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本ページでは、場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\end{align}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int dx^4\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性を持つことを確かめる。
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前ページでは、場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\end{align}
を求め、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性を持つことを確かめた。
内容
スカラー場の作用積分
場の理論において、クライン-ゴルドン方程式
\begin{align}(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0\tag{1}\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\tag{2}\end{align}
であるため、作用積分\(S\)は
\begin{align}S&=\int dx^4\ \mathscr{L}\\&=\int dx^4\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\right)\tag{3}\end{align}
となる。
相互作用するスカラー場の作用積分
相互作用するスカラー場\(\phi\)が満たすクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=0\tag{4}\end{align}
を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)は
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{5}\end{align}
であるため、相互作用するスカラー場\(\phi\)の作用積分は
\begin{align}S&=\int dx^4\ \mathscr{L}\\&=\int dx^4\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\tag{6}\end{align}
となる。
作用積分の相対論的不変性
スカラー場の作用積分\(S\)が相対論的不変性を持つことを確認する。
スカラー場の作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int dx^4\ \mathscr{L}\\&=\int dx^4\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\tag{6}\end{align}
において、ローレンツ変換によってスカラー場\(\phi\)と微小時空体積\(dx^4\)、ダランベルシアン\(\partial_\mu\partial^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}\phi&\rightarrow\phi’\\dx^4&\rightarrow dx’^4\\\partial_\mu\partial^\mu&\rightarrow\partial’_\mu\partial’^\mu\end{align*}
する際、作用積分\(S’\)は
\begin{align}S’&=\int dx’^4\ \left(\frac{1}{2}\partial’_\mu\phi’\partial’^\mu\phi’-\frac{m^2}{2}\phi’^2-\frac{\lambda}{4!}\phi’^4\right)\tag{7}\end{align}
となる。また、スカラー場\(\phi\)や微小時空体積\(dx^4\)、ダランベルシアン\(\partial_\mu\partial^\mu\)は全てスカラーなためローレンツ変換によって変化しない
\begin{align*}\phi’&=\phi\\dx’^4&=dx^4\\\partial’_\mu\partial’^\mu&=\partial_\mu\partial^\mu\end{align*}
ため、作用積分\(S’\)
\begin{align}S’&=\int dx’^4\ \left(\frac{1}{2}\partial’_\mu\phi’\partial’^\mu\phi’-\frac{m^2}{2}\phi’^2-\frac{\lambda}{4!}\phi’^4\right)\\&=\int dx^4\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\\&=S\tag{6}\end{align}
はローレンツ変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、スカラー場の作用積分\(S\)は相対論的不変性を持つことが分かる。
クライン-ゴルドン方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)がもつ相対論的不変性はクライン-ゴルドン方程式に受け継がれる。
作用積分の\(Z_2\)不変性
スカラー場の作用積分\(S\)が\(Z_2\)不変性も持つことを確認する。
スカラー場の作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int dx^4\ \mathscr{L}\\&=\int dx^4\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\tag{6}\end{align}
において、\(Z_2\)変換によってスカラー場\(\phi\)が次のように変換
\begin{align*}\phi\rightarrow\phi’=-\phi\end{align*}
する際、作用積分\(S’\)は
\begin{align}S’&=\int dx^4\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\\&=S\tag{6}\end{align}
と\(Z_2\)変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、スカラー場の作用積分\(S\)は\(Z_2\)不変性を持つことが分かる。
クライン-ゴルドン方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)がもつ\(Z_2\)不変性はクライン-ゴルドン方程式に受け継がれる。
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