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本ページでは、合成系は複数の粒子が存在する系であることを確認し、複数の粒子が相互作用していない合成系における純粋状態および混合状態の密度行列は、部分系のテンソル積を用いて表せることをみる。
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前ページでは、純粋状態および混合状態を表現できる密度行列
\begin{align*}\rho=\sum_jp_j\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\tag{7}\end{align*}
を導入し、純粋状態の密度行列と混合状態の密度行列の違いを、光子の偏光を用いた例で確かめた。
内容
部分系と合成系
これまで、ひとつの粒子に対する純粋状態や混合状態、密度行列を考えてきたが、複数の粒子においても考えることができる。ひとつの粒子が存在する系を部分系といい、複数の粒子が存在する系を合成系という。
合成系の純粋状態
純粋状態\(\vert \varPsi_j\rangle\)の粒子と純粋状態\(\vert\varPhi_j\rangle\)の粒子が存在し、それぞれの粒子が相互作用していないとき、2つの粒子が存在する合成系の純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)はテンソル積\(\otimes\)を用いて
\begin{align*}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle=\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle\tag{1}\end{align*}
と表せる(相互作用しているときは、次のページで確かめる)。\(m\)行\(n\)列の行列\(\boldsymbol A\)と\(p\)行\(q\)列の行列\(\boldsymbol B\)のテンソル積は
\begin{align*}\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B=\left(\begin{array}{c}a_{11}\boldsymbol B&a_{12}\boldsymbol B&\cdots&a_{1n}\boldsymbol B\\a_{21}\boldsymbol B&a_{22}\boldsymbol B&\cdots&a_{2n}\boldsymbol B\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\boldsymbol B&a_{m2}\boldsymbol B&\cdots&a_{mn}\boldsymbol B\end{array}\right)\tag{2}\end{align*}
となり、\(mp\)行\(nq\)列の行列が得られる。
2つの粒子が存在する合成系における純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)の密度行列\(\rho_j\)は、部分系のとき
\begin{align*}\rho_j=\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\tag{3}\end{align*}
と同様に
\begin{align*}\rho_j&=\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\langle\varPsi_j,\varPhi_j\vert\\&=(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle)(\langle\varPsi_j\vert\otimes\langle\varPhi_j\vert)\\&=(\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert)\otimes(\vert\varPhi_j\rangle\langle\varPhi_j\vert)\tag{4}\end{align*}
と表すことができる。この式より、先に部分系のテンソル積の計算をして合成系にしてから密度行列を求めても、先に部分系における密度行列を求めてからテンソル積の計算をして合成系にしても同じ結果になることが分かる。
合成系の混合状態
純粋状態\(\vert \varPsi_j\rangle\)が確率\(p_j\)で測定される状態である混合状態の密度行列は、
\begin{align*}\rho=\sum_jp_j\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\tag{5}\end{align*}
であるため、2つの粒子が相互作用していない合成系の混合状態における密度行列は
\begin{align*}\rho&=\sum_jp_j\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\langle\varPsi_j,\varPhi_j\vert\\&=\sum_jp_j(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle)(\langle\varPsi_j\vert\otimes\langle\varPhi_j\vert)\\&=\sum_jp_j\left\{\left(\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\right)\otimes\left(\vert\varPhi_j\rangle\langle\varPhi_j\vert\right)\right\}\\&=\left(\sum_jp_j\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\right)\otimes\left(\sum_jp_j\vert\varPhi_j\rangle\langle\varPhi_j\vert\right)\tag{6}\end{align*}
と表すことができる。この式より、混合状態においても、先に部分系のテンソル積の計算をして合成系にしてから密度行列を求めても、先に部分系における密度行列を求めてからテンソル積の計算をして合成系にしても同じ結果になることが分かる。
純粋状態の例
純粋状態の密度行列の例として、光子の偏光を取り上げる。
右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)と左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)を
\begin{align*}\vert R\rangle&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{7}\\\vert L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{8}\end{align*}
と定義すると、縦偏光の純粋状態\(\vert +\rangle\)と横偏光の純粋状態\(\vert -\rangle\)は
\begin{align*}\vert +\rangle&=\frac{\vert R\rangle+\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{9}\\\vert -\rangle&=\frac{\vert R\rangle-\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{10}\end{align*}
と表すことができる。
右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)または左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)である相互作用していない2つの粒子における合成系の純粋状態は、次の4パターン考えられる。
\begin{align*}\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle &=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\tag{11}\\\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle &=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\tag{12}\\\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle &=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)\tag{13}\\\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle &=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\tag{14}\end{align*}
よって、それぞれの密度行列は
\begin{align*}\rho_{RR}&=(\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle)(\langle R\vert\otimes\langle R\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{15}\\\rho_{RL}&=(\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle)(\langle R\vert\otimes\langle L\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{16}\\\rho_{LR}&=(\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle)(\langle L\vert\otimes\langle R\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{17}\\\rho_{LL}&=(\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle)(\langle L\vert\otimes\langle L\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\tag{18}\end{align*}
となる。
縦偏光の純粋状態\(\vert +\rangle\)または横偏光の純粋状態\(\vert -\rangle\)である相互作用していない2つの粒子における合成系の純粋状態は、次の4パターン考えられる。
\begin{align*}\vert +\rangle\otimes\vert +\rangle &=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\tag{19}\\\vert +\rangle\otimes\vert -\rangle &=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)\tag{20}\\\vert -\rangle\otimes\vert +\rangle &=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\\-1\end{array}\right)\tag{21}\\\vert -\rangle\otimes\vert -\rangle &=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right)\tag{22}\end{align*}
よって、それぞれの密度行列は
\begin{align*}\rho_{++}&=(\vert +\rangle\otimes\vert +\rangle)(\langle +\vert\otimes\langle +\vert)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right)\tag{23}\\\rho_{+-}&=(\vert +\rangle\otimes\vert -\rangle)(\langle +\vert\otimes\langle -\vert)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1&-1&1&-1\\-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1\\-1&1&-1&1\end{array}\right)\tag{24}\\\rho_{-+}&=(\vert -\rangle\otimes\vert +\rangle)(\langle -\vert\otimes\langle +\vert)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1&1&-1&-1\\1&1&-1&-1\\-1&-1&1&1\\-1&-1&1&1\end{array}\right)\tag{25}\\\rho_{–}&=(\vert -\rangle\otimes\vert -\rangle)(\langle -\vert\otimes\langle -\vert)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1&-1&-1&1\\-1&1&1&-1\\-1&1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}\right)\tag{26}\end{align*}
となる。これら純粋状態の密度行列は、ある状態に作用させると純粋状態を取り出す射影演算子でもあり、純粋状態の式(11)~(14),(19)~(22)に作用させるとそのことが分かる。
混合状態の例
混合状態の密度行列の例として、無偏光の光子を取り上げる。
無偏光の光子は偏光方向が粒子毎に完全にランダムであり、複数の無偏光の光子を右円偏光板\(\nearrow\)または左円偏光板\(\nwarrow\)に通すと、50%の確率で右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)が、50%の確率で左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)が測定される。そのような無偏光の光子2つが作る合成系(相互作用していないと仮定する)の混合状態を測定すると、式(11)~(14)の状態が同じ確率で測定されるため、このときの密度行列\(\rho’\)は
\begin{align*}\rho’&=1/4(\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle)(\langle R\vert\otimes\langle R\vert)\\&\ \ +1/4(\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle)(\langle R\vert\otimes\langle L\vert)\\&\ \ +1/4(\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle)(\langle L\vert\otimes\langle R\vert)\\&\ \ +1/4(\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle)(\langle L\vert\otimes\langle L\vert)\\&=1/4\rho_{RR}+1/4\rho_{RL}+1/4\rho_{LR}+1/4\rho_{LL}\\&=\left(\begin{array}{c}1/4&0&0&0\\0&1/4&0&0\\0&0&1/4&0\\0&0&0&1/4\end{array}\right)\tag{27}\end{align*}
となる。
また、複数の無偏光の光子を縦偏光板\(\updownarrow\)または横偏光板\(\leftrightarrow\)に通すと、50%の確率で縦偏光の純粋状態\(\vert +\rangle\)が、50%の確率で横偏光の純粋状態\(\vert -\rangle\)が測定される。そのような無偏光の光子2つが作る合成系(相互作用していないと仮定する)の混合状態を測定すると、式(19)~(22)の状態が同じ確率で測定されるため、このときの密度行列\(\rho^”\)は
\begin{align*}\rho^”&=1/4(\vert +\rangle\otimes\vert +\rangle)(\langle +\vert\otimes\langle +\vert)\\&\ \ +1/4(\vert +\rangle\otimes\vert -\rangle)(\langle +\vert\otimes\langle -\vert)\\&\ \ +1/4(\vert -\rangle\otimes\vert +\rangle)(\langle -\vert\otimes\langle +\vert)\\&\ \ +1/4(\vert -\rangle\otimes\vert -\rangle)(\langle -\vert\otimes\langle -\vert)\\&=1/4\rho_{++}+1/4\rho_{+-}+1/4\rho_{-+}+1/4\rho_{–}\\&=\left(\begin{array}{c}1/4&0&0&0\\0&1/4&0&0\\0&0&1/4&0\\0&0&0&1/4\end{array}\right)\tag{28}\end{align*}
となる。式(27)の例と式(28)の例では、どちらも同じ無偏光の光子を用いた合成系における混合状態の例であるため、同じ式となる。
次ページから…
次ページでは、2つの粒子が相互作用して量子もつれの状態となった合成系は部分系における純粋状態のテンソル積で表せないことがあるが、そのような場合でも、部分系における純粋状態のテンソル積の重ね合わせで表せることを確認する。
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