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本ページでは、4元電流密度\(j^\nu\)
\begin{align*}j^\nu&=(\rho c,\boldsymbol j)\\&=(j^0,j^1,j^2,j^3)\end{align*}
を導入すると、マクスウェル方程式の2式
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol D&=\rho\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\end{align*}
が次の１つの式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0j^\nu\end{align*}
にまとめられることをみる。
前ページでは…
前ページでは、電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\end{align*}
が、電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)の定義式
\begin{align*}F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\end{align*}
の1つにまとめられることをみる。
内容
4元電流密度とは
自由電荷および自由電流のみが存在する真空中では、マクスウェル方程式は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol D&=\rho\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\tag{4}\end{align*}
であり、構成方程式は
\begin{align*}\boldsymbol E&=\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol D\tag{5}\\\boldsymbol B&=\mu_0\boldsymbol H\tag{6}\end{align*}
となる(以前のページを参照)から、マクスウェル方程式の式(3)と式(4)を電場\(\boldsymbol E\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)だけで表すと
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E&=\frac{\rho}{\epsilon_0}\tag{7}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol B&=\mu_0\boldsymbol j+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t}\tag{8}\end{align*}
となる(式(8)では\(\mu_0\epsilon_0=1/c^2\)を用いた)。式(7)と式(8)を微分ベクトル(以前のページを参照)を用いて成分ごとに表すと
\begin{align*}\mu_0\rho c&=\partial_1E^1/c+\partial_2E^2/c+\partial_3E^3/c\\\mu_0j^1&=\partial_2B^3-\partial_3B^2-\partial_0E^1/c\\\mu_0j^2&=\partial_3B^1-\partial_1B^3-\partial_0E^2/c\\\mu_0j^3&=\partial_1B^2-\partial_2B^1-\partial_0E^3/c\end{align*}
式(7)の成分表示では、式の両辺に\(c/c^2\)を掛けて、\(\mu_0\epsilon_0=1/c^2\)を用いている。
ここで、電流密度\(\boldsymbol j\)の各空間成分は以下である。
\begin{align*}\boldsymbol j&=(j^1,j^2,j^3)\end{align*}
また、微分ベクトルの表記は次の通りである。
\begin{align*}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial x^0}=\partial_0=\partial^0\\\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x^1}=\partial_1=-\partial^1\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x^2}=\partial_2=-\partial^2\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial x^3}=\partial_3=-\partial^3\end{align*}
となって、これらにも規則性があるように伺える。前ページで導入した電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)を用いて表すと
\begin{align*}\mu_0\rho c&=\partial_1F^{10}+\partial_2F^{20}+\partial_3f^{30}\\\mu_0j^1&=\partial_2F^{21}+\partial_3F^{31}+\partial_0F^{01}\\\mu_0j^2&=\partial_3F^{32}+\partial_1F^{12}+\partial_0F^{02}\\\mu_0j^3&=\partial_1F^{13}+\partial_2F^{23}+\partial_0F^{03}\end{align*}
電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)の具体的な値は
\begin{align*}F^{00}&=-F^{00}=0\\F^{11}&=-F^{11}=0\\F^{22}&=-F^{22}=0\\F^{33}&=-F^{33}=0\\F^{32}&=-F^{23}=\partial^3A^2-\partial^2A^3=B^1\\F^{13}&=-F^{31}=\partial^1A^3-\partial^3A^1=B^2\\F^{21}&=-F^{12}=\partial^2A^1-\partial^1A^2=B^3\\F^{10}&=-F^{01}=\partial^1A^0-\partial^0A^1=E^1/c\\F^{20}&=-F^{02}=\partial^2A^0-\partial^0A^2=E^2/c\\F^{30}&=-F^{03}=\partial^3A^0-\partial^0A^3=E^3/c\end{align*}
であり、視覚的にわかりやすく表現するために行列表現すると以下となる(前ページを参照)。
\begin{align*}\boldsymbol F=\left(\begin{array}{c}0&-E^1/c&-E^2/c&-E^3/c\\E^1/c&0&-B^3&B^2\\E^2/c&B^3&0&-B^1\\E^3/c&-B^2&B^1&0\end{array}\right)\end{align*}
となり、4元電流密度
\begin{align*}j^\nu&=(\rho c,\boldsymbol j)\\&=(j^0,j^1,j^2,j^3)\tag{9}\end{align*}
を導入し、まとめて表すと
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0j^\nu\tag{10}\end{align*}
となる。この式ではアインシュタインの縮約記法(以前のページを参照)を用いており、ひとつの項にペアで同じ下付き添え字と上付き添え字が現れたとき、総和記号が省かれていても添え字に関して総和をとる。もし、アインシュタインの縮約記法を用いないと、
\begin{align*}\partial_0F^{00}+\partial_1F^{10}+\partial_2F^{20}+\partial_3F^{30}&=\mu_0j^0\\\partial_0F^{01}+\partial_1F^{11}+\partial_2F^{21}+\partial_3F^{31}&=\mu_0j^1\\\partial_0F^{02}+\partial_1F^{12}+\partial_2F^{22}+\partial_3F^{32}&=\mu_0j^2\\\partial_0F^{03}+\partial_1F^{13}+\partial_2F^{23}+\partial_3F^{33}&=\mu_0j^3\end{align*}
となる。ここで、\(F^{00}\),\(F^{11}\),\(F^{22}\),\(F^{33}\)はゼロであることに注意する。
流れの保存
4元電流密度を用いて表した式(10)
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0j^\nu\tag{10}\end{align*}
から流れの保存の式
\begin{align*}\partial_\nu j^\nu=0\tag{11}\end{align*}
を導くことができる。
式(10)の両辺を時空微分\(\partial_\nu\)すると
\begin{align*}\partial_{\nu}\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0\partial_\nu j^\nu\tag{12}\end{align*}
となり、この式の右辺は
\begin{align*}\partial_{\nu}\partial_\mu F^{\mu\nu}&=\partial_{\mu}\partial_\nu F^{\nu\mu}\\&=\partial_{\nu}\partial_\mu F^{\nu\mu}\\&=-\partial_{\nu}\partial_\mu F^{\mu\nu}\\&=0\tag{13}\end{align*}
アインシュタインの縮約記法では添え字として任意の添え字を使えるため、式(13)の1行目の変形では添え字\(\mu\)と添え字\(\nu\)を入れ替えており、2行目への変形では偏微分記号の順を変えており、3行目への変形では電磁場テンソルの反対称性
\begin{align*}F^{\nu\mu}=-F^{\mu\nu}\end{align*}
を用いており、4行目への変形では
\begin{align*}x=-x\end{align*}
のとき、\(x\)がゼロであることを用いた。
と変形できることから、流れの保存の式
\begin{align*}\partial_\nu j^\nu=0\tag{11}\end{align*}
が導かれる。この式ではアインシュタインの縮約記法を用いており、通常の微分記号をもちいると
\begin{align*}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol j\tag{14}\end{align*}
4元電流密度は
\begin{align*}j^\nu&=(\rho c,\boldsymbol j)\\&=(j^0,j^1,j^2,j^3)\end{align*}
であり、微分ベクトルの表記は次の通りである。
\begin{align*}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial x^0}=\partial_0=\partial^0\\\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x^1}=\partial_1=-\partial^1\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x^2}=\partial_2=-\partial^2\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial x^3}=\partial_3=-\partial^3\end{align*}
と表すことができる。
電荷の保存
流束密度である電流密度\(\boldsymbol j\)の発散\(\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol j\)は流束である電流の湧き出しを表す(以前のページを参照)ため、流れの保存の式(14)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol j+\frac{\partial \rho}{\partial t}&=0\tag{14}\end{align*}
が示すことは、「単位体積内に存在する電荷の時間減少率\(-\frac{\partial \rho}{\partial t}\)」が「単位体積から湧き出る電流\(\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol j\)」に等しいことを意味し、理由もなく電荷が突然現れたり消えたりすることはないということである。
流れの保存の式(14)から電荷の保存式を導くことができる。流れの保存の式(14)を変形して体積積分すると
\begin{align*}\int \frac{\partial \rho}{\partial t}\ d^3\boldsymbol x&=-\int\boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol j\ d^3\boldsymbol x\\\rightarrow\frac{d}{dt}\int \rho\ d^3\boldsymbol x&=-\int \boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol j \ d^3\boldsymbol x\tag{15}\end{align*}
式(15)の2行目への変形において偏微分から全微分に変わっている理由について述べておく。
電荷密度\(\rho\)は座標\((x,y,z)\)と時間\(t\)を変数にする関数であるため、式(15)の１行目では時間\(t\)に関して偏微分で表記している。
一方、電荷\(\int \rho\ d^3\boldsymbol x\\)は電荷密度\(\rho\)を体積積分して求めているため、電荷\(\int \rho\ d^3\boldsymbol x\\)は時間\(t\)を変数にする関数ではあるが、もはや座標\((x,y,z)\)を変数にした関数ではなく、関数である電荷密度\(\rho\)の形によって値が決まる汎関数となっている。そのため、式(15)の2行目では時間\(t\)に関して全微分で表記している。
となり、発散定理(以前のページを参照)
\begin{align*}\int \ \boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol j\ d^3\boldsymbol x=\int_S \boldsymbol j\cdot d\boldsymbol S\tag{16}\end{align*}
を用いると
\begin{align*}\frac{d}{dt}\int \rho\ d^3\boldsymbol x=-\int_S \boldsymbol j\cdot d\boldsymbol S\tag{17}\end{align*}
と表すことができる。最後に、「どの時刻においても、空間の無限遠では常に電流密度\(\boldsymbol j\)がゼロになる」ことを用いると、式(17)の右辺において無限遠で面積分を行なえばゼロとなり、次式
\begin{align*}\frac{d}{dt}\int \rho\ d^3\boldsymbol x=0\tag{18}\end{align*}
が成り立つことが分かる。この式が電荷の保存式であり、全空間と全時間において全電荷\(\int \rho\ d^3\boldsymbol x\)は変化しないことを表す。
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