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本ページでは…
本ページでは、クライン-ゴルドン方程式を導くハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\end{align*}
を第2量子化することによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\hat\phi)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\hat\phi^4\right)\end{align*}
を求める。
前ページまで…
前ページでは、実スカラー場の正準共役運動量\(\pi\)
\begin{align}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}=\partial^0\phi\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\phi)\pi-\mathscr L)\end{align*}
によって実スカラー場のハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0\phi)\pi-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\end{align*}
を求めた。
内容
実スカラー場の第2量子化
クライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=0\tag{1}\end{align}
を直接導くハミルトニアン\(H\)は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\tag{1}\end{align*}
であり、場\(\phi\)と正準共役運動量\(\pi\)から成り立っていた(前ページを参照)。また、場\(\phi\)と正準共役運動量\(\pi\)のポアソン括弧は
\begin{align}\left\{\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{2}\end{align}
であった(以前のページを参照)ため、第1量子化と同様に次の正準交換関係
\begin{align}\left[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)\right]&=i\hbar\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{3}\end{align}
を満たす、場の演算子\(\hat\phi\)と正準共役運動量の演算子\(\hat\pi\)に置き換えることによって、場の量子論における正準量子化が行える(自然単位系では\(\hbar=1\)となる)。ここで、場の演算子\(\hat\phi\)同士、または正準共役運動量の演算子\(\hat\pi\)同士の交換関係は\(0\)
\begin{align}\left[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\phi(t,\boldsymbol y)\right]&=\left[\hat\pi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)\right]=0\tag{4}\end{align}
となる。これが、実スカラー場における第2量子化である(以前のページを参照)。
ハミルトニアン\(H\)を構成する場\(\phi\)と正準共役運動量\(\pi\)を演算子に置き換えることによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\hat\phi)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\hat\phi^4\right)\tag{5}\end{align*}
が得られる。
また、以前のページより運動量\(P^j\)は
\begin{align}P^j&=\int\text{d}^3\boldsymbol x\ \pi\partial^j\phi\\\rightarrow \boldsymbol P&=-\int\text{d}^3\boldsymbol x\ \pi\boldsymbol \nabla\phi\\&=-\int\text{d}^3\boldsymbol x\ \frac{1}{2}(\pi\boldsymbol \nabla\phi+(\boldsymbol \nabla\phi)\pi)\tag{6}\end{align}
と表されていたため、第2量子化より運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)は
\begin{align}\hat{\boldsymbol P}&=-\int\text{d}^3\boldsymbol x\ \frac{1}{2}(\hat\pi\boldsymbol \nabla\hat\phi+(\boldsymbol \nabla\hat\phi)\hat\pi)\tag{7}\end{align}
となる(ここで、運動量演算子がエルミート演算子になるのようにしている)。
次ページから…
次ページでは、生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)が存在すれば、様々な粒子状態を表現できることをみる。また、エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)から構成されることが示唆され、場の量子論には様々な粒子数の状態を含んでいる可能性があることをみる。
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