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本ページでは、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が時間\(t\)と場\(\phi\)、そして、場の時空微分\(\partial_\mu\phi\)から成り立つと仮定し、ラグランジアン密度の時空積分である作用積分\(S\)に作用原理を施すことによってラグランジュの運動方程式
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}=0\end{align}
を求める。
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前ページでは、ラグランジアン\(L(q,\dot{q},t)\)に\(q\)と\(t\)からなる関数\(W(q,t)\)の時間微分を足した等価ラグランジアン\(L’\)
\begin{align}L'(q,\dot{q},t)&=L(q,\dot{q},t)+\frac{\text{d} W}{\text{d} t}\end{align}
もラグランジアン\(L\)と同じ運動方程式を導くことを確かめた。
内容
ラグランジアン密度
ある粒子の運動方程式から導かれるすべての式は時間\(t\)の関数で表せるため、前々ページでは、ある粒子の運動において時間\(t\)に対してラグランジアン\(L\)というラベルを付けて、全時間でのラグランジアン\(L\)を足した値として作用積分 \(S\)
\begin{align}S=\int_{-\infty}^{\infty} dt\ L\tag{1}\end{align}
を定義した。
では、場の理論ではどうだろうか。粒子の運動と異なり、場は全空間に広がっていて時間が変わると全空間での場の値は変化するため、あるラベル\(\mathscr L\)を付けて作用積分\(S\)を求める時には全時間だけでなく全空間でも足し合わせる必要がある。
\begin{align}S&=\int_{-\infty}^{\infty}{d}x^0\int_{-\infty}^{\infty}dx^1\int_{-\infty}^{\infty}{d}x^2\int_{-\infty}^{\infty}{d}x^3\ \mathscr{L}\\&=\int{d}x^4\ \mathscr{L}\tag{2}\end{align}
ここで、\(x^0=t,x^1=x,x^2=y,x^3=z\)である。式(1)および式(2)より、
\begin{align}L&=\int_{-\infty}^{\infty}\ dx^1\int_{-\infty}^{\infty}{d}x^2\int\text{d}x^3\ \mathscr{L}\\&=\int{d}^3\boldsymbol{x}\ \mathscr{L}\tag{3}\end{align}
であることがわかり、ラグランジアン\(L\)の次元はラベル\(\mathscr L\)の次元に空間体積の次元を掛けたものであるため、ラベル\(\mathscr L\)をラグランジアン密度と呼ぶ。
ラグランジアン\(L\)は一般化座標\(q_{\scriptsize i}(t)\)と一般化座標の時間微分である一般化速度\(\dot{q_{\scriptsize i}}(t)\)、そして、時間\(t\)の関数であったが、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)は場\(\phi(x)\)と場の時空微分\(\partial_\mu\phi(x)\)、そして、時間\(t\)の関数となる。ここで、微分ベクトル\(\partial_{\mu}\)は反変ベクトルであり、
\begin{align}\partial_{\mu}&=\frac{\partial}{\partial x^\mu}\\&=\left(\frac{\partial}{\partial x^0},\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3}\right)\\&=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\end{align}
であることに注意する(以前のページを参照)。
作用原理(場の理論)
作用積分の境界条件としては、時空の無限遠方\(x^\mu=\pm\infty\)であらゆる方程式A、B、…の場\(\phi(x)\)の値は同じとし、さらに、場\(\phi(x)\)が規格化できるようにその無限遠方での値は\(0\)とならなければならない。式で表すと
\begin{align}\phi(x)^A{}|_{\scriptsize {x^\mu\rightarrow\pm\infty}}=\phi(x)^B{}|_{\scriptsize {x^\mu\rightarrow\pm\infty}}=\cdots=0\end{align}
であり、ある方程式の場と別の方程式の場の差を用いると次の2式が成り立たなければならない。
\begin{align}\delta \phi(x)|_{\scriptsize {x^\mu\rightarrow\pm\infty}}&=0\tag{4}\\\phi(x)|_{\scriptsize {x^\mu\rightarrow\pm\infty}}&=0\tag{5}\end{align}
作用原理(最小作用の原理)より、現実の方程式は、方程式の形を微小変化させた時に、作用積分\(S\)が次のように極値をとる。
\begin{align}\delta S=0\tag{6}\end{align}
式(6)を計算すると
\begin{align}\delta S&=S[\phi+\delta \phi,\partial_\mu\phi+\partial_\mu\delta\phi]-S[\phi,\partial_\mu\phi]\\&=\int {d}^4x\ \mathscr{L}(\phi+\delta \phi,\partial_\mu\phi+\partial_\mu\delta\phi,t)-\int {d}^4x\ \mathscr{L}(\phi,\partial_\mu\phi,t)\\&=0\tag{7}\end{align}
が成り立つ。ここで注意だが、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)は「変数である場\(\phi\)と一般化速度\(\partial_\mu\phi\)、時間\(t\)の値」によって値が変わる関数であったが、作用積分\(S\)は「関数としての場\(\phi\)と場の時空微分\(\partial_\mu\phi\)の形」によって値が変わる汎関数である。汎関数である作用積分\(S\)はラグランジアン\(L\)を時空積分したものであり、作用積分\(S\)は時空座標\(x^\mu\)に依存せず、関数である場\(\phi\)と場の時空微分\(\partial^\mu\phi\)の汎関数である。
ラグランジュの運動方程式
次の式
\begin{align}\mathscr{L}(\phi+\delta \phi,\partial_\mu\phi+\partial_\mu\delta\phi,t)=\mathscr{L}(\phi,\partial_\mu\phi,t)+\left\{\delta \phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}+\partial_\mu\delta\phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right\}\tag{8}\end{align}
を式(7)に代入すると
\begin{align}\delta S=\int{d}^4x\ \left\{\delta \phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}+\partial_\mu\delta\phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right\}=0\tag{9}\end{align}
となり、積の微分公式を用いた次式
\begin{align}\partial_\mu\delta\phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}&=\partial_\mu\left(\delta \phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\delta \phi\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)\tag{10}\end{align}
を式(9)に用いると次のようになる。
\begin{align}\delta S&=\int{d}^4x\ \left\{\delta\phi\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)\right]+\partial_\mu\left(\delta \phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)\right\}\\&=\int{d}^4x\ \delta\phi\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)\right]+\int{d}^4x\partial_\mu\left(\delta \phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)\\&=\int{d}^4x\ \delta\phi\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)\right]+\int{d}\sigma_\mu\left(\delta \phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)\\&=\int{d}^4x\ \delta\phi\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)\right]\\&=0\tag{11}\end{align}
※※※3行目への変形ではガウスの発散定理
\begin{align}\int{d}^4x\ \partial_\mu X^\mu=\int_{\partial V} {d}\sigma_\mu X^\mu\tag{12}\end{align}
を用いて4次元体積\(V\)積分を時空の無限遠方の\(\partial V\)上での表面積分に置き換え、4行目への変形では境界条件の式(4)を用いて第2項をゼロとした。※※※
\(\delta q_i\)は任意の変分であるため、常に成り立つには
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}=0\tag{12}\end{align}
である必要がある。この方程式が場の理論におけるラグランジュの運動方程式(オイラー-ラグランジュ方程式)である。この運動方程式を導出する際に、座標系によらないスカラーである作用積分\(S\)から作用原理で導出したため、この運動方程式はどんな座標でも成り立つ。
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