位相空間での経路積分(多自由度)

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本ページでは、ファインマン核に含まれる各々の遷移確率振幅を計算し、位相空間での経路積分表示(多自由度)を求める。

ここで、多自由度とは例えば\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸…など複数の座標を持つ空間を上を粒子が行ったり来たりするイメージである。

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前ページでは、多自由度における2点間の遷移確率振幅であるファインマン核\(K(q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)の定義に、完全系を挿入することによって、複数点を経たときの遷移確率振幅として表せることを確認した。

\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,N-1}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,N-1}}\ \vert q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,N-2}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,N-2}}\ \vert q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\vert\right) \\&\ \ \ \cdots\left(\int dq_{\scriptsize{1,n}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,n}}\ \vert q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert\right)\cdots \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,2}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,2}}\ \vert q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,1}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,1}}\ \vert q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right) \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{1} \end{align*}

このとき、粒子は次のような経路を経る。

\begin{align} &(q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}},t_{\scriptsize{0}}=t_{\scriptsize{\text{I}}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}},t_{\scriptsize{1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}},t_{\scriptsize{2}})\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},t_{\scriptsize{n}})\\&\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}},t_{\scriptsize{N-2}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}},t_{\scriptsize{N-1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,F}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}},t_{\scriptsize{N}}=t_{\scriptsize{\text{F}}}) \tag{2}\end{align}

式((1))全体として、始状態\((q_{\scriptsize{1,\text I}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)と終状態\((q_{\scriptsize{1,\text F}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text F}},t_{\scriptsize{\text F}})\)は固定されているが、中間状態\((q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},t_{\scriptsize{n}})\)は積分\(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\)が施されているため、中間状態に関して全ての可能な経路の和が取られていることを意味する。

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位相空間とは

位相空間とは位置\(q\)と運動量\(p\)の2組の独立変数\((q,p)\)からなる空間であり、この空間において関数は位置\(q\)と運動量\(p\)で表される。

遷移確率振幅の計算

ファインマン核の位相空間での経路積分表示(1自由度)を求める準備として、初めに、式\((1)\)に含まれる各々の遷移確率振幅\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)を次のように計算していく。

※※※1番目の等号ではシュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像との関係式(以前のページを参照)

\begin{align*}\vert q_{\scriptsize{1,n}}, \cdots,q_{\scriptsize{N_F,}},t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text H}}=e^{+\frac{i}{\hbar}t\hat{H} (\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert q_{\scriptsize{1,n}}, \cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{4}\end{align*}

とブラとケットの関係式(以前のページを参照)

\begin{align*}\langle a\vert=\vert a \rangle^\dagger\tag{5}\end{align*}

の関係を用い、3番目の等号では、

\begin{align*}\varDelta t\equiv t_{\scriptsize{n}}-t_{\scriptsize{n-1}}\tag{6}\end{align*}

と定義した。※※※

式(\(3\))の指数部分\(e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\)は、\(\varDelta t\)が十分小さいとき、次のように展開＆近似することができ、

\begin{align*} e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})} \simeq1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})\tag{7}\end{align*}

この式を、式(\(3\))に代入して式変形を行なうと次のようになる。

\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots q_{\scriptsize{N_F,n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}} \vert e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&\simeq \sideset{_{\scriptsize{\text{S}}}}{}{\!\bigg\langle}q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}} \bigg\vert 1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})\bigg\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}\bigg\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&=\sideset{_{\scriptsize{\text{S}}}}{}{\!\bigg\langle}q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}\bigg\vert \left(1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})\right)\left(\int dp_{\scriptsize{1,n}}\cdots dp_{\scriptsize{N_F,n}}\vert p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}}\rangle_{{\scriptsize{\text{S}}}}{_{{\scriptsize{\text{S}}}}}\langle p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}}\vert\right)\bigg\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}\bigg\rangle_\text{S} \\&=\int dp_{\scriptsize{1,n}}\cdots dp_{\scriptsize{N_F,n}}\ \left(1-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(q_ {\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\right){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}\vert p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{{\scriptsize{\text{S}}}}\langle p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}} \vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&\simeq\int dp_{\scriptsize{1,n}}\cdots dp_{\scriptsize{N_F,n}}\ e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})}\left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{\frac{N_{\scriptsize{F}}}{2}}\exp\left(\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}p_{\scriptsize{i,n}}q_{\scriptsize{i,n}}\right)\left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{\frac{N_{\scriptsize{F}}}{2}}\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}p_{\scriptsize{i,n}}q_{\scriptsize{i,n-1}}\right) \\&=\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\int \frac{dp_{\scriptsize{i,n}}}{2\pi\hbar}\right)\exp \left[\frac{i}{\hbar}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}p_{\scriptsize{i,n}}\left(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)-H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\right\}\right] \tag{8}\end{align*}

※※※3番目の等号では完全系

\begin{align}\int dp_{\scriptsize{1,n}}\cdots dp_{\scriptsize{N_F,n}}\vert p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}}\rangle_{{\scriptsize{\text{S}}}}{_{{\scriptsize{\text{S}}}}}\langle p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}}\vert =\boldsymbol I\tag{9}\end{align}

を挿入し、4番目の等号では

\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}\vert \hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})=H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}}){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}\vert\tag{10} \end{align*}

を用い、5番目の等号では

\begin{align} 1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\simeq e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})} \tag{11}\end{align}

と座標の固有状態と運動量の固有状態の内積(以前のページを参照)

\begin{align} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}\vert p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{\frac{N_{\scriptsize{F}}}{2}}\exp\left(\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}p_{\scriptsize{i,n}}q_{\scriptsize{i,n}}\right)\tag{12}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{\frac{N_{\scriptsize{F}}}{2}}\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}p_{\scriptsize{i,n}}q_{\scriptsize{i,n-1}}\right)\tag{13}
\end{align}

を用いた。ここで、

\begin{align*}H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})=H(q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{i,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},p_{\scriptsize{1,n}},\cdots,p_{\scriptsize{i,n}},\cdots,p_{\scriptsize{N_F,n}})\tag{14}\end{align*}

であり、\(H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})=\sum_{i=1}^{N_F}H(q_{\scriptsize{i,n}},p_{\scriptsize{i,n}})\)と表記していないところに注意する。これはハミルトニアンの運動エネルギー項\(\sum_{i=1}^{N_F}\frac{p_{i,n}{}^2}{2m_i}\)は総和\(\sum\)で表せるが、ポテンシャルエネルギー項\(V(q_{n})=V(q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{i,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}})\)は総和\(\sum\)で表せないからである。※※※

位相空間での経路積分表示

次に、式(\(8\))で求めた各々の遷移確率振幅\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots q_{\scriptsize{N_F,n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)を式\((1)\)のファインマン核に代入して、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとると次のように変形できる。

\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right) \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right)\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp_{\scriptsize{i,n}}}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{\sum_{i=1}^{N_{\scriptsize{F}}}p_{\scriptsize{i,n}}\left(\frac{q_{\scriptsize{i,n}}-q_{\scriptsize{i,n-1}}}{\varDelta t}\right)-H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\right\}\right] \tag{15}\end{align*}

これが位相空間での経路積分表示(多自由度)であり、位相空間のため位置\(q_{\scriptsize {i,n}}\)と運動量\(p_{\scriptsize {i,n}}\)で表されている(例えば、遷移確率振幅であるファインマン核に具体的な数値を代入すると、式(\(15\))は位置\(q_{\scriptsize {i,n}}\)と運動量\(p_{\scriptsize {i,n}}\)で表され、位置\(q_{\scriptsize {i,n}}\)と運動量\(p_{\scriptsize {i,n}}\)を軸とする平面にグラフが描かれる)。

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次ページでは、ここで求めた位相空間での経路積分表示(多自由度)を、汎関数積分の形で表示することを試みる。

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