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本ページでは、クライン-ゴルドン方程式を導くハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\end{align*}
を第2量子化することによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\hat\phi)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\hat\phi^4\right)\end{align*}
を求める。
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前ページでは、スカラー場の正準共役運動量\(\pi\)
\begin{align}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}=\partial^0\phi\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\end{align*}
によってスカラー場のハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\end{align*}
を求めた。
内容
スカラー場の第2量子化
クライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=0\tag{1}\end{align}
を直接導くハミルトニアン\(H\)は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\tag{1}\end{align*}
であり、場\(\phi\)と正準共役運動量\(\pi\)から成り立っていた(前ページを参照)。また、場\(\phi\)と正準共役運動量\(\pi\)のポアソン括弧は
\begin{align}\left\{\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{2}\end{align}
であった(以前のページを参照)ため、第1量子化と同様に次の正準交換関係
\begin{align}\left[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)\right]&=i\hbar\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{3}\end{align}
を満たす、場の演算子\(\hat\phi\)と正準共役運動量の演算子\(\hat\pi\)に置き換えることによって、場の量子論における正準量子化が行える(自然単位系では\(\hbar=1\)となる)。これが、スカラー場における第2量子化である(以前のページを参照)。
ハミルトニアン\(H\)を構成する場\(\phi\)と正準共役運動量\(\pi\)を演算子に置き換えることによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\hat\phi)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\hat\phi^4\right)\tag{4}\end{align*}
が得られる。
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