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本ページでは、ハミルトン力学におけるネーターの定理を用いることにより、全角運動量保存則から空間回転不変性が導かれることを確認し、角運動量\(\hat{\boldsymbol L}\)は空間回転の生成子であることを確認する。
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前ページでは、ハミルトン力学におけるネーターの定理を用いることにより、全エネルギー保存則から時間並進不変性が導かれることを確認し、ハミルトニアン\(\hat{ H}\)は時間並進の生成子であることを確認する。
内容
全角運動量保存則と空間回転不変性
ラグランジュ力学におけるネーターの定理から、\(\boldsymbol{\epsilon}\)を回転軸方向として一般化座標\(\boldsymbol{q}_a\)を無限小定数\(\vert\boldsymbol\epsilon\vert\)だけ(無限小)回転させても物理法則が変わらない空間回転不変性が系に存在するとき、次のネーター電荷\(N\)
\begin{align*}N=\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{L}\tag{1}\end{align*}
が保存し、全角運動量保存則の背景には空間回転不変性があることを以前のページで見た。
この逆の関係も成り立つことを見てみる。ハミルトン力学におけるネーターの定理より、全角運動量\(\boldsymbol L\)が保存するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_LA&=-\{N, A\}\\&=-\{\boldsymbol\epsilon\cdot {\boldsymbol L}, A\}\tag{2}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在する。実際にこの量を計算すると
\begin{align*}\delta_LA&=\sum_{a=1}^n(\boldsymbol\epsilon×{\boldsymbol q}_a)\cdot\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\tag{3}\end{align*}
\begin{align*}\delta_LA&=-\{\boldsymbol\epsilon\cdot {\boldsymbol L}, A\}\\&=-\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\{{\boldsymbol l}_a,A\}\\&=-\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\{{\boldsymbol q}_a×\boldsymbol p_a,A\}\\&=-\sum_{a=1}^n(\boldsymbol\epsilon×{\boldsymbol q}_a)\cdot\{\boldsymbol p_a,A\}\\&=-\sum_{a=1}^n(\boldsymbol\epsilon×{\boldsymbol q}_a)\cdot\sum_{b=1}^n\left(\frac{\partial \boldsymbol p_a}{\partial \boldsymbol q_b}\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol p_b}-\frac{\partial \boldsymbol p_a}{\partial \boldsymbol p_b}\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_b}\right)\\&=\sum_{a=1}^n(\boldsymbol\epsilon×{\boldsymbol q}_a)\cdot\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\end{align*}
2行目への変形では全角運動量\(\boldsymbol L\)と角運動量\(\boldsymbol l_a\)の関係
\begin{align*}\boldsymbol L=\sum_{a=1}^n\boldsymbol l_a\end{align*}
を用い、3行目への変形では角運動量の定義式
\begin{align*}\boldsymbol l_a=\boldsymbol q_a×\boldsymbol p_a\end{align*}
を用い、4行目への変形ではベクトルの公式
\begin{align*}\boldsymbol a\cdot\left(\boldsymbol b×\boldsymbol c\right)=\boldsymbol b\cdot\left(\boldsymbol c×\boldsymbol a\right)\end{align*}
を用い、5行目への変形ではポアソン括弧の定義式
\begin{align}\left\{X,Y\right\}=\sum_{b=1}^n\left(\frac{\partial X}{\partial \boldsymbol q_b}\frac{\partial Y}{\partial \boldsymbol p_b}-\frac{\partial X}{\partial \boldsymbol p_b}\frac{\partial Y}{\partial \boldsymbol q_b}\right)\end{align}
を用い、6行目への変形では次の関係式
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol p_a}{\partial \boldsymbol p_b}&=\delta_{ab}\\\frac{\partial \boldsymbol p_a}{\partial \boldsymbol q_b}&=0\end{align*}
を用いた。
と計算でき、ベクトル\(\boldsymbol\epsilon×\boldsymbol q_a\)は回転軸方向\(\boldsymbol\epsilon\)にも座標ベクトル\(\boldsymbol q_a\)にも垂直である回転方向を示すため、この無限小変化量は座標\(\boldsymbol q_a\)が無限小定数\(\vert\boldsymbol\epsilon\vert\)だけ回転した時の物理量\(A\)の変化量であることが分かる。よって、無限小変換は
\begin{align*}A(\boldsymbol q,\boldsymbol p)\rightarrow A'(\boldsymbol q’,\boldsymbol p’)&=A(\boldsymbol q,\boldsymbol p)+\delta_P A\\&=A(\boldsymbol q,\boldsymbol p)+\sum_{a=1}^n(\boldsymbol\epsilon×{\boldsymbol q}_a)\cdot\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\\&=A(\boldsymbol q+\boldsymbol\epsilon×\boldsymbol q,\boldsymbol p)\tag{4}\end{align*}
となって、全角運動量\(\boldsymbol L\)が保存するとき、座標\(\boldsymbol q\)が無限小定数\(\vert\boldsymbol\epsilon\vert\)だけ回転する空間回転における不変性が存在する。
以上より、空間回転不変性の背景には全角運動量保存則があるとも言える。
運動量と空間並進の生成子
式(4)を量子力学における演算子表示にすると
\begin{align*}\hat A(\hat{\boldsymbol q},\hat{\boldsymbol p})\rightarrow \hat A'(\hat{\boldsymbol q}’,\hat{\boldsymbol p}’)&=\hat A(\hat{\boldsymbol q},\hat{\boldsymbol p})+\delta_L A\tag{5}\end{align*}
となり、この無限小変換を引き起こす演算子は
\begin{align*}\hat U_L(\boldsymbol\epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}\tag{6}\end{align*}
と表すことができる。このことは、次のように物理量\(\hat A\)に左右から演算子\(\hat U_L(\boldsymbol\epsilon)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_L(\boldsymbol\epsilon)\hat A\hat U_L^{-1}(\boldsymbol\epsilon)=\hat A+\delta_L A\tag{7}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_L(\boldsymbol\epsilon)\hat A\hat U_L^{-1}(\boldsymbol\epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}\hat Ae^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}\\&=\left(1+\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}+\cdots\right)\hat A\left(1-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}+\cdots\right)\\&\simeq\hat A+\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot\hat {\boldsymbol L}\hat A-\frac{i}{\hbar}\hat A\boldsymbol\epsilon\cdot\hat {\boldsymbol L}\\&=\hat A+\frac{i}{\hbar}[\boldsymbol\epsilon\cdot\hat {\boldsymbol L},\hat A]\\&=\hat A+\delta_L A\tag{7}\end{align*}
2行目への変形ではテイラー展開を行ない、3行目への変形では無限小定数\(\boldsymbol \epsilon\)の2次以上の項を無視し、4行目への変形では交換関係の記号を用い、5行目への変形では量子力学におけるネーターの定理(以前のページ参照)
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=\frac{i}{\hbar}[\hat N,\hat A(\hat q,\hat p)]\end{align*}
を用いた。
式(6)より、角運動量\(L\)は空間回転の無限小変換を作り出しているため、空間回転の生成子と呼ばれる。
空間回転の有限変換
無限小変換を起こす演算子\(\hat U_L(\boldsymbol\epsilon)\)の無限小定数\(\boldsymbol\epsilon\)を有限定数\(\boldsymbol a\)に置き換えることにより有限変換を起こす演算子
\begin{align*}\hat U_L(\boldsymbol a)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol a\cdot \hat {\boldsymbol L}}\tag{8}\end{align*}
が得られる。このことは、物理量\(\hat A\)の左右から演算子\(\hat U_L(\boldsymbol a)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_L(\boldsymbol a)\hat A\hat U_L^{-1}(\boldsymbol a)=\hat A+\sum_{a=1}^n(\boldsymbol a×{\boldsymbol q}_a)\cdot\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\tag{9}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_L(\boldsymbol a)\hat A\hat U_L^{-1}(\boldsymbol a)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol a\cdot \hat {\boldsymbol L}}\hat Ae^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol a \cdot\hat {\boldsymbol L}}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol L}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol L}}}_{m}\hat A\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}}_m\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol L}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol L}}}_{m-1}\left(\hat A+\sum_{a=1}^n(\boldsymbol\epsilon×{\boldsymbol q}_a)\cdot\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}}_{m-1}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol L}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol L}}}_{m-2}\left(\hat A+2\sum_{a=1}^n(\boldsymbol\epsilon×{\boldsymbol q}_a)\cdot\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}}_{m-2}\\&=\cdots\\&=\hat A+m\sum_{a=1}^n(\boldsymbol\epsilon×{\boldsymbol q}_a)\cdot\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\\&=\hat A+\sum_{a=1}^n(\boldsymbol a×{\boldsymbol q}_a)\cdot\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\end{align*}
2行目への変形では次のように定義
\begin{align*}\boldsymbol a=m\boldsymbol\epsilon\end{align*}
した\(m\)を用いて展開し、3行目への変形では式(7)と式(3)を用い、4行目への変形では無限小定数\(\boldsymbol \epsilon\)の2次以上の項を無視し、7行目への変形では再度
\begin{align*}\boldsymbol a=m\boldsymbol\epsilon\end{align*}
を用いた。
空間回転の演算子
以上より、｢\(i/\hbar\)｣と｢\(\boldsymbol\epsilon\)や\(\boldsymbol a\)などの変換のパラメーター｣と｢空間回転の生成子\(\hat{\boldsymbol L}\)｣の積を指数関数の肩に上げたものは、空間並進を引き起こす演算子\(\hat U_L\)
\begin{align*}\hat U_L(\boldsymbol \epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol \epsilon\cdot \hat {\boldsymbol L}}\tag{6}\\\hat U_L(\boldsymbol a)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol a\cdot \hat {\boldsymbol L}}\tag{8}\end{align*}
となることが分かる。
角運動量演算子\(\hat{\boldsymbol L}\)は次の関係
\begin{align*}\hat{\boldsymbol L}^\dagger=\hat{\boldsymbol L}\tag{10}\end{align*}
を満たすエルミート演算子であるため、空間並進を引き起こす演算子\(\hat U_L\)は次の関係
\begin{align*}\hat U_L^\dagger=\hat U_L^{-1}\tag{11}\end{align*}
を満たすユニタリ演算子となる。
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