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本ページでは、実スカラー場が
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\end{align}
と表され、生成消滅演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a(\boldsymbol k)\)から構成されることをみる。
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前ページでは、生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)が存在すれば、様々な粒子状態を表現できることをみた。また、エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)から構成されることが示唆され、場の量子論には様々な粒子数の状態を含んでいる可能性があることをみた。
内容
フーリエ積分表示
どのような関数も完全系を成す関数群の足し合わせで表すことができるため、任意の関数\(\hat\phi(t,\boldsymbol{x})\)は完全系を成す\(e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\)を足し合わせて次のように表すことができる。
\begin{align*}\hat\phi(t,\boldsymbol x)=\int d^3\boldsymbol k\ \hat a(t,\boldsymbol k)e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\tag{1}\end{align*}
これはまさにフーリエ積分表示であり、\(\hat a(t,\boldsymbol k)\)はフーリエ係数である。ここで、積分変数にはどのような変数を用いてもよいが、後での議論をしやすくするために今回は積分変数に運動量\(\boldsymbol k\)を用いている。
実スカラー場の生成消滅演算子表示
上記の関数\(\hat\phi(t,\boldsymbol x)\)がもし実スカラー場であるのならクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\hat\phi(t,\boldsymbol x)&=0\tag{2}\end{align*}
を満たすため、実際にクライン-ゴルドン方程式に代入すると、フーリエ係数\(\hat a(t,\boldsymbol k)\)は次の微分方程式
\begin{align}\frac{\partial^2 \hat a(t,\boldsymbol{k})}{\partial t^2}+(\boldsymbol{k}^2+m^2)\hat a(t,\boldsymbol{k})&=0\tag{3}\end{align}
を満たすことが分かる。この式の独立解は
\begin{align}e^{\pm i\sqrt{\boldsymbol{k}^2+m^2}t}=e^{\pm iE_\boldsymbol{k}t}\end{align}
であるから、一般解は
\begin{align}\hat a(t,\boldsymbol{k})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})e^{-iE_\boldsymbol{k}t}+\hat a^\dagger(-\boldsymbol{k})e^{ iE_\boldsymbol{k}t}\right\}\tag{4}\end{align}
と表すことができ、このフーリエ係数の式(4)を式(1)に代入すると
\begin{align}\hat\phi(x)&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})e^{-i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}+\hat a^\dagger(-\boldsymbol{k})e^{ i(E_\boldsymbol{k}t+\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})e^{-i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})e^{ i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\tag{5}\end{align}
となる。ここで、\(\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\)は規格化定数(以前のページを参照)であり、式(5)において2行目への変形では2項目の積分変数を\(\boldsymbol k\)から\(-\boldsymbol k\)に置き換えた。実スカラー場はエルミート\(\hat\phi^\dagger=\hat\phi\)でなければならないが、式(5)ではちゃんとそのようになっており、そうなるように式(4)では独立解\(e^{\pm iE_\boldsymbol{k}t}\)の係数を\(\hat a(\boldsymbol{k})\)と\(\hat a^\dagger(-\boldsymbol{k})\)においた。つまり、これらの係数を自由に選ぶことはできず形が制限されるということである。まだ、\(\hat a(\boldsymbol{k})\)と\(\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\)は単なる係数と思ってもらってよいが、あとからこれらの係数が生成消滅演算子であることが判明する。次のような関数
\begin{align*}f_k^-&=\frac{e^{i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^-)^*\tag{6}\\f_k^+&=\frac{e^{- i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^+)^*\tag{7}\end{align*}
を定義すると、実スカラー場は
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{8}\end{align}
とシンプルに表現できる。
以前のページでエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は時空並進の生成子であり、実スカラー場の演算子との交換関係が
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat \phi(x)]&=-i \partial^\mu\hat\phi(x)\tag{9}\end{align}
となることを見た。この関係式に実スカラーの式(8)を代入すると次の関係式
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k})]f_k^{+}+[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]f_k^{-}\right\}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{10}\end{align}
が得られ、関数\(f_k^{-}\)と\(f_k^{+}\)がクライン-ゴルドン方程式を満たすことを考慮し、両辺を関数\(f_{k’}^{-}\)または\(f_{k’}^{+}\)と直交させると
\begin{align*}[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]&=k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\tag{11}\\ [\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k})]&=-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k})\tag{12}\end{align*}
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{-}\right)+[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{-}\right)\right\}&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\left\{-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k})\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{-}\right)+k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{-}\right)\right\}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ [\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\ [\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=k’^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})\end{align}
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{+}\right)+[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{+}\right)\right\}&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\left\{-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k})\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{+}\right)+k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{+}\right)\right\}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ [\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k})]\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)&=-\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ k^\mu \hat a(\boldsymbol{k})\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\ [\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k’})]&=-k’^\mu \hat a(\boldsymbol{k’})\end{align}
1行目では以前のページで用いた記号\((\vert)\)を用いて関数の直交を表しており、2行目への変形では以前のページで求めた次の直交関係
\begin{align}(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\pm})&=\pm\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\\(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})&=0\end{align}
を用いた。
が得られる。式(11)の両辺を真空状態\(\vert0\rangle\)に作用させると次の式
\begin{align} a^\dagger(\boldsymbol{k})\vert 0\rangle=\vert\boldsymbol{k}\rangle\tag{13}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]\vert0\rangle&=k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow(\hat P^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat P^\mu)\vert0\rangle&=k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow\hat P^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle&=k^\mu a^\dagger(\boldsymbol{k})\vert0\rangle\\\rightarrow \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\vert 0\rangle&=\vert\boldsymbol{k}\rangle\end{align}
3行目への変形では真空状態\(\vert0\rangle\)にエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を作用させると\(0\)になること
\begin{align*}\hat P^\mu\vert0\rangle=0\end{align*}
を用い、4行目への変形ではエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align*}\hat P^\mu \vert\boldsymbol k\rangle&=k^\mu\vert\boldsymbol k\rangle\end{align*}
と比較した。
が得られ、式(12)から
\begin{align}\hat a(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle= \vert 0\rangle\tag{14}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k})]\vert\boldsymbol k\rangle&=-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol k\rangle\\\rightarrow(\hat P^\mu \hat a(\boldsymbol{k})-\hat a(\boldsymbol{k})\hat P^\mu)\vert\boldsymbol k\rangle&=-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol k\rangle\\\rightarrow\hat P^\mu\hat a(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle&=0\\\rightarrow \hat a(\boldsymbol{k})\vert\boldsymbol{k}\rangle&= \vert 0\rangle\end{align}
3行目への変形ではエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align*}\hat P^\mu \vert\boldsymbol k\rangle&=k^\mu\vert\boldsymbol k\rangle\end{align*}
を用い、4行目への変形では真空状態\(\vert0\rangle\)にエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を作用させると\(0\)になることを表した式
\begin{align*}\hat P^\mu\vert0\rangle=0\end{align*}
と比較した。
が得られるが、これらの関係式はまさに生成消滅演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a(\boldsymbol k)\)が満たす関係式であり、式(8)より生成消滅演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a(\boldsymbol k)\)が実スカラー場
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{8}\end{align}
を構成していることがわかる。
実スカラー場についての解釈
\(\phi\)を1粒子波動関数と捉えたクライン-ゴルドン方程式で現れた負のエネルギー解は場の理論で排除できたが、負のエネルギー解に相当する波動関数\(f^-_k\)は場の理論においても相変わらず解であり、この解釈をどうすればよいかを以前のページで気になる点として挙げていた。この答えをここで述べておく。
クライン-ゴルドン方程式の解
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{8}\end{align}
を1粒子における波動関数と解釈すると、\(f^+_k\),\(f^-_k\)は正,負のエネルギー解の波動関数であり、\(\hat a(\boldsymbol k)\),\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)はそれぞれの波動関数の確率振幅である。一方、クライン-ゴルドン方程式の解
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{8}\end{align}
を実スカラー場と解釈すると、\(\hat a(\boldsymbol k)\),\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)は正エネルギー\(E_k\)を持つ粒子を消滅,生成させる演算子であり、負のエネルギーを考える必要がなくなる。このように、場の理論では負のエネルギー問題を解決することができた。
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