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本ページでは、角運動量の\(z\)成分における固有値方程式
\begin{align*}-i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}\psi_m=l_z\psi_m\end{align*}
を解き、固有関数\(\psi_n\)
\begin{align*}\psi_m&=f(r,\theta)\varPhi_m(\varphi)\\\varPhi_m(\varphi)&=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{im\varphi}\end{align*}
と固有値\(l_z\)
\begin{align*}l_z=m\hbar\ \ \ m=0,\pm1,\pm2,\cdot\end{align*}
を求める(ただし、\(\alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\),\(m=0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots\))。
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前ページでは、調和振動子における時間に依存しないシュレーディンガー方程式
\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{m\omega^2x^2}{2}\right)\psi_n=E\psi_n\end{align*}
を解き、エルミート多項式\(H_n(\alpha x)\)で表した波動関数\(\psi_n\)
\begin{align*}\psi_n=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!}}e^{-\frac{\alpha^2x^2}{2}}H_n(\alpha x)\end{align*}
とエネルギー準位\(E\)
\begin{align*}E=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\end{align*}
を求めた(ただし、\(\alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\),\(n=0,1,2,3,\cdots\))。
内容
角運動量演算子
初めに、角運動量を導く角運動量演算子を求めてみる。角運動量は直交座標における座標ベクトル\({\boldsymbol r}=(x,y,z)\)を用いて
\begin{align*}\boldsymbol l=\boldsymbol r×\boldsymbol p\tag{1}\end{align*}
と表されるため、角運動量演算子は
\begin{align*}\hat{\boldsymbol l}=\hat{\boldsymbol r}×\hat{\boldsymbol p}\tag{2}\end{align*}
となり、成分ごとに表すと
\begin{align*}\hat l_x&=y\hat p_z-z\hat p_y\\&=\frac{\hbar}{i}\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right)\tag{3}\\\hat l_y&=z\hat p_x-x\hat p_z\\&=\frac{\hbar}{i}\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right)\tag{4}\\\hat l_z&=x\hat p_y-y\hat p_x\\&=\frac{\hbar}{i}\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)\tag{5}\end{align*}
となる。
直交座標の微分演算子を極座標の微分演算子に変換するには
\begin{align*}\frac{\partial }{\partial x}&=\sin \theta\cos\varphi\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos \theta\cos\varphi}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}-\frac{\sin\varphi}{r\sin \theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}\tag{6}\\\frac{\partial }{\partial y}&=\sin \theta\sin\varphi\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos \theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+\frac{\cos\varphi}{r\sin \theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}\tag{7}\\\frac{\partial }{\partial z}&=\cos \theta\frac{\partial }{\partial r}-\frac{\sin \theta}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}\tag{8}\end{align*}
を代入すれば良いため、実際に代入すると
\begin{align*}\hat l_x&=i\hbar\left(\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)\tag{9}\\\hat l_y&=i\hbar\left(-\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)\tag{10}\\\hat l_z&=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}\tag{11}\end{align*}
となる。
\(z\)成分における固有値方程式
それぞれの成分の角運動量演算子の式(9)〜(11)を見ると、\(z\)成分のみ1つの変数から構成されており、\(x\)および\(y\)成分よりも解きやすいと予想できる。よって、角運動量演算子の\(z\)成分における固有値方程式を求める。もし、\(x\)または\(y\)成分の角運動量については、極座標の軸の取り方を変えれば\(z\)成分の計算結果をそのまま使える。
角運動量の\(z\)成分における固有値方程式は
\begin{align*}\hat l_z\psi_m=l_z\psi_m\tag{12}\end{align*}
であり、式(12)の具体的な形は
\begin{align*}-i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}\psi_m=l_z\psi_m\tag{13}\end{align*}
となり、以後、解きやすいように
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}\psi_m+l_z\psi_m=0\tag{14}\end{align*}
と変形しておく。
\(z\)成分における固有関数\(\psi_m\)
微分方程式の固有値方程式(14)はすぐに解くことができ、一般解は
\begin{align*}\psi_m=cf(r,\theta)e^{\alpha\varphi}\tag{15}\end{align*}
となる。一般解を式(14)に代入すると
\begin{align*}i\hbar \alpha cf(r,\theta)e^{\alpha\varphi}+l_zcf(r,\theta)e^{\alpha\varphi}&=0\\\rightarrow\alpha=\frac{il_z}{\hbar}&\tag{16}\end{align*}
となって、\(z\)成分における固有関数の形は
\begin{align*}\psi_m=cf(r,\theta)e^{il_z\varphi/\hbar}\tag{17}\end{align*}
となる。また、\(\varphi\)と\(\varphi+2\pi\)は空間上の同じ点に相当するため、式(15)より
\begin{align*}cf(r,\theta)e^{il_z\varphi/\hbar}&=cf(r,\theta)e^{il_z(\varphi+2\pi)/\hbar}\\\rightarrow e^{2\pi il_z/\hbar}\tag{18}\end{align*}
が成り立たなければならない。この式と次の関係
\begin{align*}e^{2\pi im}=1\ \ \ m=0,\pm1,\pm2,\cdot\tag{19}\end{align*}
を考えると、
\begin{align*}l_z=m\hbar\ \ \ m=0,\pm1,\pm2,\cdot\tag{20}\end{align*}
の関係を満たす必要があり、これが角運動量の\(z\)成分における固有値であり、固有関数は
\begin{align*}\psi_m=cf(r,\theta)e^{im\varphi}\tag{21}\end{align*}
となる。式(20)を見ると角運動量の\(z\)成分における固有値は不連続であり、ゼロの値もとれることが分かる。
定数\(c\)は規格化から求めることができる。初めに、固有関数\(\psi_m\)の\(\varphi\)に依存する部分と定数\(c\)を
\begin{align*}\varPhi_m(\varphi)=ce^{im\varphi}\tag{22}\end{align*}
と置くと、固有関数\(\psi_m\)は
\begin{align*}\psi_m=f(r,\theta)\varPhi_m(\varphi)\tag{23}\end{align*}
と表せる。｢波動関数\(\psi_m\)の絶対値2乗が確率密度を表す｣と仮定すると
\begin{align*}1&=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}drd\theta d\varphi\ \ \vert\psi_m\vert^2r^2\sin\theta\\&=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi}drd\theta \ \vert f(r,\theta)\vert^2r^2\sin\theta \int_{0}^{2\pi}d\varphi\ \ \vert\varPhi_m(\varphi)\vert^2\tag{24}\end{align*}
が成り立たなければならず、次の2式
\begin{align*}\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} drd\theta \ \vert f(r,\theta)\vert^2r^2\sin\theta&=1\tag{25}\\\int_{0}^{2\pi} d\varphi\ \ \vert\varPhi_m(\varphi)\vert^2&=1\tag{26}\end{align*}
が成立すれば、固有関数\(\psi_m\)は規格化される。式(26)を計算すると
\begin{align*}1&=\int_{0}^{2\pi} d\varphi\ \ \vert\varPhi_m(\varphi)\vert^2\\&=\vert c\vert^2\int_{0}^{2\pi} d\varphi\ \ 1\\&=2\pi \vert c\vert^2\\\rightarrow c&=e^{i\theta}\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\tag{26}\end{align*}
となり、位相因子\(e^{i\theta}\)は任意性があるため、位相を\(\theta=0\)とすると定数\(c\)は
\begin{align*}c=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\tag{19}\end{align*}
となり、
\begin{align*}\varPhi_m(\varphi)=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{im\varphi}\tag{22}\end{align*}
となる。
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次ページでは、角運動量の2乗における固有値方程式を解き、固有関数と固有値を求める。
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