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本ページでは、超対称パートナーハミルトニアンのエネルギースペクトルは励起状態では完全に一致し、基底状態ではどちらかまたはどちらも消失することを見る。また、ウィッテン指数が位相不変量であることを確認する。
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前ページでは、超対称パートナーである2つのハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize +}\),\(\hat H_{\scriptsize -}\)
\begin{align*}\hat H_{\scriptsize +}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize +}(x)\tag{1}\\\hat H_{\scriptsize -}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize -}(x)\tag{2}\end{align*}
が与えられたとき、繋絡演算子\(\hat A\)が1階微分の演算子の形のときは、繋絡演算子\(\hat A\)は超ポテンシャル\(W(x)\)を用いて次の形となることを見た。
\begin{align*}\hat A&=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}-iW'(x)\right)\tag{3}\\\hat A^\dagger&=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}+iW'(x)\right)\tag{4}\end{align*}
このとき、2つのハミルトニアンのポテンシャル\(V_{\scriptsize +}\),\(V_{\scriptsize -}\)は超ポテンシャル\(W(x)\)を用いて次の形で与えられる。
\begin{align*}V_{\scriptsize +}(x)=\frac{1}{2m}(W'(x))^2-\frac{\hbar}{2m}W^{”}(x)+\epsilon\tag{5}\\V_{\scriptsize -}(x)=\frac{1}{2m}(W'(x))^2+\frac{\hbar}{2m}W^{”}(x)+\epsilon\tag{6}\end{align*}
また、ハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize +}\),\(\hat H_{\scriptsize -}\)は繋絡演算子\(\hat A\),\(\hat A^\dagger\)から構成され、
\begin{align*}\hat A^\dagger\hat A&=\hat H_{\scriptsize +}-\epsilon\tag{7}\\\hat A\hat A^\dagger&=\hat H_{\scriptsize -}-\epsilon\tag{8}\end{align*}
となり、超ハミルトニアン\(\hat{\boldsymbol H}\)と超電荷\(\hat{\boldsymbol Q}\)を用いると
\begin{align*}\hat{\boldsymbol Q}^2=\hat{\boldsymbol H}-\epsilon\boldsymbol I\tag{9}\end{align*}
と表せることを確認した。
内容
超対称パートナーであるハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize +}\),\(\hat H_{\scriptsize -}\)のエネルギースペクトルは等しいため、固有値方程式は同エネルギー\(E\)を用いて
\begin{align*}\hat H_{\scriptsize +}\psi_{\scriptsize {E,+}}&=E\psi_{\scriptsize {E,+}}\tag{10}\\\hat H_{\scriptsize -}\psi_{\scriptsize {E,-}}&=E\psi_{\scriptsize {E,-}}\tag{11}\end{align*}
と表すことができる。繋絡関係式
\begin{align*}\hat A\hat H_{\scriptsize +}&=\hat H_{\scriptsize -}\hat A\tag{12}\\\hat A^\dagger\hat H_{\scriptsize -}&=\hat H_{\scriptsize +}\hat A^\dagger\tag{13}\end{align*}
を満たす繋絡演算子\(\hat A\)を式(10)の左から、繋絡演算子\(\hat A^\dagger\)を式(11)の左から作用させると
\begin{align*}\hat H_{\scriptsize -}\left(\hat A\psi_{\scriptsize {E,+}}\right)&=E\left(\hat A\psi_{\scriptsize {E,+}}\right)\tag{14}\\\hat H_{\scriptsize +}\left(\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize {E,-}}\right)&=E\left(\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize {E,-}}\right)\tag{15}\end{align*}
となる。式(14)より\(\hat A\psi_{\scriptsize {E,+}}\)は固有値方程式(11)を満たすため\(\psi_{\scriptsize {E,-}}\)の定数倍であり、式(15)より\(\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize {E,-}}\)は固有値方程式(10)を満たすため(\psi_{\scriptsize {E,+}})の定数倍であることがわかる。それぞれ定数\(C\),\(C’\)倍であるとすると、これらの関係は次のように表せる。
\begin{align*}\hat A\psi_{\scriptsize {E,+}}&=C\psi_{\scriptsize {E,-}}\tag{16}\\\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize {E,-}}&=C’\psi_{\scriptsize {E,+}}\tag{17}\end{align*}
式(16)の左から繋絡演算子\(\hat A^\dagger\)を作用させると
\begin{align*}\hat A^\dagger\hat A\psi_{\scriptsize {E,+}}&=\hat A^\dagger C\psi_{\scriptsize {E,-}}\\\rightarrow(\hat H_{\scriptsize {+}}-\epsilon)\psi_{\scriptsize {E,+}}&=C\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize {E,-}}\\\rightarrow(E-\epsilon)\psi_{\scriptsize {E,+}}&=CC’\psi_{\scriptsize {E,+}}\\\rightarrow C=C’&=\sqrt{E-\epsilon}\tag{18}\end{align*}
となり、定数\(C\)が求まって波動関数は次式のようになる。
※※※2行目への変換では左辺に式(7)を用い、3行目への変換では左辺に式(10)、右辺に式(17)を用いた。4行目への変換では、\(C\neq C’\)でも今後の式の係数が変わるだけなので、式の形の対称性が高くなるように\(C=C’\)とおいた。※※※
以上より、式(16),(17)は次のようになる。
\begin{align*}\hat A\psi_{\scriptsize {E,+}}&=\sqrt{E-\epsilon}\psi_{\scriptsize {E,-}}\tag{19}\\\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize {E,-}}&=\sqrt{E-\epsilon}\psi_{\scriptsize { E,+}}\tag{20}\end{align*}
次に、どのような時にエネルギー準位の消失がおきるかを調べていく。式(19)両辺の左から\(\psi^*_{\scriptsize {E,+}}\)、右から\(\psi_{\scriptsize {E,+}}\)を掛けて座標積分すると式(21)が得られ、式(19)両辺の左から\(\psi^*_{\scriptsize {E,+}}\)、右から\(\psi_{\scriptsize {E,+}}\)を掛けて座標積分すると式(22)が得られる。
\begin{align*}\int dx\ \psi^*_{\scriptsize {E,+}}\hat A^\dagger\hat A\psi_{\scriptsize {E,+}}&=\int dx \ \psi^*_{\scriptsize {E,+}}(\hat H_{\scriptsize {+}}-\epsilon)\psi_{\scriptsize {E,+}}\\\left(\int dx \ (\hat A\psi _{\scriptsize {E,+}})^*\hat A \psi_{\scriptsize {E,+}}\right)^*&=(E-\epsilon)\int dx \ \vert\psi_{\scriptsize {E,+}}\vert^2\\\left(\int dx\ \vert \hat A\psi_{\scriptsize { E,+}}\vert^2\right)^*&=(E-\epsilon)\int dx\ \vert\psi_{\scriptsize {E,+}}\vert^2\\\int dx\ \vert \hat A\psi_{\scriptsize { E,+}}\vert^2&=(E-\epsilon)\int dx\ \vert\psi_{\scriptsize {E,+}}\vert^2\tag{21}\end{align*}
\begin{align*}\int dx\ \psi^*_{\scriptsize {E,-}}\hat A\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize {E,-}}&=\int dx \ \psi^*_{\scriptsize {E,-}}(\hat H_{\scriptsize {-}}-\epsilon)\psi_{\scriptsize {E,-}}\\\left(\int dx \ (\hat A^\dagger\psi _{\scriptsize {E,-}})^*\hat A^\dagger \psi_{\scriptsize {E,-}}\right)^*&=(E-\epsilon)\int dx \ \vert\psi_{\scriptsize {E,-}}\vert^2\\\left(\int dx\ \vert \hat A^\dagger\psi_{\scriptsize { E,-}}\vert^2\right)^*&=(E-\epsilon)\int dx\ \vert\psi_{\scriptsize {E,-}}\vert^2\\\int dx\ \vert \hat A^\dagger\psi_{\scriptsize { E,-}}\vert^2&=(E-\epsilon)\int dx\ \vert\psi_{\scriptsize {E,-}}\vert^2\tag{22}\end{align*}
※※※それぞれの式で2行目への変換では左辺に
\begin{align*}\left(\int dx\ \psi^*\hat A\phi\right)=\int dx\ \phi^*\hat A^\dagger\psi\tag{23}\end{align*}
を、右辺に式(10)を用いて、3行目への変換では関数のノルムの定義を用いて、4行目への変換では関数のノルムがスカラーであることを用いた。※※※
式(21),(22)より、3つのことが分かる。ひとつは、ノルムが正値であることから\(\E-\epsilon\geqq 0\)であることが分かり、最低エネルギー準位である基底状態は\(E=\epsilon\)である。もうひとつは、\(E＞\epsilon\)である励起状態のときは\(\psi_{\scriptsize {E,+}}\)が規格化可能なら\(\hat A\psi_{\scriptsize { E,+}}\propto\psi_{\scriptsize {E,-}}\)も規格化可能であり、\(\psi_{\scriptsize {E,-}}\)が規格化可能なら\(\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize { E,-}}\propto\psi_{\scriptsize {E,+}}\)も規格化可能であり、同じエネルギースペクトルになることである。そして、\(E=\epsilon\)の基底状態のときは、\(\hat A\psi_{\scriptsize { E,+}}=0\)および\(\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize { E,-}}=0\)であり、\(\psi_{\scriptsize { E,+}}\)と\(\psi_{\scriptsize { E,-}}\)は繋絡演算子で結びつけられていなく、規格化可能であるかの情報は上式からは得られないことである。
基底状態での波動関数についてもう少し詳しく調べていく。基底状態での\(\hat A\psi_{\scriptsize { E,+}}=0\)および\(\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize { E,-}}=0\)
\begin{align*}\hat A\psi_{\scriptsize { E,+}}&=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}-iW'(x)\right)\psi_{\scriptsize { E,+}}\tag{24}\\\hat A^\dagger\psi_{\scriptsize { E,-}}&=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}+iW'(x)\right)\psi_{\scriptsize { E,-}}\tag{25}\end{align*}
について解くと
\begin{align*}\psi_{\scriptsize { E,+}}&=N_{\scriptsize 0}\exp{\left(-\frac{1}{\hbar}W(x)\right)}\tag{26}\\\psi_{\scriptsize { E,-}}&=N_{\scriptsize 0}\exp{\left(\frac{1}{\hbar}W(x)\right)}\tag{27}\end{align*}
が得られる。これらの式が物理的に意味を持つためには規格化可能でなければならず、無限遠\(\pm\infty\)で波動関数が\(0\)に収束しなければならない(境界条件が他にあればそれに従わなければならない)。超ポテンシャル\(W(x)\)が
\begin{align*}W(x)=a_{\scriptsize 0}+a_{\scriptsize 1}x+a_{\scriptsize 2}x^2+\cdots+a_{\scriptsize n}x^n\tag{28}\end{align*}
と表される時、無限遠\(\pm\infty\)での超ポテンシャル\(W(x)\)の振る舞いは
\begin{align*}(\text i)&nが偶数,a_{\scriptsize n}＜\ 0\rightarrow W(-\infty)=-\infty,W(\infty)=-\infty\\(\text {ii})&nが偶数,a_{\scriptsize n}＞\ 0\rightarrow W(-\infty)=\infty,W(\infty)=\infty\\(\text {iii})&nが奇数,a_{\scriptsize n}＜\ 0\rightarrow W(-\infty)=\infty,W(\infty)=-\infty\\(\text {iv})&nが奇数,a_{\scriptsize n}＞\ 0\rightarrow W(-\infty)=-\infty,W(\infty)=\infty\end{align*}
となる。条件(iii)および(iv)では、超ポテンシャル\(W(x)\)は無限遠\(-\infty\)と\(\infty\)で別符号に無限発散するため、波動関数\(\psi_{\scriptsize {E,+}}\),\(\psi_{\scriptsize {E,-}}\)どちらも規格化は不可能であり、基底状態としてはどちらも消失する。一方、条件(i)では、超ポテンシャル\(W(x)\)は無限遠\(\pm\infty\)で負符号に無限発散するため、波動関数\(\psi_{\scriptsize {E,+}}\)は規格化は可能で、\(\psi_{\scriptsize {E,-}}\)のみ消失する。また、条件(ii)では、超ポテンシャル\(W(x)\)は無限遠\(\pm\infty\)で正符号に無限発散するため、波動関数\(\psi_{\scriptsize {E,-}}\)は規格化は可能で、\(\psi_{\scriptsize {E,+}}\)のみ消失する。
ここで、基底状態における波動関数\(\psi_{\scriptsize {E,+}}\)の数を表す\(\mathcal N^+_{\scriptsize E=\epsilon}\)から、波動関数\(\psi_{\scriptsize {E,-}}\)の数を表す\(\mathcal N^-_{\scriptsize E=\epsilon}\)を引いた数をウィッテン指数\(\varDelta _W\)と呼ぶ。ウィッテン指数を用いると、超ポテンシャル\(W(x)\)との関係性は次のようになる。
\begin{align*}(\text i)&nが偶数,a_{\scriptsize n}＜\ 0\rightarrow \varDelta _W=-1\\(\text {ii})&nが偶数,a_{\scriptsize n}＞\ 0\rightarrow \varDelta _W=+1\\(\text {iii})&nが奇数,a_{\scriptsize n}＜\ 0\rightarrow \varDelta _W=0\\(\text {iv})&nが奇数,a_{\scriptsize n}＞\ 0\rightarrow \varDelta _W=0\end{align*}
このウィッテン指数\(\varDelta _W\)は位相不変量である。なぜなら、超ポテンシャル\(W(x)\)の最高べきの係数\(a_{\scriptsize n}\)の符号と最高べき\(n\)の偶奇でウィッテン指数\(W(x)\)が決まるため、よりも小さいべきの係数を変えてもウィッテン指数は変わらないからである。
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