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本ページでは、時間順序積を用いることによって、複数のスカラー場の演算子の積を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分表示(スカラー場)で求める。
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前ページでは、配位空間での経路積分表示(スカラー場)を汎関数積分の形で求めた。
\begin{align*} &K(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert \phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{l+1}},t_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{l}},t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)\right\}\right] \tag{1}\end{align*}
内容
1つの演算子を固有状態で挟んだ期待値
初めに、1つのスカラー場の演算子\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\)を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分(スカラー場)で表示してみる。ここで、スカラー場の演算子\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\)はハイゼンベルク描像のため時間依存性があり、時刻\(t_{\scriptsize{l}}\)の固有状態のみに作用する。また、経路積分表示する際に、始状態\(\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)の右から終状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)へ若い時刻での完全系を順に挿入するため、それぞれの時刻は\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)の関係を満たすとする。
\begin{align*} &{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x) \vert\phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{l+1}},t_{\scriptsize{n}}\vert \hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\vert\phi_{\scriptsize{l}},t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\phi_{\scriptsize{l}}(\boldsymbol x)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \phi(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)\right\}\right] \tag{2}\end{align*}
\begin{align*}\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\vert\phi_{\scriptsize{l}}, t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}=\vert\phi_{\scriptsize{l}}, t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\ \phi_{\scriptsize{l}}(\boldsymbol x)\tag{3}\end{align*}
を用い、3番目の等号では配位空間での経路積分表示(スカラー場)式(\(1\))を用いた。※※※
式(\(2\))を解釈してみる。ファインマン核のときの被積分関数(式(\(1\)))と比較すると、被積分関数には時刻\(t_{\scriptsize{l}}\)でのスカラー場\(\phi(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\)が掛けられており、時間\(t\)の関数であるスカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)を積分変数として、あらゆる関数形で積分している(ただし、スカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)の積分範囲は\(\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text{I}}}(\boldsymbol x)\)と\(\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text{F}}}(\boldsymbol x)\)の条件を満たす)。
2つの演算子を固有状態で挟んだ期待値
次に、2つのスカラー場の演算子\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\)と\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\)の積を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分(1自由度)で表示してみる。
ここで注意点があり、2つのスカラー場の演算子\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\)と\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\)はどちらも時間依存性があり、順序が重要になってくる。そのため、これらの積である\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\)と\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\)は通常異なるものになる。
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{4}\\&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{5}\end{align*}
経路積分表示する際に、始状態\(\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)の右から終状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)へ若い時刻での完全系を順に挿入するため、2つのスカラー場の演算子\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\)と\(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\)の内、若い時刻のスカラー場の演算子が右になければならない。
時刻が\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)の関係を満たすとき、式(\(5\))では経路積分表示できないが、式(\(4\))では経路積分表示することが出来る。
\begin{align*} &{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x) \hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\vert\phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{l+1}},t_{\scriptsize{n}}\vert \hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\vert\phi_{\scriptsize{l}},t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots\\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{m+1}},t_{\scriptsize{n}}\vert \hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\vert\phi_{\scriptsize{m}},t_{\scriptsize{m}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\phi_{\scriptsize{l}}(\boldsymbol x)\phi_{\scriptsize{m}}(\boldsymbol x)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \phi(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\phi(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)\right\}\right] \tag{6}\end{align*}
一方、時刻が\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)の関係を満たすとき、式(\(4\))では経路積分表示できないが、式(\(5\))では経路積分表示することが出来る。
\begin{align*} &{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x) \hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\vert\phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{m+1}},t_{\scriptsize{n}}\vert \hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\vert\phi_{\scriptsize{m}},t_{\scriptsize{m}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots\\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{l+1}},t_{\scriptsize{n}}\vert \hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\vert\phi_{\scriptsize{l}},t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\phi_{\scriptsize{l}}(\boldsymbol x)\phi_{\scriptsize{m}}(\boldsymbol x)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \phi(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\phi(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)\right\}\right] \tag{7}\end{align*}
式(\(6\))と式(\(7\))は同じ結果になっており、この結果を解釈してみる。ファインマン核のときの被積分関数(式(\(1\)))と比較すると、被積分関数には時刻\(t_{\scriptsize{l}}\)でのスカラー場\(\phi(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\)と時刻\(t_{\scriptsize{m}}\)でのスカラー場\(\phi(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\)が掛けられており、時間\(t\)の関数であるスカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)を積分変数として、あらゆる関数形で積分している(ただし、スカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)の積分範囲は\(\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text{I}}}(\boldsymbol x)\)と\(\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text{F}}}(\boldsymbol x)\)の条件を満たす)。
時刻に条件が付いている式(\(6\))と式(\(7\))は時間順序積(T積)を用いることによりひとつの式にまとめることが出来る。時間順序積とは、時刻の順序に従って演算子の積を並び替えた積(ここでは、時刻が若い演算子を右から並べる)をいい、定義は
\begin{align*}\text T[\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)]=\theta(t_{\scriptsize{l}}-t_{\scriptsize{m}})\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)+\theta(t_{\scriptsize{l}}-t_{\scriptsize{l}})\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\tag{8}\end{align*}
となる。ここで、\(\theta\)はヘビィサイドの階段関数であり、次のように定義されている。
\begin{align*}\theta(a)&=1\ \ \ \ \ (a\text＞0)\tag{9}\\\theta(a)&=0\ \ \ \ \ (a\text＜0)\tag{10}\end{align*}
そのため、\(t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\)の時はヘビィサイドの階段関数により式(8)の右辺第一項のみ残り、\(t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\)の時はヘビィサイドの階段関数により式(8)の右辺第二項のみ残る。
式(\(6\))と式(\(7\))を時間順序積(T積)を用いてひとつの式にまとめると次のようになる。
\begin{align*} &{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\text T[\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x) \hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)]\vert\phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\theta(t_{\scriptsize{l}}-t_{\scriptsize{m}})\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)+\theta(t_{\scriptsize{l}}-t_{\scriptsize{l}})\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\vert\phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \phi(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\phi(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)\right\}\right] \tag{11}\end{align*}
2番目の等号では、時刻が\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)なら一項目が残り、時刻が\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)なら二項目が残ることから、時間順序積を用いることによって、条件\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{l}},\ t_{\scriptsize{\text{I}}}\)を満たせばひとつの式にまとめられることが分かる。
複数の演算子を固有状態で挟んだ期待値
これまでの議論は、何個のスカラー場の演算子の積でも成り立ち、時間順序積を用いることによって、複数のスカラー場の演算子の積を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)と挟んだ期待値を配位空間での経路積分表示(スカラー場)で求めることができる。
\begin{align*} &{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\text T[\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x) \cdots\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)]\vert\phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \phi(t_{\scriptsize{l}},\boldsymbol x)\cdots\phi(t_{\scriptsize{m}},\boldsymbol x)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)\right\}\right] \tag{12}\end{align*}
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