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本ページでは、場の理論におけるネーターの定理を用いることにより時空並進不変性から全エネルギー運動量保存則が導かれることを確認する。
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前ページでは、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、ネーターカレント\(N^\mu\)
\begin{align*}N^\mu=\sum_{i=1}^n\delta_Q \phi_i\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu\phi_i)}-K^\mu\end{align*}
における流れの保存
\begin{align*}\partial_\mu N^\mu=0\end{align*}
が成り立つことを表す｢場の理論におけるネーターの定理｣を導いた。ここで、関数\(K^\mu\)は次の関係
\begin{align*}\delta_Q\mathscr L=\partial_\mu K^\mu\end{align*}
を満たすものである。
また、このとき、\(N^0\)の空間積分で表される物理量\(Q\)
\begin{align*}Q=\int d^3\boldsymbol x\ N^0\end{align*}
は次の関係式
\begin{align*}\frac{d}{dt}Q=0\end{align*}
を満たし、保存量となることを確認した。
内容
時空並進不変性
時空並進不変性は「時空座標を回転させず平行にずらしても物理法則は変わらない」、言い換えると、「時空に特別な点はない」ことを意味する。
このことをグラフで考えてみよう。横軸を時空座標\(x\)、縦軸を場\(\phi\)として運動方程式を描くと、この運動方程式の各点はラグランジアン密度\(\mathscr L\)の値を持ち、その値は場\(\phi\)と場の時空微分\(\partial \phi\)によって決まる。そして、時空座標\(x\)の向きである横軸に沿って時空座標\(x\)を無限小定数\(\epsilon\)だけ(無限小)並進させる。このとき、場\(\phi\)の無限小変換は
\begin{align}\phi(x)&\rightarrow\phi(x+\epsilon)=\phi(x)+\epsilon_\mu\partial^\mu\phi(x)=\phi(x)+\delta_P\phi\tag{1}\end{align}
となり、時空並進不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する。このとき、場\(\phi\)の無限小変化量は
\begin{align*}\delta_P\phi&=\epsilon_\mu\partial^\mu\phi\tag{2}\end{align*}
となる。また、このときのラグランジアン密度の微小変化は
\begin{align}\delta_P\mathscr L&=\partial_\mu(\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L)\tag{3}\end{align}
となるため、次の関係(前ページを参照)
\begin{align*}\delta_P\mathscr L=\partial_\mu K^\mu\tag{4}\end{align*}
を満たす関数\(K^\mu\)は
\begin{align*}K^\mu=\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\tag{5}\end{align*}
となる。
時空並進不変性と全エネルギー運動量保存
それでは、時空並進不変性が全エネルギー運動量保存則と関係していることをネーターの定理から導く。
ラグランジアン密度として次の形(以前のページを参照)
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{6}\end{align}
を仮定したとき、式(2)と式(4)をネーター電荷の式(前ページを参照)
\begin{align*}N^\mu=\sum_{i=1}^n\delta_P \phi_i\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu\phi_i)}-K^\mu\tag{7}\end{align*}
に代入するとネーターカレントは
\begin{align}N^\mu&=\epsilon_\nu(\partial^\mu \phi\partial^\mu\phi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L})\tag{8}\end{align}
\begin{align}N^\mu&=\delta_P \phi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu\phi)}-K^\mu\\&=\epsilon_\mu\partial^\mu\phi\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\left(\frac{1}{2}\partial_\nu\phi\partial^\nu\phi\right)-\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\\&=\epsilon_\mu\partial^\mu\phi\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\left(\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\partial_\nu\phi\partial_\rho\phi\right)-\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\\&=\epsilon_\mu\partial^\mu\phi\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\left\{\frac{\partial\left(\partial_\nu\phi\right)}{\partial (\partial_\mu\phi)}\partial_\rho\phi+\partial_\nu\phi\frac{\partial\left(\partial_\rho\phi\right)}{\partial (\partial_\mu\phi)}\right\}-\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\\&=\epsilon_\mu\partial^\mu\phi\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\left(\delta_\nu{}^\mu\partial_\rho\phi+\partial_\nu\phi\delta_\rho{}^\mu\right)-\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr L\\&=\epsilon_\nu\partial^\mu \phi\partial^\mu\phi-\epsilon_\nu\eta^{\mu\nu}\mathscr{L}\\&=\epsilon_\nu(\partial^\mu \phi\partial^\mu\phi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L})\end{align}
3行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\nu\rho}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、4行目への変形では積の微分公式を用いた。
となり、ネーターカレント\(N^\mu\)は流れの保存
\begin{align*}\partial_\mu N^\mu=0\tag{9}\end{align*}
を満たす。ここで、次のようなエネルギー運動量テンソル\(T ^{\mu\nu}\)
\begin{align}T ^{\mu\nu}=\partial^\mu \phi\partial^\nu\phi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L}\tag{10}\end{align}
を定義すると、ネーターカレントは
\begin{align}N^\mu=\epsilon_\nu T ^{\mu\nu}\tag{11}\end{align}
となる。場の理論におけるネーターの定理より、このネーターカレント\(N ^{\mu}\)の時間成分(\(\mu=0\))を空間積分した量\(Q\)
\begin{align}Q&=\epsilon_\nu\int{d}^3\boldsymbol x\ T^{0\nu}\\&=\epsilon_\nu\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \phi\partial^\nu\phi-\eta^{0\nu}\mathscr L\right\}\tag{12}\end{align}
が保存量となり、エネルギー運動量\(P^\nu\)
\begin{align*}P^\nu=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \phi\partial^\nu\phi-\eta^{0\nu}\mathscr L\right\}\tag{13}\end{align*}
を定義して保存量\(Q\)を表すと
\begin{align}Q&=\epsilon_\nu P^\nu\tag{14}\end{align}
となる。よって、全エネルギー運動量保存則の背景には時空並進不変性があり、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。
エネルギー運動量\(P^\nu\)の時間成分はエネルギー(ハミルトニアン)\(H\)、空間成分は運動量\(P^j\)であり、実際に求めると
\begin{align}H&=P^0\\&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \phi\partial^0\phi-\eta^{00}\mathscr L\right\}\\&=\int{d}^3b\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \phi\partial^0\phi-\eta^{00}\left(\frac{1}{2}\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\right\}\\&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right\}\tag{15}\\P^j&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \phi\partial^j\phi-\eta^{0j}\mathscr L\right\}\\&=\int{d}^3\boldsymbol x\ \left\{\partial^0 \phi\partial^j\phi-\eta^{0j}\left(\frac{1}{2}\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol x\ \pi\partial^j\phi\tag{16}\end{align}
となる。特にエネルギーに関しては、以前のページでルジャンドル変換によって求めたハミルトニアンと一致する。ここで、正準共役運動量の定義式
\begin{align}\pi=\partial^0\phi\tag{17}\end{align}
を用いている。
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次ページでは、場の理論におけるネーターの定理を用いることによりローレンツ不変性から全角運動量保存則が導かれることを確認する。
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