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本ページでは、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えることによって、ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\end{align*}
が導かれることを確認する。また、ゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から正準共役運動量が定義
\begin{align}\pi^\nu=-\partial_0 A^\nu\end{align}
でき、ゲージ場と正準共役運動量は第2量子化を行なえるが、ローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu=0\end{align*}
は量子化できないことを確認する。
前ページまで…
前ページでは、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)から求めた正準共役運動量の時間成分\(\pi^0\)がゼロであったがために、単なる第2量子化が行なえないことを確認した。
内容
ゲージ固定項
マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にある項を加えて、ゲージ固定されたマクスウェル方程式が得られたとき、加えた項をゲージ固定項と呼ぶ。ゲージ固定とはゲージ変換方法のひとつを選ぶ操作のため、ゲージ固定されたマクスウェル方程式はもはやゲージ不変性を持たず、ゲージ固定されたマクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)もゲージ不変性を持たない。このことは、｢ゲージ固定していること｣さえ忘れなければ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)にゲージ不変性を持たない項を加えてもよいことを示している。
前々ページで、次の項
\begin{align*}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu+\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\end{align*}
を加えると、\(A^0\)の時間の2階微分が現れることを見た。この項はゲージ不変性を持たないが、この項をゲージ固定項として捉えれば、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)に加えてもよいことになる。そして、正準共役運動量\(\pi^0\)を定義することができるため、第2量子化することができる。
ローレンツゲージ固定
今回は次の項
\begin{align*}-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\end{align*}
をゲージ固定項として加えてみる。
マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えると
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2\tag{1}\end{align}
となり、オイラー-ラグランジュ方程式
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}=0\tag{2}\end{align}
に代入すると
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}&=-\partial_\mu F^{\mu\nu}-\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)\\&=0\tag{3}\end{align}
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu A_\nu}\left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma}-\frac{1}{2}(\partial_\rho A^\rho)^2\right)\right\}\\&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu A_\nu}\left(-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}F_{\rho\gamma}F_{\kappa\tau}-\frac{1}{2}(\eta^{\rho\gamma}\partial_\rho A_\gamma)^2\right)\right\}\\&=\partial_\mu\left\{-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left(\frac{\partial F_{\rho\gamma}}{\partial \partial_\mu A_\nu}F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}\frac{\partial F_{\kappa\tau}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{1}{2}\frac{\partial (\eta^{\rho\gamma}\partial_\rho A_\gamma)^2}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right\} \\&=\partial_\mu\left\{-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left((\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^\mu\delta_\rho{}^\nu)F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\delta_\kappa{}^\mu\delta_\tau{}^\nu-\delta_\tau{}^\mu\delta_\kappa{}^\nu)\right)-\eta^{\rho\gamma}\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu(\eta^{\rho\gamma}\partial_\rho A_\gamma)\right\}\\&=\partial_\mu\left\{-\frac{1}{4}\left((\eta^{\mu\kappa}\eta^{\nu\tau}-\eta^{\nu\kappa}\eta^{\mu\tau})F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\eta^{\rho\mu}\eta^{\gamma\nu}-\eta^{\rho\nu}\eta^{\gamma\mu})\right)-\eta^{\mu\nu}(\partial_\rho A^\rho)\right)\\&=-\frac{1}{4}\partial_\mu\left(F^{\mu\nu}-F^{\nu\mu}+F^{\mu\nu}-F^{\nu\mu}\right)-\partial^{\nu}(\partial_\rho A^\rho)\\&=-\partial_\mu F^{\mu\nu}-\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)\\&=0\end{align}
2行目への変形では計量テンソルを用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、3行目への変形では積の微分公式を用い、4行目への変形では電磁場テンソル\(F_{\rho\gamma}\)の微分
\begin{align*}\frac{\partial\left(F_{\rho\gamma}\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}&=\frac{\partial\left(\partial_\rho A_\gamma\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}-\frac{\partial\left(\partial_\gamma A_\rho\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}\\&=\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^\mu\delta_\rho{}^\nu\end{align*}
を行ない、6行目への変形では電磁場テンソルの反対称性(以前のページを参照)
\begin{align*}F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}\end{align*}
を用いた。
となって、新たな方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\tag{4}\end{align*}
が得られる。ここで、この得られた式(4)はローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu=0\tag{5}\end{align*}
を課すとマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=0\tag{6}\end{align*}
と一致するため、得られた方程式(4)はローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式であることが分かる。
ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式は
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\\\rightarrow\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\\\rightarrow \partial_\mu\partial^\mu A^\nu&=0\tag{7}\end{align*}
となり、質量がゼロの粒子におけるクライン-ゴルドン方程式(以前のページを参照)と等価になる。このことは、スカラー場の量子化とゲージ場の量子化は似ていると予想される。ただし、ゲージ場はスカラー場と異なりゲージ固定条件を満たさなければならず、このことによって幾つかの相違点が後ほど現れてくる。
新たな正準共役運動量
このゲージ固定項を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)は
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2 \\&=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\\&=\frac{1}{2}A_\nu\partial_\mu\partial^\mu A^\nu\tag{8}\end{align}
\begin{align}\mathscr{L}&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2 \\&=-\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\\&=-\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu-\partial_\nu A_\mu\partial^\mu A^\nu+\partial_\nu A_\mu\partial^\nu A^\mu)-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2 \\&=-\frac{1}{2}(\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu)-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\\&=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\\&=-\frac{1}{2}(\partial_\mu (A_\nu\partial^\mu A^\nu)- A_\nu\partial_\mu\partial^\mu A^\nu)\\&=\frac{1}{2}A_\nu\partial_\mu\partial^\mu A^\nu\end{align}
4行目への変形では、次の関係
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu&=\partial_\mu( A^\mu \partial_\nu A^\nu)-A^\mu \partial_\mu\partial_\nu A^\nu\\&=\partial_\mu( A^\mu \partial_\nu A^\nu)-A^\mu \partial_\nu \partial_\mu A^\nu\\&=\partial_\mu( A^\mu \partial_\nu A^\nu)-\partial_\nu(A^\mu \partial_\mu A^\nu)+\partial_\nu A^\mu \partial_\mu A^\nu\\&=\partial_\mu( A^\mu \partial_\nu A^\nu)-\partial_\nu(A^\mu \partial_\mu A^\nu)+\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\end{align*}
を用いて全微分項を無視し、6行目への変形では部分積分を行ない、7行目への変形では全微分項を無視した。
と変形することができ、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)と異なり、このラグランジアン密度\(\mathscr L\)には\(A^0\)の時間の2階微分が含まれていることがわかる。つまり、このラグランジアン密度\(\mathscr L\)では\(A_0\)を自由度として捉えることができ、実際に正準共役運動量\(\pi^\nu\)を求めると、
\begin{align}\pi^\nu&=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}\\&=-\partial_0 A^\nu\tag{9}\end{align}
となって、空間成分\(\pi^i(i=1,2,3)\)だけでなく時間成分\(\pi^0\)も定義することができる。
以前のページで、マクスウェル方程式のゲージ場における自由度は2であることを確認した。
今回、ゲージ固定項を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)では\(A_0\)を自由度として捉えることができたため、自由度が1つ増えたと思うかもしれない。しかし、実際はローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式の自由度も2である。このことを確認してみる。
まず、ローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu=0\end{align*}
によって自由度が1つ減ることは明らかである。次に、ゲージ場が
\begin{align*}A^\mu\rightarrow A’^\mu=A^\mu+\partial^\mu\varLambda\end{align*}
と変換されたとき、次の条件
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu\varLambda=\Box \varLambda=0\end{align*}
を満たせば、ローレンツゲージ条件を維持できる。つまり、ローレンツゲージ条件をゲージ場に課してても、なお冗長な自由度が1つ残っている。このように、ゲージ固定しても残っている冗長な自由度を残余ゲージ自由度という。
以上より、ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式の自由度は、ゲージ場の成分の4から2を引いた2となる。
新たなハミルトニアン
場の理論におけるルジャンドル変換は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0A_\nu)\pi^\nu-\mathscr L)\tag{10}\end{align*}
であった(以前のページを参照)ため、ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)を代入すると
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(-\frac{1}{2}\partial_0A_\nu\partial^0A^\nu+\frac{1}{2}\partial_i A_\nu\partial^i A^\nu\right)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(-\frac{1}{2}\pi_\nu\pi^\nu+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol A)^2\right)\tag{11}\end{align*}
となり、ハミルトニアン\(H\)が得られる。
ここで、質量がゼロの粒子におけるクライン-ゴルドン方程式のハミルトニアン\(H\)(以前のページを参照)
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol \nabla\phi)^2\right)\tag{12}\end{align*}
と見比べてみよう。ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式は、質量がゼロの粒子におけるクライン-ゴルドン方程式と同じだったが、ゲージ場はゲージ固定条件を満たさなければないため、2つのハミルトニアン\(H\)は等価ではなく、第1項の符号が逆になっている。
ゲージ場の第2量子化
正準共役運動量\(\pi^\nu\)を定義できたため、ゲージ場の第2量子化を行なってみよう。場と正準共役運動量のポアソン括弧は
\begin{align}\left\{A_0(t,\boldsymbol x),\pi^0(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{13}\\\left\{A_1(t,\boldsymbol x),\pi^1(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{14}\\\left\{A_2(t,\boldsymbol x),\pi^2(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{15}\\\left\{A_3(t,\boldsymbol x),\pi^3(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{16}\end{align}
であった(以前のページを参照)ため、第1量子化と同様に次の正準交換関係
\begin{align}\left[\hat A_0(t,\boldsymbol x),\hat\pi^0(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{17}\\\left[\hat A_1(t,\boldsymbol x),\hat\pi^1(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{18}\\\left[\hat A_2(t,\boldsymbol x),\hat\pi^2(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{19}\\\left[\hat A_3(t,\boldsymbol x),\hat\pi^3(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{20}\end{align}
を満たす、場の演算子と正準共役運動量の演算子に置き換えることによって、場の量子論における正準量子化が行える(上記の正準交換関係以外はゼロとなる)。
新たな問題
無事に第2量子化に成功したかと思われるが、新たな問題が現れる。それは、式(7)で表されるラグランジアン密度\(\mathscr L\)を扱う上で忘れてはならないローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu=0\tag{5}\end{align*}
の量子化である。
ローレンツゲージ条件に現れるゲージ場\(A^\mu\)を演算子\(\hat A^\mu\)に変える量子化を行なうと
\begin{align*}\partial_\mu \hat A^\mu=0\tag{21}\end{align*}
となる。一方、ゲージ場\(\hat A_0\)と\(\partial_\mu \hat A^\mu\)との交換関係をとると
\begin{align*}\left\{\hat A_0(t,\boldsymbol x),\partial_\mu \hat A^\mu(t,\boldsymbol y)\right\}&=-i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{22}\end{align*}
\begin{align*}\left\{\hat A_0(t,\boldsymbol x),\partial_\mu \hat A^\mu(t,\boldsymbol y)\right\}&=\left\{\hat A_0(t,\boldsymbol x),\partial_0 \hat A^0(t,\boldsymbol y)\right\}+\left\{\hat A_0(t,\boldsymbol x),\partial_i \hat A^i(t,\boldsymbol y)\right\}\\&=-\left\{\hat A_0(t,\boldsymbol x),\hat \pi^0(t,\boldsymbol y)\right\}\\&=-i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align*}
1行目の変形では時間成分と空間成分\((i=1,2,3)\)に分け、2行目への変形では正準共役運動量の定義
\begin{align}\hat \pi^\nu&=-\partial_0 \hat A^\nu\end{align}
と次の正準交換関係がゼロとなること
\begin{align*}\left\{\hat A_0(t,\boldsymbol x),\partial_i \hat A^i(t,\boldsymbol y)\right\}=0\end{align*}
を用い、3行目への変形では正準交換関係の式(9)
\begin{align}\left\{\hat A_0(t,\boldsymbol x),\pi^0(t,\boldsymbol y)\right\}&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align}
を用いた。
となり、明らかに量子化されたローレンツゲージ条件の式(21)を満たさない。つまり、ローレンツゲージ条件はどうやら演算子に課すことはできないようだ。この問題は次のページで解決する。
次ページから…
次ページでは、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えることによって、ファインマンゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu \hat A^\mu\vert\varPsi\rangle=0\tag{9}\end{align*}
でゲージ固定されたマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\end{align*}
が導かれることを確認する。また、ゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から正準共役運動量が定義
\begin{align}\pi^\nu=-\partial_0 A^\nu\end{align}
でき、ゲージ場と正準共役運動量は第2量子化を行なえることを確認する。
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