【やさしい量子力学】時間に依存するシュレーディンガー方程式

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Contents

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内容
1. 時間に依存するシュレーディンガー方程式
2. シュレーディンガー方程式の注意点
次ページから⋯

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本ページでは、エネルギー\(E\)とハミルトニアン\(H\)に関する固有値方程式

\begin{align*}i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\varPsi=E\varPsi\\\hat H\varPsi=H\varPsi\end{align*}

から、時間に依存するシュレーディンガー方程式

\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \varPsi=\hat H\varPsi\end{align*}

を導く。

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前々ページでは、粒子性と波動性を持つ複素平面波の式

\begin{align*}\Psi&=ae^{i\left(\frac{\boldsymbol p\cdot\boldsymbol q}{\hbar}-\frac{E}{\hbar}t+\delta\right)}\\&=ae^{i\left(\frac{p_xx}{\hbar}+\frac{p_yy}{\hbar}+\frac{p_zz}{\hbar}-\frac{E}{\hbar}t+\delta\right)}\tag{1}\end{align*}

から、座標\(\boldsymbol q\)、運動量\(\boldsymbol p\)、エネルギー\(E\)、ハミルトニアン\(H\)に関する固有値方程式

\begin{align*}\hat {\boldsymbol q}\varPsi&=\boldsymbol q \varPsi\tag{2}\\-i\hbar\boldsymbol \nabla\varPsi&=\boldsymbol p\varPsi\tag{3}\\i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\varPsi&=E\varPsi\tag{4}\\\hat{H}\varPsi&=H\varPsi\tag{5}\end{align*}

求めた。

内容

時間に依存するシュレーディンガー方程式

エネルギー\(E\)とハミルトニアン\(H\)は等しいため、式(4)と式(5)から

\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \varPsi=\hat H\varPsi\tag{6}\end{align*}

が得られ、この式が時間に依存するシュレーディンガー方程式である。式(4)と式(5)を導く際に複素平面波\(\varPsi\)から導いたが、式(6)は複素平面波以外の複素波でも成り立つ。また、シュレーディンガー方程式を満たす複素数値関数を波動関数と呼ぶ。

通常、ハミルトニアンには具体的な形を入れるため、例えばハミルトニアンの形が

\begin{align*}\hat {H} &=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V( q)\right]\tag{7}\end{align*}

の場合、時間に依存するシュレーディンガー方程式(6)に代入すると

\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \varPsi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V( q)\right]\varPsi\tag{8}\end{align*}

となる。

シュレーディンガー方程式の注意点

最後に一つ注意点を述べておく。複素平面波は速さ\(u\)が一定なため、座標\(q\)や時間\(t\)が変化しても運動量\(\boldsymbol p\)やエネルギー\(E\)は変わらない。実際に、複素平面波を時間\(t\)や座標\(q\)で偏微分した際に、運動量\(\boldsymbol p\)やエネルギー\(E\)は定数として固有値方程式(2),(3)を導いている。そのため、運動量\(\boldsymbol p\)やエネルギー\(E\)(または、ハミルトニアン\(H\))が時間\(t\)や座標\(q\)に依存する場合は、時間に依存するシュレーディンガー方程式(6)が成り立つかは今回の式変形からは分からない。

しかし、様々な実験からハミルトニアン\(H\)が時間\(t\)や座標\(q\)に依存する場合も時間に依存するシュレーディンガー方程式(2)が成り立つことが分かっている。もちろん、この時の解は複素平面波にはならない。

このように、シュレーディンガー方程式は論理的に導かれたものではないが、様々な実験結果と照らし合わされ、妥当であることが分かっている。これは、論理的に導かれたものではなく、実験結果から妥当であると認められたニュートンの運動方程式やマクスウェルの方程式と同じである。

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次ページでは、系の状態と固有状態の定義をみて、系の状態を重ね合わせたものは系の状態になる(重ね合わせの原理)が、固有状態を重ね合わせたものは一般的に固有状態にならないことを確かめる。

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