性質、および演算子との関係について調べていく。
ここで、1自由度とは例えば\(x\)軸上を粒子が行ったり来たりするイメージである。
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前ページでは、状態ベクトル\(\vert\psi\rangle\)は連続基底系における基底ベクトル\(\vert r\rangle\)の線型結合で表せることと、その展開係数\(\vert\psi(r)\rangle\)が波動関数になることを確認した。
\begin{align*}\vert\psi\rangle=\int dr\ \psi(r)\vert r\rangle\end{align*}
内容
固有状態とは
量子力学において、固有値方程式の固有ベクトルを固有状態とよぶ。例えば次の固有値方程式のように、ある物理量\(A\)を表すエルミート演算子\(\hat A\)を作用させたときに固有値\(a_{\scriptsize{n}}\)を返す固有ベクトル\(\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle\)が固有状態にあたる。
\begin{align*}&\hat A\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle = a_{\scriptsize{n}}\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle \tag{1}\end{align*}
シュレーディンガー描像とは
シュレーディンガー描像とは、系の時間発展について、演算子と固有状態は時間依存性を持たず、状態ベクトルが時間発展すると考える論理形式のことをいう。今後、ハイゼンベルグ描像と区別するために、シュレーディンガー描像での演算子、固有状態、状態ベクトルには\(\text S\)の添字をつける。
固有状態の定義式(1)から、1自由度におけるシュレーディンガー描像での座標と運動量の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)を考えたとき、その固有状態は座標と運動量の固有値\(q\),\(p\)と演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text S}}\),\(\hat p_{\scriptsize{\text S}}\)を用いて次のように書くことができる。
\begin{align*}&\hat q_{\scriptsize{\text S}}\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}= q\vert q\rangle _{\scriptsize{\text S}}\tag{2}\\&\hat p_{\scriptsize{\text S}}\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}= p\vert p\rangle _{\scriptsize{\text S}}\tag{3}\end{align*}
ここで2点注意だが、ハイゼンベルグ描像と異なり、シュレーディンガー描像の演算子と固有状態は時間に依存していない。また、シュレーディンガー描像での固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)は連続基底系の基底ベクトルであり、\(q\),\(p\)が連続しているためベクトルで表すことはできないが、無理やり表すと\(\infty\)行1列ベクトルで\(q\)または\(p\)番目の成分のみ値をもち(規格直交性を満たすため\(\lim_{\Delta r\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{\Delta r}}=\infty\)の値になる)、それ以外の成分はゼロのベクトルになる。
\begin{align*}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}},\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}}=\left(\begin{array}{c}0\\\vdots\\\infty\\\vdots\\0\end{array}\right)\end{align*}
固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)は様々な状態をとり、それに合わせて固有値\(q\),\(p\)も様々な固有値をとるが、シュレーディンガー描像での演算子は1つ(\(\hat q_{\scriptsize{\text S}}\)と\(\hat p_{\scriptsize{\text S}}\))しかなく、\(\infty\)行\(\infty\)列の対角行列であり、対角成分はその座標\(q\)、運動量\(p\)の値になっている。
\begin{align*}\hat q_{\scriptsize{\text S}}=\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&q-\Delta q&&&\\&&q&&\\&&&q+\Delta q&\\0&&&&\ddots\end{array}\right),\hat p_{\scriptsize{\text S}}=\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&p-\Delta p&&&\\&&p&&\\&&&p+\Delta p&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\end{align*}
よって、固有値方程式を無理やりベクトルで表すと次のようになる。
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&q-\Delta q&&&\\&&q&&\\&&&q+\Delta q&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\\vdots\\\infty\\\vdots\\0\end{array}\right)=q\left(\begin{array}{c}0\\\vdots\\\infty\\\vdots\\0\end{array}\right)\end{align*}
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&p-\Delta p&&&\\&&p&&\\&&&p+\Delta p&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\\vdots\\\infty\\\vdots\\0\end{array}\right)=p\left(\begin{array}{c}0\\\vdots\\\infty\\\vdots\\0\end{array}\right)\end{align*}
シュレーディンガー描像での固有状態
座標\(q\)と運動量\(p\)は離散的ではなく連続しているため、クロネッカーのデルタではなくデルタ関数を用いることによって、次のように固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)の規格直交関係を書くことができる。
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\delta(q-q’)\tag{4}\\ {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\delta(p-p’)\tag{5}\end{align*}
また、完全系は総和ではなく積分表示を用いて次のように記すことができる。
\begin{align*}\int dq\ \vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert&=\boldsymbol I\tag{6}\\\int dp\ \vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert&=\boldsymbol I\tag{7}\end{align*}
シュレーディンガー描像での演算子
シュレーディンガー描像においても、位置演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\)と運動量演算子\(\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\)の間には次の正準交換関係が成り立つ。
\begin{align*}[\hat q_{\scriptsize{\text{S}}},\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}]&=\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}-\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=i\hbar\tag{8}\end{align*}
そのため、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)に演算子を作用させるとき、位置演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\)が式(\(2\))の関係を満たすなら、運動量演算子\(\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\)は正準交換関係を満たすように次の関係を満たす必要がある。
\begin{align*}\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial }{\partial q}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{9}\end{align*}
この関係は、次の式変形から求めることができる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{q-q’}\left(q{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} q’\right)\\&=\frac{1}{q-q’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{q-q’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert[\hat q_{\scriptsize{\text{S}}},\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}]\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{q-q’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert i\hbar\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{i\hbar}{q-q’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{i\hbar}{q-q’}\delta(q-q’)\\&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial q}\delta(q-q’)\\&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial q}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert \hat p_{\scriptsize{\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial q}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\\\rightarrow \hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial }{\partial q}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{10}\end{align*}
※※※2番目の等号では、式(\(4\))とそのエルミート共役
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\hat q_{\scriptsize{\text S}}= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q=q{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\tag{11}\end{align*}
を用い、3番目の等号では交換子\([]\)を用い、4番目の等号では正準交換関係を用い、6番目の等号では規格直交関係を用いた。また、7番目の等号では次の関係式
\begin{align*}(q-q’)\delta(q-q’)&=0\\\rightarrow\frac{\partial }{\partial q}\left\{(q-q’)\delta(q-q’)\right\}&=\delta(q-q’)+(q-q’)\frac{\partial }{\partial q}\delta(q-q’)=0\\\rightarrow\frac{1}{q-q’}\delta(q-q’)&=-\frac{\partial }{\partial q}\delta(q-q’)\tag{12}\end{align*}
を用い(1番目の式はデルタ関数の性質によりどのような\(q-q’\)でも成り立つ自明な式であり、2番目の式は1番目の式を積の微分公式を用いて微分を行った。)、8番目の等号では再び規格直交関係を用い、9番目の等号では\(\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)を無視し、10番目の等号ではエルミート共役をとった。※※※
次に、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)ではなく運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)に演算子を作用させるとき、運動量演算子\(\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\)が式(\(3\))の関係を満たすなら、位置演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\)は正準交換関係を満たすように次の関係を満たす必要がある。
\begin{align*}\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial p}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{13}\end{align*}
この関係は、次の式変形から求めることができる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{p-p’}\left(p{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} p’\right)\\&=\frac{1}{p-p’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\hat p_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{p-p’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert-[\hat p_{\scriptsize{\text{S}}},\hat q_{\scriptsize{\text{S}}}]\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{p-p’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert -i\hbar\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=-\frac{i\hbar}{p-p’}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=-\frac{i\hbar}{p-p’}\delta(p-p’)\\&=i\hbar\frac{\partial }{\partial p}\delta(p-p’)\\&=i\hbar\frac{\partial }{\partial p}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert \hat q_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial }{\partial p}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\\\rightarrow \hat q_{\scriptsize{\text{S}}}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial p}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{14}\end{align*}
※※※ほぼ全ての式変形は式(\(10\))と同じだが、7番目の等号では次の関係を用いた。
\begin{align*}(p-p’)\delta(p-p’)&=0\\\rightarrow\frac{\partial }{\partial p}\left\{(p-p’)\delta(p-p’)\right\}&=\delta(p-p’)+(p-p’)\frac{\partial }{\partial p}\delta(p-p’)=0\\\rightarrow\frac{1}{p-p’}\delta(p-p’)&=-\frac{\partial }{\partial q}\delta(p-p’)\tag{15}\end{align*}
※※※
座標と運動量の固有状態の内積
最後に、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)と運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)の内積は次のようになる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}e^{-\frac{i}{\hbar}pq}\tag{16}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}pq}\tag{17}\end{align*}
この関係式を導出するには、初めに次の式を計算する。
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\partial}{\partial q}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q \rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \tag{18}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=p{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \tag{19}\end{align*}
※※※1番目の式では、式(\(9\))を用い、2番目の式では式(\(3\))のエルミート共役
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\hat p_{\scriptsize{\text S}}= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert p\tag{20}\end{align*}
を用いた。※※※
式(\(18\))と式(\(19\))は等しいため、
\begin{align*} \\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=Ne^{-\frac{i}{\hbar}pq}\tag{21} \end{align*}
が成り立つ。そして、規格化定数は次のデルタ関数
\begin{align*} \\\delta(q-q’)&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q\vert\left(\int dp\ \vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p\vert\right)\vert q’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&=\int dp\ N^*e^{\frac{i}{\hbar}pq}Ne^{-\frac{i}{\hbar}pq’}\\&=\vert N\vert^2\int dp\ e^{\frac{i}{\hbar}\ p(q-q’)} \\&=\vert N\vert^2\left\{2\pi\hbar\delta(q-q’)\right\}\tag{22}\end{align*}
を計算すると、規格化定数\(N\)は
\begin{align*}N&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}e^{i\theta}\tag{23}\end{align*}
と求められる。位相の不定性があるが、位相を\(1\)とすると
\begin{align*}N&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\hbar}}\tag{24}\end{align*}
となり、座標の固有状態\(\vert q\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)と運動量の固有状態\(\vert p\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)の内積は式\((16)\)となる。式\((17)\)は式\((16)\)のエルミート共役をとればよい。
※※※式(\(22\))の1番目の等号は規格直交関係の式(\(4\))を用い、2番目の等号は完全系の式(\(7\))を用い、3番目の等号では式(\(21\))とそのエルミート共役を用い、5番目の等号ではデルタ関数の関係式
\begin{align*}\int dp\ e^{\frac{i}{\hbar}p(q-q’)}=2\pi\hbar\delta(q-q’)\tag{25}\end{align*}
を用いた。※※※
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