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本ページでは、離散基底系における基底ベクトルの定義を確認し、正規直交基底関数(以後、基底関数と略す)群を成分にもつベクトルと基底ベクトルの内積で、離散基底系の基底関数を表せることを確認する。また、状態ベクトルは基底ベクトルの線型結合で表せることも確認する。
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前ページでは、内積をブラ\(\langle a\vert\)とケット\(\vert b\rangle\)を用いて表記すると次のようになることを確認した。
\begin{align*}\langle a\vert b\rangle&=(a_1^*,a_2^*,\cdots)\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\end{array}\right)\\&=\sum_{i}a_i^*b_i\tag{1}\end{align*}
また、基底関数群\(\{u_i(\tau)\}\)の線形結合で表した波動関数同士の内積は
\begin{align*}\int d\tau\ \psi^*(\tau)\phi(\tau)&=\int d\tau\ \langle \psi\vert u\rangle\langle u \vert \phi\rangle\\&=\langle \psi\vert \left(\int d\tau\ \vert u\rangle\langle u \vert\right) \phi\rangle\\&=\langle \psi\vert \phi\rangle\tag{2}\end{align*}
となり、ブラ-ケット記法では基底関数\(u_i(\tau)\)に依存しなくなることを確認した。
内容
離散基底系と連続基底系
基底関数は2種類あり、\(\sin\)関数やルジャンドル関数などの離散基底系と、座標や運動量などの連続基底系の2つに分類できる。このページでは、離散基底系について調べていく。
離散基底系の基底ベクトル
離散基底関数\(u_i^*\)は、基底関数群\(\{u\}\)を成分にもつブラ\(\langle u\vert\)
\begin{align*}\langle u\vert=(\cdots,u_{i-1}^*,u_i^*,u_{i+1}^*,\cdots)\tag{3}\end{align*}
と、\(i\)成分のみ\(1\)でそれ以外の成分が\(0\)である基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)と呼ばれる
\begin{align*}\vert u_i\rangle=\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\end{array}\right)\tag{4}\end{align*}
を用いて次のように表せる。
\begin{align*}u_i^*&=(\cdots,u_{i-1}^*,u_i^*,u_{i+1}^*,\cdots)\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\end{array}\right)\\&=\langle u\vert u_i\rangle\tag{5}\end{align*}
基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)は、基底関数\(u_i\)を基底関数群\(\{u\}\)の線型結合で表したときの展開係数を成分に持つベクトルに相当する。
基底ベクトルの性質
基底ベクトルは、次の規格直交性
\begin{align*}\langle u_i\vert u_j\rangle&=\delta_{ij}\tag{6}\end{align*}
をもち、次の量
\begin{align*}\vert u_i\rangle\langle u_i\vert &=\left(\begin{array}{c}0&\cdots&0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&1&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\cdots&0\end{array}\right)\tag{7}\end{align*}
は射影演算子に相当し、次の量
\begin{align*}\sum_{i}\vert u_i\rangle\langle u_i\vert &=\left(\begin{array}{c}1&0&\cdots\\0&0&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0&0&\cdots\\0&1&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)+\cdots\\&=\boldsymbol I\tag{8}\end{align*}
は単位演算子に相当する。
状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)に単位演算子を掛けても変わらないため、実際に掛けてみると
\begin{align*}\vert \psi\rangle&=\sum_{i}\vert u_i\rangle\langle u_i\vert\psi\rangle\\&=\sum_{i}\langle u_i\vert\psi\rangle\vert u_i\rangle\\&=\left(\begin{array}{c}\langle u_1\vert \psi\rangle\\\vdots\\\langle u_i\vert \psi\rangle\\\vdots\end{array}\right)\tag{9}\end{align*}
となる(内積はスカラーであるため順序を変えても良い)。また、状態ベクトル\(\vert\psi\rangle\)は基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)と展開係数\(\psi_i\)を用いて
\begin{align*}\vert \psi\rangle&=\sum_{i}\psi_i\vert u_i\rangle\\&=\left(\begin{array}{c}\psi_1\\\vdots\\\psi_i\\\vdots\end{array}\right)\tag{10}\end{align*}
と表すことができるため、展開係数\(\psi_i\)は
\begin{align*}\psi_i&=\langle u_i\vert \psi\rangle\tag{11}\end{align*}
となる。ここで注意だが、波動関数\(\psi\)は基底関数\(u_i\)の線型結合だが、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)は基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)の線型結合であり、どちらの場合も展開係数は\(\psi_i\)である。
最後に、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)を空間のある方向に向いたベクトルと考えると、基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)はある1つの座標軸\(i\)方向の単位ベクトルに相当し、波動関数\(\psi_i\)は座標軸\(i\)の射影成分に相当する。そして、座標系を変えると射影成分も変わることが予想できる。
次ページから⋯
次ページでは、連続基底系における基底ベクトルの定義を確認し、状態ベクトルは基底ベクトルの線型結合で表せることと、その展開係数が波動関数になることを確認する。
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