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本ページでは、純粋状態で表される複数の部分系が合成系を構成し、ユニタリ変換で表される相互作用を起こして量子もつれとなると、部分系は混合状態となり、部分系において純粋状態から混合状態への変換は非ユニタリ変換となることを確認する。また、純粋状態から混合状態への移行は、重ね合わせ状態から古典的な確率分布への移行であり、この現象が量子デコヒーレンスであることをみる。
前ページまで…
前ページでは、純粋状態の合成系における密度行列の部分トレースをとると部分系の密度行列が得られ、量子もつれの状態のとき、部分系の密度行列は混合状態になることを確認した。
内容
量子デコヒーレンス
初めに、純粋状態と混合状態との違いを復習する。まず、純粋状態において純粋状態の重ね合わせの状態も純粋状態であった。一方、混合状態は純粋状態の重ね合わせの状態ではなく、純粋状態が測定される確率しか分からない状態であった。
このように純粋状態と混合状態は異なる状態であるが、量子もつれの状態となった合成系における純粋状態の密度行列で、部分トレースをとると混合状態の密度行列になった。
このとき、重ね合わせの状態である純粋状態から測定される確率しか分からない混合状態に移行しており、重ね合わせが失われて古典的な確率分布になる現象を量子デコヒーレンスとよぶ。
ユニタリ変換
合成系の純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)がユニタリ演算子による相互作用によって状態\(\vert\varPsi’_{j},\varPhi’_{j}\rangle\)になったとき、この状態が純粋状態であることを確認する。
状態\(\vert\varPsi’_{j},\varPhi’_{j}\rangle\)は、相互作用を表すユニタリ演算子\(\hat{\boldsymbol U}\)を用いて、
\begin{align*}\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle=\hat{\boldsymbol U}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\tag{1}\end{align*}
と表現できた。ここで、相互作用を表すユニタリ演算子によって純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)からユニタリ変換された状態\(\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\)の密度行列\(\rho’\)
\begin{align*}\rho’=\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\langle\varPsi’_j,\varPhi’_j\vert\tag{2}\end{align*}
の2乗のトレースを求めると
\begin{align*}\text{tr}(\rho’^2)&=\text{tr}(\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\langle\varPsi’_j,\varPhi’_j\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\langle\varPsi’_j,\varPhi’_j\vert)\\&=\langle\varPsi’_j,\varPhi’_j\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\langle\varPsi’_j,\varPhi’_j\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\\&=\langle\varPsi_j,\varPhi_j\vert\hat {\boldsymbol U}^\dagger\hat{\boldsymbol U}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\langle\varPsi_j,\varPhi_j\vert\hat {\boldsymbol U}^\dagger\hat{\boldsymbol U}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\\&=1\tag{3}\end{align*}
と\(1\)になり、純粋状態のユニタリ変換後も純粋状態であることが分かる。
※※※式(3)において、2つ目の等号では次の関係
\begin{align*}\text{tr}(\vert A\rangle\langle B\vert)=\langle B\vert A\rangle\tag{4}\end{align*}
を用い、3つ目の等号では次の関係
\begin{align*}\hat {\boldsymbol U}^\dagger\hat{\boldsymbol U}=\boldsymbol I\tag{5}\end{align*}
を用いた。※※※
非ユニタリ変換
純粋状態のユニタリ変換は純粋状態になったため、純粋状態から混合状態への変換は非ユニタリ変換となる。
純粋状態\(\vert \varPsi_j\rangle\)の粒子と純粋状態\(\vert\varPhi_j\rangle\)の粒子が存在し、それぞれの粒子が相互作用していないとき、2つの粒子が存在する合成系の純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)はテンソル積\(\otimes\)を用いて
\begin{align*}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle=\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle\tag{6}\end{align*}
と表せた。相互作用によって合成系の純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)がユニタリ変換によって量子もつれを起こして、次の純粋状態\(\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\)
\begin{align*}\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle=\hat{\boldsymbol U}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\tag{7}\end{align*}
になったとき、部分系\(\varPhi\)の部分トレースをとって部分系\(\varPsi\)に注目すると状態\(\vert\varPsi’_{j}\rangle\)は混合状態になり、部分系\(\varPsi\)の部分トレースをとって部分系\(\varPhi\)に注目すると状態\(\vert\varPhi’_{j}\rangle\)は混合状態になった。部分系\(\varPsi\),\(\varPhi\)の純粋状態\(\vert\varPsi_{j}\rangle\),\(\vert\varPsi_{j}\rangle\)から混合状態\(\vert\varPsi’_{j}\rangle\),\(\vert\varPhi’_{j}\rangle\)への移行は量子デコヒーレンスであるため、量子デコヒーレンスは非ユニタリ演算子によって引き起こされ、非ユニタリ変換となる。
以上をまとめると、純粋状態で表される複数の部分系が合成系を構成し、ユニタリ変換で表される相互作用を起こして量子もつれとなると、部分系は混合状態となり、部分系において純粋状態から混合状態への変換は非ユニタリ変換となる。純粋状態から混合状態への移行は、重ね合わせ状態から古典的な確率分布への移行であり、この現象が量子デコヒーレンスである。
粒子同士が相互作用をしなければ、重ね合わせはいつまでも維持されるが、通常はいくつもの粒子同士が量子もつれによって合成系をつくり、部分系に注目するとか重ね合わせは失われて古典的な確率分布に移行するように見える。このとき、部分系に注目すれば古典的な確率分布のように振る舞うが、合成系全体で見れば依然として重ね合わせの状態である。
量子デコヒーレンスの例
量子デコヒーレンスの例として、光子の偏光を取り上げる。
右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)と左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)を
\begin{align*}\vert R\rangle&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{8}\\\vert L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{9}\end{align*}
と定義すると、縦偏光の純粋状態\(\vert +\rangle\)と横偏光の純粋状態\(\vert -\rangle\)は
\begin{align*}\vert +\rangle&=\frac{\vert R\rangle+\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{10}\\\vert -\rangle&=\frac{\vert R\rangle-\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{11}\end{align*}
と表すことができる。
以下では、合成系を\(\vert A,B\rangle=\vert A\rangle\otimes\vert B\rangle\)と表したとき、\(\vert A\rangle\)を部分系\(\varPsi\)の状態、\(\vert B\rangle\)を部分系\(\varPhi\)の状態とする。
例\(1\)
光子2つから成る合成系の純粋状態\(\vert +,-\rangle\)はテンソル積を用いて
\begin{align*}\vert +,-\rangle&=\vert +\rangle\otimes\vert -\rangle\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)\tag{12}\end{align*}
と表され、それぞれの部分系\(\varPsi\),\(\varPhi\)の密度行列\(\rho_\varPsi\),\(\rho_\varPhi\)は
\begin{align*}\rho_\varPhi&=\vert +\rangle\langle +\vert\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&1\\1&1\end{array}\right)\tag{13}\\\rho_\varPsi&=\vert -\rangle\langle -\vert\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&-1\\-1&1\end{array}\right)\tag{14}\end{align*}
である。この光子2つから成る合成系の純粋状態\(\vert +,-\rangle\)が次のユニタリ演算子
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1&0&1&0\\0&-1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&1\end{array}\right)\tag{15}\end{align*}
で表される相互作用をして、純粋状態
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}\vert R,L\rangle&=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1&0&1&0\\0&-1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\-1\end{array}\right)\tag{16}\end{align*}
になったときを考える(あくまでこのユニタリ演算子は例である)。この純粋状態は、
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}\vert R,L\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\-1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)+\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\\-1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\vert +\rangle\otimes\vert -\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert -\rangle\otimes\vert +\rangle\\&=\frac{\vert +,-\rangle+\vert -,+\rangle}{\sqrt{2}}\tag{17}\end{align*}
となって、相互作用した後の純粋状態は\(\vert +,-\rangle\)と\(\vert -,+\rangle\)の重ね合わせの状態であることが分かる。これが、量子もつれであった。相互作用した後の密度行列\(\rho’\)は
\begin{align*}\rho’&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&0&0&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\-1&0&0&1\end{array}\right)\tag{18}\end{align*}
となり、\(\varPhi\)の部分トレースをとって、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi’\)を求めると
\begin{align*}\rho_\varPsi’&=\text{tr}_\varPhi(\rho)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}\right)\tag{19}\end{align*}
となって、部分系\(\varPsi\)は\(\vert R\rangle\)と\(\vert L\rangle\)が等確率で測定される混合状態であることが分かる。相互作用する前の部分系\(\varPsi\)における密度行列\(\rho_\varPsi\)と比べると、コヒーレント項(非対角成分)がゼロになっており、重ね合わせがなくなっており、これが量子デコヒーレンスである。
例\(2\)
光子2つから成る合成系の純粋状態\(\vert +,-\rangle\)が次のユニタリ演算子
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&\sqrt{2}&0\\0&0&0&-\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{20}\end{align*}
で表される相互作用をして、純粋状態
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}\vert R,L\rangle&=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&\sqrt{2}&0\\0&0&0&-\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\\sqrt{2}\\1\\1\end{array}\right)\tag{21}\end{align*}
になったときを考える(あくまでこのユニタリ演算子は例である)。この純粋状態は、
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}\vert R,L\rangle&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\\sqrt{2}\\1\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert L\rangle\otimes\vert +\rangle\\&=\frac{\vert R,L\rangle+\vert L,+\rangle}{\sqrt{2}}\tag{22}\end{align*}
となって、相互作用した後の純粋状態は\(\vert R,L\rangle\)と\(\vert L,+\rangle\)の重ね合わせの状態であることが分かる。これが、量子もつれであった。相互作用した後の密度行列\(\rho’\)は
\begin{align*}\rho’&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&2&\sqrt{2}&\sqrt{2}\\0&\sqrt{2}&1&1\\0&\sqrt{2}&1&1\end{array}\right)\tag{23}\end{align*}
となり、\(\varPhi\)の部分トレースをとって、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi’\)を求めると
\begin{align*}\rho_\varPsi’&=\text{tr}_\varPhi(\rho)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}2&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&2\end{array}\right)\tag{24}\end{align*}
となって、部分系\(\varPsi\)は\(\vert R\rangle\)と\(\vert L\rangle\)が等確率で測定される混合状態であることが分かる。相互作用する前の部分系\(\varPsi\)における密度行列\(\rho_\varPsi\)と比べると、コヒーレント項(非対角成分)はゼロにはなっていないが、値は小さくなっており、重ね合わせの度合いが小さくなっているため、これも量子デコヒーレンスである。
今回の例より、量子デコヒーレンスは重ね合わせが完全に失われる訳では無いことがわかる。ただし、一般的な環境では、時間とともに重ね合わせは急速に失われていき(コヒーレント項は急速にゼロに近づき)、このことは、次のページで確認する。
次ページから…
次ページでは、量子もつれの状態となった合成系の部分系に注目すると純粋状態から混合状態に移行するが、時間とともに重ね合わせは急速に失われていき(コヒーレント項は急速にゼロに近づき)量子デコヒーレンスする現象の緩和と呼ばれる現象を確認する。また、緩和には縦緩和(エネルギー緩和、またはT1緩和)と横緩和(位相緩和、またはT2緩和)が存在することをみる。
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