HOME ＞ 量子力学 ＞ ブラ-ケット ＞ シュレーディンガー描像でのでの固有状態(スカラー場)
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、スカラー場におけるシュレーディンガー描像での固有状態の定義と、固有状態が満たす性質、および演算子との関係について調べていく。
ここで扱うスカラー場は無限連続自由度であり、連続な空間全ての点で自由度がある、ということである。例えば\(x\),\(y\),\(z\)軸からなる3次元空間では、空間の点全ては連続であり、それぞれの点で自由度がある、つまり任意の値を取ることができるイメージである。
内容
固有状態とは
量子力学において、固有値方程式の固有ベクトルを固有状態とよぶ。例えば次の固有値方程式のように、ある物理量\(A\)を表すエルミート演算子\(\hat A\)を作用させたときに固有値\(a_{\scriptsize{n}}\)を返す固有ベクトル\(\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle\)が固有状態にあたる。
\begin{align*}&\hat A\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle = a_{\scriptsize{n}}\vert a_{\scriptsize{n}}\rangle \tag{1}\end{align*}
シュレーディンガー描像とは
シュレーディンガー描像とは、系の時間発展について、演算子と固有状態は時間依存性を持たず、状態ベクトルが時間発展すると考える論理形式のことをいう。今後、ハイゼンベルグ描像と区別するために、シュレーディンガー描像での演算子、固有状態、状態ベクトルには\(\text S\)の添字をつける。
固有状態の定義式(1)から、スカラー場におけるシュレーディンガー描像でのスカラー場と正準運動量の固有状態
\begin{align*}\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text S}}&=\vert \phi(-\infty),\cdots,\phi(\infty)\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{2}\\\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text S}}&=\vert \pi(-\infty),\cdots,\pi(\infty)\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{3}\end{align*}
を考えたとき、座標\(\boldsymbol x\)でのスカラー場と正準運動量の固有値\(\phi(\boldsymbol x)\),\(\pi(\boldsymbol x)\)と、座標\(\boldsymbol x\)での固有値を返す演算子\(\hat \phi_{\scriptsize{\text S}}(\boldsymbol x)\),\(\hat \pi_{\scriptsize{\text S}}(\boldsymbol x)\)を用いて次のように書くことができる(\(\boldsymbol x\)は3次元空間の座標を表す)。
\begin{align*}&\hat \phi_{\scriptsize{\text S}}(\boldsymbol x)\vert \phi\rangle _{\scriptsize{\text S}}= \phi(\boldsymbol x)\vert \phi\rangle _{\scriptsize{\text S}}\tag{4}\\&\hat \pi_{\scriptsize{\text S}}(\boldsymbol x)\vert \pi\rangle _{\scriptsize{\text S}}= \pi(\boldsymbol x)\vert \pi\rangle _{\scriptsize{\text S}}\tag{5}\end{align*}
ここで2点注意だが、ハイゼンベルグ描像と異なり、シュレーディンガー描像の演算子と固有状態は時間に依存していない。また、シュレーディンガー描像での固有状態\(\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)は連続基底系の基底ベクトルであり、\(\phi\rangle_{\scriptsize{\text S}}\),\(\pi\rangle_{\scriptsize{\text S}}\)が連続しているためベクトルで表すことはできないが、無理やり表すと\(\infty\)行1列ベクトルで、それぞれの行は\((\phi(-\infty),\cdots,\phi(\infty))\)または\((\pi(-\infty),\cdots,\pi(\infty))\)のあらゆる組み合わせに対応している。そして、状態に該当する組み合わせ\((\phi(-\infty),\cdots,\phi(\infty))\)または\((\pi(-\infty),\cdots,\pi(\infty))\)に対応する行のみ値をもち、その値は規格直交性を満たすため\(\lim_{\Delta r\rightarrow0}\prod_{\boldsymbol x}(\frac{1}{\sqrt{\Delta r}})=\infty\)となり、それ以外の成分はゼロのベクトルになる(ここで、\(\prod_{\boldsymbol x}\)は連続している座標変数\(\boldsymbol x\)それぞれでの積であることを表す)。
\begin{align*}\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text S}}=\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right),\ \ \ \vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text S}}=\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)\end{align*}
固有状態\(\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text S}}\),\(\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text S}}\)は様々な状態をとり、それに合わせて自由度\(\boldsymbol x\)における固有値\(\phi(\boldsymbol x)\),\(\pi(\boldsymbol x)\)も様々な固有値をとるが、シュレーディンガー描像での自由度\(\boldsymbol x\)における演算子は1つ(\(\hat \phi_{\scriptsize{\text S}}(\boldsymbol x)\)と\(\hat \pi_{\scriptsize{\text S}}(\boldsymbol x)\))しかなく、\(\infty\)行\(\infty\)列の対角行列であり、対角成分はそのスカラー場\(\phi(\boldsymbol x)\)、正準運動量\(\pi(\boldsymbol x)\)の値になっている。(行は\((\phi(-\infty),\cdots,\phi(\infty))\)または\((\pi(-\infty),\cdots,\pi(\infty))\)の組み合わせに相当する。そのため、\(\phi(\boldsymbol x)\)または\(\pi(\boldsymbol x)\)がある値をとる組み合わせは無数にあり、1自由度のときと異なり、自由度\(\boldsymbol x\)における演算子の対角成分には同じ値が無数に配置されている。)
\begin{align*}\hat \phi_{\scriptsize{\text S}}=\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&\phi(\boldsymbol x)-\Delta \phi(\boldsymbol x)&&&\\&&\phi(\boldsymbol x)&&\\&&&\phi(\boldsymbol x)+\Delta \phi(\boldsymbol x)&\\0&&&&\ddots\end{array}\right),\ \ \ \hat \pi_{\scriptsize{\text S}}=\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&\pi(\boldsymbol x)-\Delta \pi(\boldsymbol x)&&&\\&&\pi(\boldsymbol x)&&\\&&&\pi(\boldsymbol x)+\Delta \pi(\boldsymbol x)&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\end{align*}
よって、固有値方程式を無理やりベクトルで表すと次のようになる。
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&\phi(\boldsymbol x)-\Delta \phi(\boldsymbol x)&&&\\&&\phi(\boldsymbol x)&&\\&&&\phi(\boldsymbol x)+\Delta \phi(\boldsymbol x)&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)=\phi(\boldsymbol x)\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)\end{align*}
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}\ddots&&&&0\\&\pi(\boldsymbol x)-\Delta \pi(\boldsymbol x)&&&\\&&\pi(\boldsymbol x)&&\\&&&\pi(\boldsymbol x)+\Delta \pi(\boldsymbol x)&\\0&&&&\ddots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)=\pi(\boldsymbol x)\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\\infty\\0\\\vdots\end{array}\right)\end{align*}
シュレーディンガー描像での固有状態
スカラー場\(\phi(\boldsymbol x)\)と正準運動量\(\pi(\boldsymbol x)\)は離散的ではなく連続しているため、クロネッカーのデルタではなくデルタ関数を用いることによって、次のように固有状態\(\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text S}} \),\(\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text S}} \)の規格直交関係を書くことができる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&= \prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)) \tag{6}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&= \prod_{\boldsymbol x}\delta(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))\tag{7}\end{align*}
また、完全系は総和ではなく積分表示を用いて次のように記すことができる。
\begin{align*}\left(\prod_{\boldsymbol x}\int d\phi(\boldsymbol x)\right)\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert&=\boldsymbol I\tag{8}\\\left(\prod_{\boldsymbol x}\int d\pi(\boldsymbol x)\right)\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert&=\boldsymbol I\tag{9}\end{align*}
汎関数微分について
多自由度では自由度\(i\)は連続していなかったため、自由度\(i\)の変数\(q_{\scriptsize i}\)や\(p_{\scriptsize i}\)での微分は偏微分となって、クロネッカーのデルタを用いて
\begin{align*}\frac{\partial q_{\scriptsize j}}{\partial q_{\scriptsize i}}=\delta_{\scriptsize{ij}}\tag{10}\end{align*}
と表せた。一方、今回のスカラー場では自由度\(\boldsymbol x\)は連続しているため、自由度\(\boldsymbol x\)の変数\(\phi(\boldsymbol x)\)や\(\pi(\boldsymbol x)\)での微分は汎関数微分となって、デルタ関数を用いて
\begin{align*}\frac{\delta \phi(\boldsymbol y)}{\delta \phi(\boldsymbol x)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{11}\end{align*}
となる(右辺のデルタ関数の肩についている\(3\)は変数\(\boldsymbol x\)や\(\boldsymbol y\)が3次元であることを表す)。式(11)より、自由度\(\boldsymbol x\)以外でのスカラー場\(\phi(\boldsymbol y)\)を\(\phi(\boldsymbol x)\)で微分すると、
偏微分と同じ様にゼロとなることが分かる。
シュレーディンガー描像での演算子
シュレーディンガー描像においても、スカラー場演算子\(\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\)と正準運動量演算子\(\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\)の間には次の正準交換関係が成り立つ。
\begin{align*}[\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x),\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol y)]&=\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol y)-\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol y)\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\\&=i\hbar\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{12}\end{align*}
そのため、スカラー場の固有状態\(\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)に演算子を作用させるとき、スカラー場演算子\(\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\)が式(\(2\))の関係を満たすなら、正準運動量演算子\(\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\)は正準交換関係を満たすように次の関係を満たす必要がある。
\begin{align*}\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{13}\end{align*}
この関係は、次の式変形から求めることができる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)}\left(\phi(\boldsymbol x){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \phi(\boldsymbol x)’\right)\\&=\frac{1}{\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert[\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x),\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)]\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert i\hbar\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol x)\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{i\hbar\delta^3(\boldsymbol 0)}{\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{i\hbar\delta^3(\boldsymbol 0)}{\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))\\&=-i\hbar\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))\\&=-i\hbar\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)&=-i\hbar\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert\\\rightarrow \hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{14}\end{align*}
※※※2番目の等号では、式(\(4\))とそのエルミート共役
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert\hat \phi_{\scriptsize{\text S}}(\boldsymbol x)= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \phi(\boldsymbol x)=\phi(\boldsymbol x){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert\tag{15}\end{align*}
を用い、3番目の等号では交換子\([]\)を用い、4番目の等号では正準交換関係を用い、6番目の等号では規格直交関係を用いた。また、7番目の等号では次の関係式
\begin{align*}(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))&=0\\\rightarrow\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\left\{(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))\right\}&\\=\delta^3(\boldsymbol 0)\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))+(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))&\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))=0\\\rightarrow\frac{\delta^3(\boldsymbol 0)}{\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))&=-\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))\tag{16}\end{align*}
を用い(1番目の式はデルタ関数の性質によりどのような\(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x)\)でも成り立つ自明な式であり、2番目の式は1番目の式を積の微分公式を用いて汎関数微分を行った。)、8番目の等号では再び規格直交関係を用い、9番目の等号では\(\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)を無視し、10番目の等号ではエルミート共役をとった(固有状態と演算子は行列だが、\(-i\hbar\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\)はスカラーであることに注意する)。※※※
次に、スカラー場の固有状態\(\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)ではなく正準運動量の固有状態\(\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)に演算子を作用させるとき、正準運動量演算子\(\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\)が式(\(4\))の関係を満たすなら、スカラー場演算子\(\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\)は正準交換関係を満たすように次の関係を満たす必要がある。
\begin{align*}\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\delta }{\delta \pi(\boldsymbol x)}\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{17}\end{align*}
この関係は、次の式変形から求めることができる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x)}\left(\pi(\boldsymbol x){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \pi(\boldsymbol x)’\right)\\&=\frac{1}{\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}-{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert-[\hat \pi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x),\hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)]\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=\frac{1}{\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert- i\hbar\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol x)\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=-\frac{i\hbar\delta^3(\boldsymbol 0)}{\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&=-\frac{i\hbar\delta^3(\boldsymbol 0)}{\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))\\&=i\hbar\frac{\delta }{\delta \pi(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))\\&=i\hbar\frac{\delta }{\delta \pi(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \pi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\\rightarrow{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)&=i\hbar\frac{\delta }{\delta \pi(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert\\\rightarrow \hat \phi_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=-i\hbar\frac{\delta }{\delta \pi(\boldsymbol x)}\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{18}\end{align*}
※※※ほぼ全ての式変形は式(\(14\))と同じだが、7番目の等号では次の関係を用いた。
\begin{align*}(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))\prod_{\boldsymbol x}\delta(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))&=0\\\rightarrow\frac{\delta }{\delta \pi(\boldsymbol x)}\left\{(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))\prod_{\boldsymbol x}\delta(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))\right\}&\\=\delta^3(\boldsymbol 0)\prod_{\boldsymbol x}\delta(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))+(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))&\frac{\delta }{\delta \pi(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))=0\\\rightarrow\frac{\delta^3(\boldsymbol 0)}{\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))&=-\frac{\delta }{\delta \pi(\boldsymbol x)}\prod_{\boldsymbol x}\delta(\pi(\boldsymbol x)-\pi'(\boldsymbol x))\tag{19}\end{align*}
※※※
スカラー場と正準運動量の固有状態の内積
最後に、スカラー場の固有状態\(\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)と正準運動量の固有状態\(\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)の内積は次のようになる。
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\left(\prod_{\boldsymbol x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2 \pi\hbar}}\right)\exp\left[{-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y \ \pi (\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)}\right]\tag{20}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\left(\prod_{\boldsymbol x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2 \pi\hbar}}\right)\exp\left[{\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y \ \pi (\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)}\right]\tag{21}\end{align*}
この関係式を導出するには、初めに次の式を計算する。
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=i\hbar\frac{\delta}{\delta\phi(\boldsymbol x)}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \phi \rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \tag{22}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}}(\boldsymbol x)\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\pi(\boldsymbol x){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \tag{23}\end{align*}
※※※1番目の式では、式(\(13\))を用い、2番目の式では式(\(5\))のエルミート共役
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert\hat \pi_{\scriptsize{\text S}}(\boldsymbol x)= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \pi(\boldsymbol x)\tag{24}\end{align*}
を用いた。※※※
式(\(22\))と式(\(23\))は等しいため、
\begin{align*} \\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=N\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)\right]\tag{25} \end{align*}
が成り立つ。ここで、以下を用いた。
\begin{align*}&\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)\right]\\&=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)\right]\frac{\delta }{\delta \phi(\boldsymbol x)}\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)\right]\\&=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)\right]\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\frac{\delta \phi(\boldsymbol y)}{\delta \phi(\boldsymbol x)}\right]\\&=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)\right]\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\right]\\&=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)\right]\left[-\frac{i}{\hbar}\pi(\boldsymbol x)\right]\tag{26} \end{align*}
そして、規格化定数\(N\)は次のデルタ関数
\begin{align*}\\ \prod_\boldsymbol{x}\delta(\phi(\boldsymbol{x})-\phi'(\boldsymbol{x}))&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi\vert\left\{\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi(\boldsymbol{x})\right)\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle\pi\vert\right\}\vert \phi’\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&=\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi(\boldsymbol{x})\right)N^*\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi(\boldsymbol y)\right]N\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol y)\phi'(\boldsymbol y)\right]\\&=\vert N\vert^2\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi(\boldsymbol{x})\right)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int d^3 \boldsymbol y\ \pi(\boldsymbol{y})\{\phi(\boldsymbol{y})-\phi'(\boldsymbol{y})\}\right] \\&=\vert N\vert^2\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi(\boldsymbol{x})\right)\ \exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum_{\boldsymbol x}\varDelta V\ \pi(\boldsymbol{y})\{\phi(\boldsymbol{y})-\phi'(\boldsymbol{y})\}\right] \\&=\vert N\vert^2\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi(\boldsymbol{x})\exp\left[\frac{i}{\hbar}\varDelta V\pi(\boldsymbol{x}){(\phi(\boldsymbol{x})-\phi'(\boldsymbol{x})})\right]\right)\\&=\vert N\vert^2\left(\prod_\boldsymbol{x}\frac{2\pi\hbar}{\varDelta V}\delta(\phi(\boldsymbol{x})-\phi'(\boldsymbol{x}))\right)\tag{27}\end{align*}
を計算すると、規格化定数は
\begin{align*}N&=\prod_\boldsymbol{x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}}e^{i\theta}\tag{28}\end{align*}
と求められる。位相の不定性があるが、位相を\(1\)とすると
\begin{align*}N&=\prod_\boldsymbol{x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}}\tag{29}\end{align*}
となり、スカラー場の固有状態\(\vert \phi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)と正準運動量の固有状態\(\vert \pi\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\)の内積は式(\(20\))と式(\(21\))となる。
※※※式(\(27\))の1番目の等号は規格直交関係の式(\(6\))を用い、2番目の等号は完全系の式(\(9\))を用い、3番目の等号では式(\(25\))とそのエルミート共役を用い、5番目の等号では次の変換
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\rightarrow\sum_{\boldsymbol x}\varDelta V\tag{30}\end{align*}
を行ない(ここで、\(\sum_{\boldsymbol x}\)は連続している座標変数\(\boldsymbol x\)それぞれでの和であることを表す)、デルタ関数の関係式
\begin{align*}\int d\pi(\boldsymbol x)\ \exp\left[{\frac{i}{\hbar}\varDelta V\pi(\boldsymbol x)(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))}\right]=\frac{2\pi\hbar}{\varDelta V}\delta(\phi(\boldsymbol x)-\phi'(\boldsymbol x))\tag{31}\end{align*}
を用いた。※※※
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 量子力学 ＞ ブラ-ケット ＞ シュレーディンガー描像での固有状態(スカラー場)
