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本ページでは、反変ベクトルを共変ベクトルに、共変ベクトルを反変ベクトルに変換する計量テンソルについて調べる。
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前ページでは、ローレンツ変換の下では反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれる異なる変換性を持つ2つのベクトル
\begin{align*}A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\B’_\mu&= B_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\end{align*}
が存在することをみた。また、反変ベクトルと共変ベクトルの積はローレンツ変換の下で不変となることをみた。
内容
計量テンソル
はじめに、次の二つの4次元時空座標系を用意する。
\begin{align}x_{\mu}&=(x_0,x_1,x_2,x_3)\\&=(ct,-x,-y,-z)\tag{1}\\x^{\mu}&=(x^0,x^1,x^2,x^3)\\&=(ct,x,y,z)\tag{2}\end{align}
これらの座標系では微小変位は
\begin{align}dx_{\mu}&=(dx_0,dx_1,dx_2,dx_3)\\&=(cdt,-dx,-dy,-dz)\tag{3}\\dx^{\mu}&=(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3)\\&=(cdt,dx,dy,dz)\tag{4}\end{align}
と書くことができ、これらの記号を使うと、特殊相対性理論の要請の式
\begin{align*}ds^2=c^2dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)\tag{5}\end{align*}
を
\begin{align*}ds^2&=c^2dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)\\&=dx_0dx^0+dx_1dx^1+dx_2dx^2+dx_3dx^3\\&=dx_\mu dx^\mu\tag{6}\end{align*}
と表すことができ、アインシュタインの縮約記法を用いないと
\begin{align*}ds^2&=\sum_{\mu=0}^{3}dx_\mu dx^\mu\tag{7}\end{align*}
となる。
ここで、次の関係
\begin{align*}\eta_{\mu\nu}=\eta_{\nu\mu}=\left\{\begin{array}{c}+1\ \ \ (\mu=\nu=0)\ \ \ \ \ \ \ \\-1\ \ \ (\mu=\nu=1,2,3)\\0\ \ \ (\mu\neq\nu)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}\right.\tag{8}\end{align*}
を満たす計量テンソル\(\eta_{\mu\nu}\)を導入する。計量テンソルの行列表現は
\begin{align*}\boldsymbol \eta=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)\tag{9}\end{align*}
である。この計量テンソル\(\eta_{\mu\nu}\)を用いると特殊相対性理論の要請の式(5)は
\begin{align*}ds^2&=c^2dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)\\&=\eta_{00}dx^0dx^0+\eta_{11}dx^1dx^1+\eta_{22}dx^2dx^2+\eta_{33}dx^3dx^3\\&=\sum_{\mu,\nu=0}^{3}\eta_{\mu\nu}dx^\nu dx^\mu\tag{10}\end{align*}
と書くことができ、アインシュタインの縮約記法を用いると
\begin{align*}ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\nu dx^\mu\tag{11}\end{align*}
と書ける。
反変ベクトルから共変ベクトルへの変換
式(6)と式(11)比較すると、次の関係
\begin{align*}dx_\mu=\eta_{\mu\nu}dx^\nu\tag{12}\end{align*}
が成り立ち、アインシュタインの縮約記法を用いないと
\begin{align*}dx_\mu=\sum_{\nu=0}^{3}\eta_{\mu\nu}dx^\nu\tag{13}\end{align*}
となり、行列で表すと
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{array}\right)\tag{14}\end{align*}
となる。これらの関係式より反変ベクトルの\(dx^\nu\)に計量テンソル\(\eta_{\mu\nu}\)を作用させると共変ベクトル\(dx_\mu\)になることが分かる。
この関係はどのような反変ベクトル\(A^\nu\)でも成り立ち、一般化すると
\begin{align*}A_{\mu}=\eta_{\mu\nu}A^\nu\tag{15}\end{align*}
となる。
共変ベクトルから反変ベクトルへの変換
計量テンソル\(\eta_{\mu\nu}\)を成分に持つ行列\(\boldsymbol \eta\)
\begin{align*}\boldsymbol \eta=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)\tag{16}\end{align*}
の逆行列\(\boldsymbol \eta^{-1}\)は行列\(\boldsymbol \eta\)と等しく、
\begin{align*}\boldsymbol \eta^{-1}=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)\tag{17}\end{align*}
であり、行列\(\boldsymbol\eta^{-1}\)の\(\rho\)行\(\mu\)列の成分\(\eta^{\rho\mu}\)は
\begin{align*}\eta^{\rho\mu}=\eta^{\mu\rho}=\left\{\begin{array}{c}+1\ \ \ (\rho=\mu=0)\ \ \ \ \ \ \ \\-1\ \ \ (\rho=\mu=1,2,3)\\0\ \ \ (\rho\neq\mu)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}\right.\tag{18}\end{align*}
の関係を満たし、これも計量テンソルである。
行列\(\boldsymbol \eta^{-1}\)と行列\(\boldsymbol\eta\)の積は単位行列\(\boldsymbol I\)
\begin{align*}\boldsymbol I&=\boldsymbol\eta^{-1}\boldsymbol\eta\\\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)&\tag{19}\end{align*}
であり、成分はクロネッカーのデルタ\(\delta^\rho{}_\nu\)を用いて
\begin{align*}\delta^\rho{}_\nu=\eta^{\rho\mu}\eta_{\mu\nu}\tag{20}\end{align*}
の関係を満たす。この関係をアインシュタインの縮約記法を用いないで表すと
\begin{align*}\delta^\rho{}_\nu=\sum_{\mu=0}^3\eta^{\rho\mu}\eta_{\mu\nu}\tag{21}\end{align*}
となる。
ここで、式(12)の両辺に\(\eta^{\rho\mu}\)を掛けて、式(20)を用いると
\begin{align*}\eta^{\rho\mu}dx_\mu&=\eta^{\rho\mu}\eta_{\mu\nu}dx^\nu\\&=\delta^\rho{}_\nu dx^\nu\\&=dx^\rho\\\rightarrow dx^\mu&=\eta^{\mu\nu}dx_\nu\tag{22}\end{align*}
が成り立ち、アインシュタインの縮約記法を用いないと
\begin{align*}dx^\mu=\sum_{\nu=0}^{3}\eta^{\mu\nu}dx_\nu\tag{23}\end{align*}
となり、行列で表すと
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\tag{24}\end{align*}
となる。これらの関係式より共変ベクトルの\(dx_\nu\)に計量テンソル\(\eta^{\mu\nu}\)を作用させると反変ベクトル\(dx^\mu\)になることが分かる。
この関係はどのような共変ベクトル\(B_\nu\)でも成り立ち、一般化すると
\begin{align*}B^{\mu}=\eta^{\mu\nu}A_\nu\tag{25}\end{align*}
となる。
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次ページでは、テンソルとは2つ以上の添え字を持つ量であることをみる。
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