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本ページでは、物理量\(Q\)の測定を行なって結果が\(q_k\)であったとき、その測定の直後に再び物理量\(Q\)の測定を行なっても結果が同様に\(q_k\)となる測定である射影測定をみる。
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前ページでは、合成系が量子もつれとなると部分系は混合状態となり、部分系において純粋状態から混合状態への変換は非ユニタリ変換となったが、この非ユニタリ変換を表すクラウス演算子を導出した。
内容
射影測定とは
射影測定とは、物理量\(Q\)の測定を行なって結果が\(q_k\)であったとき、その測定の直後に再び物理量\(Q\)の測定を行なっても結果が同様に\(q_k\)となる測定のことを言う。この射影測定は、理想的な測定であるため理想測定とも呼ばれる。
物理量\(Q\)の測定を行なって結果が\(q_k\)となる射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)は、\(q_k\)に対応する状態\(\vert \varPsi’_k\rangle\)の密度行列\(\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert\)に等しい(以前のページ参照)。
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_k=\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert\tag{1}\end{align*}
純粋状態における射影測定
純粋状態\(\vert\varPsi_j\rangle\)における射影測定を考える。純粋状態\(\vert \varPsi_j\rangle\)が状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)とこれに直交する\(\vert\varPsi’_i\rangle(i\neq k)\)で展開
\begin{align*}\vert \varPsi_j\rangle&=\sum_ic_{ij}\vert\varPsi’_i\rangle\\&=c_{kj}\vert\varPsi’_k\rangle+\sum_{i\neq k}c_{ij}\vert\varPsi’_i\rangle\tag{2}\end{align*}
できるとき、これに射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)を作用させると、
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi_j\rangle&=\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert \varPsi_j\rangle\\&=c_{kj}\vert \varPsi’_k\rangle\tag{3}\end{align*}
となって状態は\(\vert\varPsi’_k\rangle\)となることが分かる。次に、この状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)にさらに射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)を掛けても
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi’_k\rangle&=\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert \varPsi’_k\rangle\\&=\vert \varPsi’_k\rangle\tag{4}\end{align*}
と状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)は変わらず、射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)は射影測定に相当することが分かる。また、式(3)に現れる\(c_{kj}\)の2乗\(\vert c_{kj}\vert^2\)は純粋状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)が観測される確率\(p_k\)であり、式(3)に式(3)のエルミート共役
\begin{align*}\langle \varPsi_j\vert\hat{\boldsymbol P}_k^\dagger&=c_{kj}^*\langle \varPsi’_k\vert\tag{5}\end{align*}
を掛けると確率\(p_k\)は
\begin{align*}p_k&=\langle \varPsi_j\vert\hat{\boldsymbol P}_k^\dagger\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi_j\rangle\\&=\langle \varPsi_j\vert\hat{\boldsymbol P}_k\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi_j\rangle\\&=\langle \varPsi_j\vert\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi_j\rangle\\&=\text{tr}(\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi_j\rangle\langle \varPsi_j\vert)\\&=\text{tr}(\hat{\boldsymbol P}_k\rho_j)\tag{6}\end{align*}
と求まる。
※※※式(6)において、2つ目の等号では射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)とそのエルミート\(\hat{\boldsymbol P}_k^\dagger\)は等しいこと
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_k^\dagger&=(\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert)^\dagger\\&=\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert\\&=\hat{\boldsymbol P}_k\tag{7}\end{align*}
を用い、3つ目の等号では射影演算子の積\(\hat{\boldsymbol P}_k\hat{\boldsymbol P}_k\)は射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)に等しいこと
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_k\hat{\boldsymbol P}_k&=\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert\\&=\vert \varPsi’_k\rangle\langle \varPsi’_k\vert\\&=\hat{\boldsymbol P}_k\tag{8}\end{align*}
を用い、4つ目の等号では次の関係
\begin{align*}\text{tr}(\vert A\rangle\langle B\vert)=\langle B\vert A\rangle\tag{9}\end{align*}
を用いた。※※※
最後に、測定後の状態\(\vert \varPsi’_k\rangle\)は式(3)と式(6)より
\begin{align*}\vert \varPsi’_k\rangle&=\frac{1}{c_{kj}}\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi_j\rangle\\&=\frac{1}{\sqrt{p_k}}\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi_j\rangle\\&=\frac{1}{\sqrt{\text{tr}(\hat{\boldsymbol P}_k\rho_j)}}\hat{\boldsymbol P}_k\vert \varPsi_j\rangle\tag{10}\end{align*}
と求めることができる。
混合状態における射影測定
混合状態における射影測定を考える。混合状態は密度行列\(\rho\)で表されるため、射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)を単に掛けた純粋状態のときとは異なり、射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)で挟めば良い。密度行列\(\rho\)が純粋状態の密度行列\(\rho_j=\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\)の和
\begin{align*}\rho=\sum_jp_j\rho_j\tag{11}\end{align*}
で表されるとき、これを射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)で挟むと、
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_k\rho\hat{\boldsymbol P}_k^\dagger&=\sum_jp_j\hat{\boldsymbol P}_k\rho_j\hat{\boldsymbol P}_k^\dagger\\&=\sum_jp_j\hat{\boldsymbol P}_k\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\hat{\boldsymbol P}_k^\dagger\\&=\sum_jp_j\vert c_{jk}\vert^2\vert\varPsi’_k\rangle\langle\varPsi’_k\vert\\&=\rho’_k\sum_jp_j\vert c_{jk}\vert^2\tag{12}\end{align*}
となって純粋状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)の密度行列\(\rho’_k\)となることが分かる(ここで注意だが、\(p_k\)は混合状態において状態\(\vert\varPsi_j\rangle\)が測定される確率であり、\(\vert c_{jk}\vert^2\)は状態\(\vert\varPsi_j\rangle\)において状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)が測定される確率である)。
次に、この純粋状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)にさらに射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)を掛けても、前節より状態\(\vert\varPsi’_k\rangle\)は変わらず、混合状態においても射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_k\)は射影測定に相当することが分かる。
射影測定の例
射影測定の例として、光子の偏光を取り上げる。
右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)と左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)を
\begin{align*}\vert R\rangle&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{13}\\\vert L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{14}\end{align*}
と定義する。このとき、右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)へ射影測定する射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_R\)と、左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)へ射影測定する射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_L\)は
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_R&=\vert R\rangle\langle R\vert\\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1&0\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1&0\\0&0\end{array}\right)\tag{15}\\\hat{\boldsymbol P}_L&=\vert L\rangle\langle L\vert\\&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0&1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0\\0&1\end{array}\right)\tag{16}\end{align*}
となり、それぞれの射影演算子は右円偏光板\(\nearrow\)または左円偏光板\(\nwarrow\)に光子を通す操作に等しい。
ある状態\(\vert\varPsi_j\rangle\)
\begin{align*}\vert\varPsi_j\rangle&=c_R\vert R\rangle+c_L\vert L\rangle\\&=\left(\begin{array}{c}c_R\\c_L\end{array}\right)\\\end{align*}
に対して射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_R\),\(\hat{\boldsymbol P}_L\)を作用させると
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_R\vert\varPsi_j\rangle&=\left(\begin{array}{c}1&0\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_R\\c_L\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}c_R\\0\end{array}\right)\\&=c_R\vert R\rangle\\\hat{\boldsymbol P}_L\vert\varPsi_j\rangle&=\left(\begin{array}{c}0&0\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_R\\c_L\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}c_L\\0\end{array}\right)\\&=c_L\vert L\rangle\end{align*}
となってそれぞれ純粋状態\(\vert R\rangle\),\(\vert L\rangle\)になることが分かる。このとき、純粋状態\(\vert R\rangle\),\(\vert L\rangle\)が測定される確率はそれぞれ\(\vert c_R\vert^2\),\(\vert c_L\vert^2\)である。
次に、純粋状態\(\vert R\rangle\),\(\vert L\rangle\)にさらに射影演算子\(\hat{\boldsymbol P}_R\),\(\hat{\boldsymbol P}_L\)をそれぞれ作用させても
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}_R\vert R\rangle&=\left(\begin{array}{c}1&0\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\vert R\rangle\\\hat{\boldsymbol P}_L\vert L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0&0\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\\&=\vert L\rangle\end{align*}
となって、純粋状態は変わらず、射影演算子は射影測定に相当していることが分かる。
次ページから…
次ページでは、測定対象粒子と装置をユニタリ演算子によって量子もつれ状態にして、混合状態となった装置の部分系に射影測定を行なう間接測定をみる。
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