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本ページでは、調和振動子における時間に依存しないシュレーディンガー方程式
\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{m\omega^2x^2}{2}\right)\psi_n=E\psi_n\end{align*}
を解き、エルミート多項式\(H_n(\alpha x)\)で表した波動関数\(\psi_n\)
\begin{align*}\psi_n=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!}}e^{-\frac{\alpha^2x^2}{2}}H_n(\alpha x)\end{align*}
とエネルギー準位\(E\)
\begin{align*}E=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\end{align*}
を求める(ただし、\(\alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\),\(n=0,1,2,3,\cdots\))。
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前ページでは、有限の深さの井戸型ポテンシャル
\begin{align*}V=V_1&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2},\frac{a}{2}\leqq x\\V=0&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\end{align*}
における散乱状態\(V_1\text{＜}E\)において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式から波動関数の形を求め、透過率と反射率を求めた。また、量子反射と共鳴散乱と呼ばれる現象が見られることを確認した。
内容
調和振動子
調和振動子とは、原点からの距離\(x\)に比例する力\(F=-kx\)を受けて運動する系のことを言う。\(k\)はばね定数である。
調和振動子におけるエネルギー\(E\)の固有関数\(\varPsi_n\)を求めてみる。もし、系の状態\(\varPsi\)を求めたいときは、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)の一次結合で表すことができる。
\begin{align*}\varPsi=\sum_{n}c_n\varPsi_n\tag{1}\end{align*}
ハミルトニアンは運動エネルギー\(T\)
\begin{align*}T=\frac{p_x^2}{2m}\tag{2}\end{align*}
とポテンシャルエネルギー\(V\)
\begin{align*}V&=\int_0^x dx\ kx\\&=\frac{1}{2}kx^2\\&=\frac{m\omega^2x^2}{2}\tag{3}\end{align*}
の和であるため、今回のハミルトニアンは
\begin{align*}H=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2}\tag{4}\end{align*}
であり、運動量\(p_x\)を運動量演算子\(-i\hbar\frac{d}{dx}\)に置き換えるとハミルトン演算子\(\hat H\)は
\begin{align*}\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{m\omega^2x^2}{2}\tag{5}\end{align*}
となる。
※※※式(3)の3行目への変形では、ばね定数\(k\)と角振動数\(\omega\)の関係
\begin{align*}k=m\omega^2\tag{6}\end{align*}
を用いた。※※※
今回のハミルトニアンは時間に依存しないため、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)は以前のページより
\begin{align*}\varPsi_n=\psi_ne^{-i(E/\hbar)t}\tag{7}\end{align*}
であり、波動関数\(\psi_n\)の形は時間に依存しないシュレーディンガー
\begin{align*}\hat H\psi_n=E\psi_n\tag{8}\end{align*}
を解けば求めることができる。式(8)の具体的な形は
\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{m\omega^2x^2}{2}\right)\psi_n=E\psi_n\tag{9}\end{align*}
であり、以後、解きやすいように
\begin{align*}\frac{d^2\psi_n}{dx^2}+\left(\frac{2mE}{\hbar^2}-\frac{m^2\omega^2x^2}{\hbar^2}\right)\psi_n=0\tag{10}\end{align*}
と変形しておく。さらに式を簡単にするため
\begin{align*}\xi&=\alpha x\tag{11}\\\alpha&=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\tag{12}\\\lambda&=\frac{2E}{\hbar\omega}\tag{13}\end{align*}
と置くと、式(10)は
\begin{align*}\frac{d^2\psi_n}{d\xi^2}+(\lambda-\xi^2)\psi_n=0\tag{14}\end{align*}
となる。
調和振動子の波動関数\(\psi_n\)
式(14)を見ると、波動関数\(\psi_n\)の形は単純な多項式ではないと予想できる。何故ならば、式(14)の第1項で多項式が2階微分されると最高次数が2つ下がってしまい、第2項だけでは第1項を打ち消すことはできないからである。
式(14)の解である波動関数\(\psi_n\)は次のように求める。初めに、\(\vert \xi\vert\rightarrow\infty\)の極限における解を求める。この極限では式(14)は
\begin{align*}\frac{d^2\psi_n}{d\xi^2}-\xi^2\psi_n=0\tag{15}\end{align*}
となり、解は
\begin{align*}\psi_n\propto e^{C\xi^2}\tag{16}\end{align*}
の形となるから、実際に式(16)を代入すると
\begin{align*}0&=\frac{d}{d\xi}\left(2C\xi e^{C\xi^2}\right)-\xi^2e^{C\xi^2}\\&=\left(2Ce^{C\xi^2}+4C^2\xi^2 e^{C\xi^2}\right)-\xi^2e^{C\xi^2}\\&\simeq 4C^2\xi^2 e^{C\xi^2}-\xi^2e^{C\xi^2}\ \ \ (\vert\xi\vert\rightarrow\infty)\\&\rightarrow C=\pm\frac{1}{2}\tag{17}\end{align*}
となる。\(C=\frac{1}{2}\)では\(\vert\xi\vert\rightarrow \infty\)で波動関数\(\psi_n\)は発散してしまうため、\(C=-\frac{1}{2}\)でなければならず、\(\vert\xi\vert\rightarrow \infty\)において波動関数は
\begin{align*}\psi_n\propto e^{-\frac{1}{2}\xi^2}\tag{18}\end{align*}
となる。
次に、\(\vert\xi\vert\rightarrow \infty\)の極限でないときの波動関数を求める。このときの波動関数を
\begin{align*}\psi_n\propto H_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}\tag{19}\end{align*}
と置いて、式(14)に代入すると
\begin{align*}0&=\frac{d}{d\xi}\left(H’_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}-\xi H_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}\right)+(\lambda-\xi^2)H_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}\\&=\left(H’_n{}'(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}-\xi H’_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}-H_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}-\xi H’_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}+\xi^2 H_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}\right)+(\lambda-\xi^2)H_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}\\&=\left(H’_n{}'(\xi)-2\xi H’_n(\xi)+(\lambda-1)H_n(\xi)\right)e^{-\frac{1}{2}\xi^2}\tag{20}\end{align*}
となる。つまり、次の微分方程式
\begin{align*}H’_n{}'(\xi)-2\xi H’_n(\xi)+(\lambda-1)H_n(\xi)=0\tag{21}\end{align*}
の解\(H(\xi)\)を求めれば、波動関数\(\psi_n\)の解の形が決まる。
次のエルミートの微分方程式(\(n\)がゼロまたは正の整数のときにしか次の微分方程式は解がない)
\begin{align*}H’_n{}'(\xi)-2\xi H’_n(\xi)+2nH_n(\xi)=0\tag{22}\end{align*}
の解はエルミート多項式
\begin{align*}H_n(\xi)=(-1)^ne^{\xi^2}\frac{d^2}{d\xi^2}e^{-\xi^2}\tag{23}\end{align*}
として知られ、具体的な形は
\begin{align*}H_0(\xi)&=1\\H_1(\xi)&=2\xi\\H_2(\xi)&=4\xi^2-2\\H_3(\xi)&=8\xi^3-12\xi\\H_4(\xi)&=16\xi^4-48\xi^2+12\\\vdots&\end{align*}
となる(次のページ参照)。そのため、式(21)において
\begin{align*}2n=\lambda-1\tag{24}\end{align*}
と置けば、式(21)の微分方程式の解はエルミート多項式となり、調和振動子の波動関数の式(19)に現れる\(H_n(\xi)\)はエルミート多項式となる。このとき、式(19)の規格化定数\(N\)は
\begin{align*}N=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!}}\tag{25}\end{align*}
であることが知られており(次のページ参照)、調和振動子の波動関数は
\begin{align*}\psi_n=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!}}e^{-\frac{\alpha^2x^2}{2}}H_n(\alpha x)\tag{26}\end{align*}
となる(ただし、\(n=0,1,2,3,\cdots\))。
エネルギー\(E\)に関しては、式(13)と式(24)から
\begin{align*}E=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\tag{27}\end{align*}
と求まる(ただし、\(n=0,1,2,3,\cdots\))。
エネルギー固有関数まとめ
調和振動子において、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)の形は
\begin{align*}\varPsi_n=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!}}e^{-\frac{\alpha^2x^2}{2}}H_n(\alpha x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}\tag{28}\end{align*}
であり、対応するエネルギー固有値\(E\)は
\begin{align*}E=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\tag{27}\end{align*}
である(ただし、\(n=0,1,2,3,\cdots\))。
式(28)を見ると、\(e^{-i\frac{E}{\hbar}t}\)は複素周期関数であるため、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)は振幅が\(\vert\psi_n\vert\)の定常波であることが分かる。また、原点から離れてもエネルギー固有関数はゼロにはならず、古典論では到達不可能な\(E-V\text{＜}0\)の範囲にも存在することが出来る。つまり、束縛状態のトンネル効果のように波動関数は染み出している。
エネルギー準位に関して、式(27)を見るとエネルギー固有値が不連続であり、最低エネルギー準位はゼロでなく零点エネルギーを持つことが分かる。また、エネルギー準位の間隔は一定であり、\(\hbar\omega\)である。
運動量固有関数
以前のページで述べたが、ある古典物理量の演算子\(\hat F’\)に対応する固有関数系\(\{\phi_j\}\)の1次結合によって、他の古典物理量の演算子\(\hat F’\)に対応するどのような固有関数\(\varPsi_i\)も表せる。
調和振動子の最低エネルギー準位のエネルギー固有関数\(\varPsi_0\)
\begin{align*}\varPsi_0&=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}}}e^{-\frac{\alpha^2x^2}{2}}e^{-i\frac{E}{\hbar}t}\\&\propto e^{-\frac{x^2}{2}}\tag{29}\end{align*}
を運動量演算子\(\hat p_x\)
\begin{align*}\hat p_x=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\tag{30}\end{align*}
に対応する固有関数系
\begin{align*}\phi_{p_x}&\propto e^{i\frac{p_x}{\hbar}x}\tag{31}\end{align*}
の1次結合で表してみると、エネルギー固有関数は
\begin{align*}\varPsi_0&\propto e^{-\frac{x^2}{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty da\ e^{-\frac{a^2}{2}}e^{-iax}\\&\propto\int_{-\infty}^\infty dp_x\ e^{-\frac{p_x^2}{2\hbar^2}}e^{-i\frac{p_x}{\hbar}x}\tag{32}\end{align*}
となり、あらゆる運動量\(p_x\)の固有関数の1次結合で表されることが分かる。つまり、調和振動子の運動量は完全に不定である。これは、振動していて運動量が常に変わる古典論と一致する。注意点として、固有関数の係数は\(e^{-\frac{p_x^2}{2\hbar^2}}\)であるため、運動量\(p_x\)が大きい固有関数ほど相対確率密度\(e^{-\frac{p_x^2}{\hbar^2}}\)が小さくなり観測されにくくなる。
※※※式(32)の2行目への変換では次のフーリエ変換の関係
\begin{align*}e^{-\frac{x^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty da\ e^{-\frac{a^2}{2}}e^{-iax}\tag{33}\end{align*}
を用いた。この関係は、
\begin{align*}e^{-\frac{a^2}{2}}&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}e^{-\frac{a^2}{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty dy’\ e^{-\frac{1}{2}y’^2} e^{-\frac{a^2}{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty dy\ e^{-\frac{1}{2}\left(y-ia\right)^2} e^{-\frac{a^2}{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty dy\ e^{-\frac{1}{2}y^2} e^{iay}\tag{34}\end{align*}
を代入すると、デルタ関数の関係式
\begin{align*}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty da\ e^{i(x-y)a}=\delta(x-y)\tag{35}\end{align*}
より
\begin{align*}e^{-\frac{x^2}{2}}=\int_{-\infty}^\infty dy\ e^{-\frac{y^2}{2}}\delta(x-y)\tag{36}\end{align*}
となって成り立つことが分かる。式(34)の2行目への変形ではガウス積分の関係式
\begin{align*}\int_{-\infty}^\infty dy’\ e^{-\frac{1}{2}y’^2}=\sqrt{2\pi}\tag{37}\end{align*}
を用い、4行目への変形では次の置き換えを行なった。
\begin{align*}y’=y-ia\tag{38}\end{align*}
最後に、式(32)の3行目への変形では次の置き換えを行なった。
\begin{align*}a=\frac{p_x}{\hbar}\tag{58}\end{align*}
※※※
今回は調和振動子の最低エネルギー準位のエネルギー固有関数\(\varPsi_0\)を見たが、他のエネルギー固有関数も同様に運動量は不定となる。
次ページから…
次ページでは、角運動量の\(z\)成分における固有値方程式を解き、固有関数と固有値を求める。
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