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本ページでは、有限の深さの井戸型ポテンシャル
\begin{align*}V=V_1&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2},\frac{a}{2}\leqq x\\V=0&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\end{align*}
における散乱状態\(V_1\text{＜}E\)において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式から波動関数の形を求め、透過率と反射率を求める。また、量子反射と共鳴散乱と呼ばれる現象が見られることを確認する。
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前々ページでは、有限の深さの井戸型ポテンシャル
\begin{align*}V=V_1&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2},\frac{a}{2}\leqq x\\V=0&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\end{align*}
における時間に依存しないシュレーディンガー方程式
\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\right)\psi_n=E\psi_n\end{align*}
を導き、井戸の外で\(E\text{＜}V_1\)となる束縛状態と\(V_1\text{＜}E\)となる散乱状態が存在することを確認した。
内容
散乱状態
井戸の外において(\(0\text{＜}V_1\text{＜}E\))となる散乱状態の時、微分方程式(1)の一般解は
\begin{align*}\psi_n=C_1e^{ik’x}+ D_1e^{-ik’x}&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2}\tag{2}\\\psi_n=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\tag{3}\\\psi_n=C_2e^{ik’x}+D_2e^{-ik’x}&\ \ \ \ \frac{a}{2}\leqq x\tag{4}\end{align*}
となる。ここで、波数\(k\)と\(k’\)を
\begin{align*}k&=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{5}\\k’&=\frac{\sqrt{2m(E-V_1)}}{\hbar}\tag{6}\end{align*}
と置いた(以前のページで、一般解を\(\sin\)関数と\(\cos\)関数で表したが、オイラーの公式を用いて係数を複素数とすれば式(2),(3),(4)もそのように表せる)。
井戸の境界で波動関数は連続
\begin{align*}\lim_{x\rightarrow\pm a/2-0}\psi_{n}(x)&=\lim_{x\rightarrow\pm a/2+0}\psi_{n}(x)\tag{7}\end{align*}
でなければならないため、式(2)と(3)に\(x=-a/2\)を、式(3)と式(4)に\(x=+a/2\)を代入して等号で結ぶと
\begin{align*}C_1e^{-ik’a/2}+D_1e^{ik’a/2}&=Ae^{-ika/2}+Be^{ika/2}\tag{8}\\C_2e^{ik’a/2}+D_2e^{-ik’a/2}&=Ae^{ika/2}+Be^{-ika/2}\tag{9}\end{align*}
となる。
次に、井戸の境界で波動関数は微分可能
\begin{align*}\lim_{x\rightarrow\pm a/2-0}\psi_{n}'(x)&=\lim_{x\rightarrow\pm a/2+0}\psi_{n}'(x)\tag{10}\end{align*}
でなければならないため、式(2)と(3)を微分して\(x=-a/2\)を、式(3)と式(4)を微分して\(x=+a/2\)を代入して等号で結ぶと
\begin{align*}ik’C_1e^{-ik’a/2}-ik’D_1e^{ik’a/2}&=ikAe^{-ika/2}-ikBe^{ik’a/2}\tag{11}\\ik’C_2e^{ik’a/2}-ik’D_2e^{-ik’a/2}&=ikAe^{ik’a/2}-ikBe^{-ik’a/2}\tag{12}\end{align*}
となる。式(8)と式(11)、及び式(9)と式(12)を行列式で表すと
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}e^{-ik’a/2}&e^{ik’a/2}\\k’e^{-ik’a/2}&-k’e^{ik’a/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_1\\D_1\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}e^{-ika/2}&e^{ika/2}\\ke^{-ika/2}&-ke^{ika/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right)\tag{13}\\\left(\begin{array}{c}e^{ik’a/2}&e^{-ik’a/2}\\k’e^{ik’a/2}&-k’e^{-ik’a/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_2\\D_2\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}e^{ika/2}&e^{-ika/2}\\ke^{ika/2}&-ke^{-ika/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right)\tag{14}\end{align*}
となり、逆行列
\begin{align*}\frac{1}{2k’}\left(\begin{array}{c}k’e^{ik’a/2}&e^{ik’a/2}\\k’e^{-ik’a/2}&-e^{-ik’a/2}\end{array}\right)\tag{15}\\\frac{1}{2k}\left(\begin{array}{c}ke^{-ika/2}&e^{-ika/2}\\ke^{ika/2}&-e^{ika/2}\end{array}\right)\tag{16}\end{align*}
をそれぞれに掛けると
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}C_1\\D_1\end{array}\right)&=\frac{1}{2k’}\left(\begin{array}{c}(k+k’)e^{-i(k-k’)a/2}&-(k-k’)e^{i(k+k’)a/2}\\-(k-k’)e^{-i(k+k’)a/2}&(k+k’)e^{i(k-k’)a/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right)\tag{17}\\\left(\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right)&=\frac{1}{2k}\left(\begin{array}{c}(k+k’)e^{-i(k-k’)a/2}&(k-k’)e^{-i(k+k’)a/2}\\(k-k’)e^{i(k+k’)a/2}&(k+k’)e^{i(k-k’)a/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_2\\D_2\end{array}\right)\tag{18}\end{align*}
となる。そして、式(17)に式(18)を代入すると
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}C_1\\D_1\end{array}\right)&=\frac{1}{4kk’}\left(\begin{array}{c}(k+k’)^2e^{-i(k-k’)a}-(k-k’)^2e^{i(k+k’)a}&(k^2-k’^2)e^{-ika}-(k^2-k’^2)e^{ika}\\-(k^2-k’^2)e^{-ika}+(k^2-k’^2)e^{ika}&-(k-k’)^2e^{-i(k+k’)a}+(k+k’)^2e^{i(k-k’)a}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_2\\D_2\end{array}\right)\\&=\frac{(k+k’)^2}{4kk’}\left(\begin{array}{c}\alpha e^{-i(k-k’)a}&\gamma \sin {ka}\\-\gamma\sin{ka}&\beta e^{i(k-k’)a}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_2\\D_2\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_2\\D_2\end{array}\right)\tag{19}\end{align*}
が得られる。ここで、2行目では
\begin{align*}\alpha&=1-\left(\frac{k-k’}{k+k’}\right)^2e^{2ika}\tag{20}\\\beta&=1-\left(\frac{k-k’}{k+k’}\right)^2e^{-2ika}\tag{21}\\\gamma&=2i\frac{k-k’}{k+k’}\tag{22}\end{align*}
と置いてあり、3行目では
\begin{align*}M_{11}&=\frac{(k+k’)^2}{4kk’}\alpha e^{-i(k-k’)a}\tag{23}\\M_{12}&=\frac{(k+k’)^2}{4kk’}\gamma \sin {ka}\tag{24}\\M_{21}&=-\frac{(k+k’)^2}{4kk’}\gamma \sin {ka}\tag{25}\\M_{22}&=\frac{(k+k’)^2}{4kk’}\beta e^{i(k-k’)a}\tag{26}\end{align*}
と置いた。
エネルギー固有関数
有限の深さの井戸型ポテンシャルにおける散乱状態において、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)の形は、
\begin{align*}\psi_n=C_1e^{i\left\{k’x-(E/\hbar)t\right\}}+ D_1e^{i\left\{-k’x-(E/\hbar)t\right\}}&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2}\tag{27}\\\psi_n=Ae^{i\left\{kx-(E/\hbar)t\right\}}+Be^{i\left\{-kx-(E/\hbar)t\right\}}&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\tag{28}\\\psi_n=C_2e^{i\left\{k’x-(E/\hbar)t\right\}}+ D_2e^{i\left\{-k’x-(E/\hbar)t\right\}}&\ \ \ \ \frac{a}{2}\leqq x\tag{29}\end{align*}
となって、正方向に進む複素平面波の第1項と負方向に進む複素平面波の第2項の1次結合で表されることが分かる。また、井戸型ポテンシャルのときは第1項または第2項だけでは境界条件を満たせなかったが、今回の散乱状態においては第1項または第2項だけでも必ずではないが境界条件の式(7)と(10)を満たせる場合がありエネルギー固有関数になれるため、正方向または負方向に進む複素平面波どちらも同じエネルギー固有値を持つ縮重状態である。以前のページで話したように、縮重状態の一次結合で無数の固有関数を作ることができるため、以後、計算をシンプルにするため、\(C_1=1\)および\(D_2=0\)と置いた場合を考えてみる。
\begin{align*}\psi_n=e^{i\left\{k’x-(E/\hbar)t\right\}}+ D_1e^{i\left\{-k’x-(E/\hbar)t\right\}}&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2}\tag{30}\\\psi_n=Ae^{i\left\{kx-(E/\hbar)t\right\}}+Be^{i\left\{-kx-(E/\hbar)t\right\}}&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\tag{31}\\\psi_n=C_2e^{i\left\{k’x-(E/\hbar)t\right\}}&\ \ \ \ \frac{a}{2}\leqq x\tag{32}\end{align*}
運動量固有関数
以前のページで述べたが、ある古典物理量の演算子\(\hat F’\)に対応する固有関数系\(\{\phi_j\}\)の1次結合によって、他の古典物理量の演算子\(\hat F\)に対応するどのような固有関数\(\varPsi_i\)も表せる。
運動量演算子\(\hat p_x\)
\begin{align*}\hat p_x=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\tag{33}\end{align*}
に対応する固有関数系は
\begin{align*}\phi_{p_x}&\propto e^{i(p_x/\hbar)x}\\&=e^{ik_xx}\\&=e^{i kx},\ e^{- i kx}\tag{34}\\\phi_{p’_x}&\propto e^{i(p’_x/\hbar)x}\\&=e^{ik’_xx}\\&=e^{i k’x},\ e^{- i k’x}\tag{35}\end{align*}
であるため、範囲\(x\leqq-\frac{a}{2}\)および\(-\frac{a}{2}\text{＜}x\text{ ＜}\frac{a}{2}\)ではエネルギー固有状態と運動量固有状態は一致しておらず、エネルギー固有状態は2つの逆向きの運動量固有状態の1次結合で表され、自由粒子の運動量の大きさ\(\vert p_x\vert\)は確定するが、どちらの方向に移動しているかは決まらない。一方、範囲\(\frac{a}{2}\leqq x\)ではエネルギー固有状態と運動量固有状態は一致しており、粒子の運動量の大きさも方向も決まる。
反射率と透過率
\(D_2=0\)の場合の波動関数は、\(x\leqq -\frac{a}{2}\)の範囲では\(x\)軸を正に進む平面波\(C_1e^{ik’x}\)と負に進む平面波(D_1e^{-ik’x})の1次結合からなり、\(\frac{a}{2}\leqq x\)の範囲ではx軸を正に進む平面波\(C_2e^{ik’x}\)からなる。
実際に、式(19)に\(C_1=1\)と\(D_1=0\)を代入すると
\begin{align*}1&=M_{11}C_2\tag{36}\\D_1&=M_{21}C_2\tag{37}\end{align*}
となり、\(C_2\)と\(D_1\)について解くと
\begin{align*}C_2&=\frac{1}{M_{11}}\\&=\frac{4kk’}{(k+k’)^2\alpha e^{-i(k-k’)a}}\\&=\frac{4kk’}{(k+k’)^2e^{-i(k-k’)a}-(k-k’)^2e^{i(k+k’)a}}\tag{38}\\D_1&=\frac{M_{21}}{M_{11}}\\&=\frac{-\gamma\sin ka}{\alpha e^{-i(k-k’)a}}\\&=\frac{-2i(k-k’)(k+k’)\sin ka}{(k+k’)^2e^{-i(k-k’)a}-(k-k’)^2e^{i(k+k’)a}}\\&=\frac{(k^2-k’^2)(e^{-ika}-e^{ika})}{(k+k’)^2e^{-i(k-k’)a}-(k-k’)^2e^{i(k+k’)a}}\tag{39}\end{align*}
となる。また、式(18)に\(D_1=0\)と\(C_2\)を代入すると
\begin{align*}A&=\frac{(k+k’)e^{-i(k-k’)a/2}}{2k}C_2\tag{40}\\B&=\frac{(k-k’)e^{i(k+k’)a/2}}{2k}C_2\tag{41}\end{align*}
となる。
\(\vert D_1\vert^2\)は負に進む平面波\(D_1e^{-ik’x}\)の確率密度であり、正に進む平面波\(C_1e^{-ik’x}\)が\(x=-\frac{a}{2}\)のポテンシャルの境で反射して負に進む平面波\(D_1e^{-ik’x}\)になったと考えると、正に進む平面波の相対確率密度は\(1\)であるため\(\vert D_1\vert^2\)は反射率に相当する。実際に計算すると
\begin{align*}\vert D_1\vert^2&=\frac{(k^2-k’^2)^2(2-(e^{-2ika}+e^{2ika}))}{(k+k’)^4+(k-k’)^4-(k+k’)^2(k-k’)^2e^{-2ika}-(k+k’)^2(k-k’)^2e^{2ika}}\\&=\frac{(k^2-k’^2)^2(2-(e^{-2ika}+e^{2ika}))}{2(k^4+6k^2k’^2+k’^4)-(k^2-k’^2)^2(e^{-2ika}+e^{2ika})}\tag{42}\end{align*}
となる。
一方、\(\vert C_2\vert^2\)は正に進む平面波\(C_2e^{ik’x}\)の相対確率密度であり、正に進む平面波\(C_1e^{ik’x}\)が\(x=-\frac{a}{2}\)と\(x=\frac{a}{2}\)のポテンシャルの境を透過したと考えると、正に進む平面波の相対確率密度は\(1\)であるため\(\vert C_2\vert^2\)は透過率に相当する。実際に計算すると
\begin{align*}\vert C_2\vert^2&=\frac{16k^2k’^2}{(k+k’)^4+(k-k’)^4-(k+k’)^2(k-k’)^2e^{-2ika}-(k+k’)^2(k-k’)^2e^{2ika}}\\&=\frac{16k^2k’^2}{2(k^4+6k^2k’^2+k’^4)-(k^2-k’^2)^2(e^{-2ika}+e^{2ika})}\tag{43}\end{align*}
となる。
透過率と反射率を足し合わせると\(1\)になることから、平面波は必ずポテンシャルの境を透過するか、壁で反射するかの2通りしかなく、急に消えたりしない。
ここで、正に進む平面波\(C_1e^{ik’x}\)が\(x=-\frac{a}{2}\)のポテンシャルの境を超えると正に進む平面波\(Ae^{ik’x}\)になるため透過率は\(\vert A\vert^2\)ではないか?と思うかもしれない。しかし、正に進む平面波\(Ae^{ik’x}\)の一部は\(x=\frac{a}{2}\)のポテンシャルの境で反射して\(x=-\frac{a}{2}\)のポテンシャルの境を透過する。そのため、透過率としては\(\vert C_2\vert^2\)、反射率としては\(\vert D_1\vert^2\)が正しい。
この節の初めに、\(D_2=0\)と置いた。もし、\(D_2\neq0\)だとすると、正に進む平面波\(C_1e^{ik’x}\)の反射率と透過率を考えた際に、負に進む平面波\(D_2e^{ik’x}\)の反射波と透過波が\(\vert C_2\vert^2\)と\(\vert D_1\vert^2\)に含まれて、計算は複雑になる。
量子反射と共鳴散乱
古典的には、\(V_1\text{＜}E\)の\(x=-\frac{a}{2}\)および\(x=\frac{a}{2})のポテンシャルの境を粒子は完全に透過できるが、透過率の式(43)が常に\(1\)にならないことから量子力学では完全に透過できないことが分かる。この現象を量子反射とよぶ。
透過率の式(43)において、\(kk’=0\)のとき、すなわち\(V_1=E\)のとき透過率はゼロとなり、平面波はポテンシャルの境で透過せず完全に反射する。
反射率の式(42)において、\(k^2-k’^2=0\)または\(2-(e^{-2ika}+e^{2ika})=0\)のとき、すなわち\(V_1=0\)または\(ka=n\pi\)のとき反射率はゼロとなり、平面波はポテンシャルの境で反射せず完全に透過する。この状態を共鳴散乱という。
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次ページでは、調和振動子における時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解き、エルミート多項式で表した波動関数とエネルギー準位を求める。
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