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本ページでは、2つの粒子が相互作用して量子もつれの状態となった合成系は部分系における純粋状態のテンソル積で表せないことがあるが、そのような場合でも、部分系における純粋状態のテンソル積の重ね合わせで表せることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、合成系は複数の粒子が存在する系であることを確認し、複数の粒子が相互作用していない合成系における純粋状態および混合状態の密度行列は、テンソル積を用いて表せることをみた。
内容
量子もつれとは
純粋状態\(\vert \varPsi_j\rangle\)の粒子と純粋状態\(\vert\varPhi_j\rangle\)の粒子が存在し、それぞれの粒子が相互作用していないとき、2つの粒子が存在する合成系の純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)はテンソル積\(\otimes\)を用いて
\begin{align*}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle=\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle\tag{1}\end{align*}
と表せた。もし、この純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)が規格化
\begin{align*}\langle \varPsi_j,\varPhi_j\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle=1\tag{2}\end{align*}
されているとき、2つの粒子が相互作用して純粋状態\(\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\)になっても、これら2つの粒子が消滅しないのなら全空間で粒子が見出される確率は変わらないため、規格化されているはずである。
\begin{align*}\langle \varPsi’_j,\varPhi’_j\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle=1\tag{3}\end{align*}
ここで、ユニタリ演算子\(\hat{\boldsymbol U}\)が満たす次の関係式
\begin{align*}\hat {\boldsymbol U}^\dagger\hat{\boldsymbol U}=\boldsymbol I\tag{4}\end{align*}
を式(2)に挿入すると
\begin{align*}\langle \varPsi_j,\varPhi_j\vert\hat {\boldsymbol U}^\dagger\hat{\boldsymbol U}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle=1\tag{5}\end{align*}
となり、式(3)と式(5)を見比べると
\begin{align*}\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle=\hat{\boldsymbol U}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\tag{6}\end{align*}
が成り立つことが分かり、合成系の相互作用はユニタリ演算子\(\hat{\boldsymbol U}\)で表現できることが分かる。
もし、2つの粒子が相互作用して(ユニタリ演算子\(\hat{\boldsymbol U}\)を掛ける操作に相当)、純粋状態\(\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\)になると、部分系における純粋状態のテンソル積で表すことができなくなることがある。テンソル積で表せない場合でも、テンソル積\(\vert\varPsi_i\rangle\otimes\vert\varPhi_k\rangle\)の重ね合わせ
\begin{align*}\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle&=\sum_{i,k}c_{ik}\vert\varPsi_i\rangle\otimes\vert\varPhi_k\rangle\\&=\sum_{i,k}c_{ik}\vert\varPsi_i,\varPhi_k\rangle\tag{7}\end{align*}
でなら表すことができ、そのような現象を量子もつれ(または量子絡み合い、量子エンタングルメント)という。量子もつれ状態の系の測定を行なって、部分系\(\varPsi\)の状態が重ね合わせを構成する\(\vert\varPsi_i,\varPhi_k\rangle=\vert\varPsi_i\rangle\otimes\vert\varPhi_k\rangle\)の\(\vert\varPsi_i\rangle\)となったなら、部分系\(\varPhi\)の状態は\(\vert\varPhi_k\rangle\)に決定される。また、逆も然り、部分系\(\varPhi\)の状態が\(\vert\varPhi_k\rangle\)となったなら、部分系\(\varPsi\)の状態は\(\vert\varPsi_i\rangle\)に決定される。これが”もつれ”と言われる由縁である。
ここで、量子もつれの状態である合成系における純粋状態の密度行列を求めると
\begin{align*}\rho’&=\left(\sum_{i,k}c_{ik}\vert\varPsi_i\rangle\otimes\vert\varPhi_k\rangle\right)\left(\sum_{l,m}c_{lm}^*\langle\varPsi_l\vert\otimes\langle\varPhi_m\vert\right)\\&=\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\otimes\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\vert\tag{8}\end{align*}
となる。
テンソル積で表せない理由
2つの粒子が相互作用するとその純粋状態は、部分系における純粋状態のテンソル積で表すことができないことがあると述べた。これはテンソル積の自由度が少ないからであり、このことを確認してみる。
\(n\)行\(1\)列の行列\(\boldsymbol A\),\(\boldsymbol B\)
\begin{align*}\boldsymbol A&=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{array}\right)\tag{9}\\\boldsymbol B&=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{array}\right)\tag{10}\end{align*}
を用意し、それらのテンソル積を求めると
\begin{align*}\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B&=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}a_1b_1\\a_1b_2\\\vdots\\a_1b_n\\a_2b_1\\a_2b_2\\\vdots\\a_2b_n\\\vdots\\a_nb_1\\a_nb_2\\\vdots\\a_nb_n\end{array}\right)\tag{11}\end{align*}
と\(n^2\)行\(1\)列の行列となる。
次に、どのような\(n^2\)行\(1\)列の行列\(\boldsymbol C\)
\begin{align*}\boldsymbol C&=\left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\\c_{n+1}\\c_{n+2}\\\vdots\\c_{2n}\\\vdots\\c_{n(n-1)+1}\\c_{n(n-1)+2}\\\vdots\\c_{n^2}\end{array}\right)\tag{12}\end{align*}
でも、式(11)のテンソル積で表せるかを確認する。まず、行列\(\boldsymbol C\)の\(1\)行目から\(n\)行目までは、式(11)のテンソル積\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)の\(a_1\)および\(b_1\),\(b_2\),\(\cdots\),\(b_n\)の値を調整すれば、テンソル積\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)で表すことができる。次に、行列\(\boldsymbol C\)の\(n+1\)行目から\(2n\)行目までは、\(b_1\),\(b_2\),\(\cdots\),\(b_n\)の値は決まっているため、式(11)のテンソル積\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)の\(a_2\)の値を調整しても、ひとつの行の値しか一致させられない。このことは最後の行まで続くため、行列\(\boldsymbol C\)の\(n^2\)個の成分のうち、テンソル積で表した行列\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)では\(n+(n-1)\)個の成分しか表現できず、テンソル積では自由度が足りないことが分かる。
一方で、どのような行列\(\boldsymbol C\)でもテンソル積\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)の重ね合わせで表現できる。
量子もつれの例
量子もつれの例として、光子の偏光を取り上げる。
右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)と左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)を
\begin{align*}\vert R\rangle&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{13}\\\vert L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{14}\end{align*}
と定義する。
右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)または左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)である相互作用していない2つの粒子における合成系の純粋状態は、次の4パターン考えられる。
\begin{align*}\vert R,R\rangle&=\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle \\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\tag{15}\\\vert R,L\rangle&=\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle \\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\tag{16}\\\vert L,R\rangle&=\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle \\&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)\tag{17}\\\vert L,L\rangle&=\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle \\&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\tag{18}\end{align*}
ここで、純粋状態\(\vert R,L\rangle\)の光子2つが次のユニタリ演算子
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&1&-1&0\\1&0&0&-1\end{array}\right)\tag{19}\end{align*}
で表される相互作用をして、純粋状態
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}\vert R,L\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&1&-1&0\\1&0&0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0\\1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\\0\end{array}\right)\tag{20}\end{align*}
になったときを考える(あくまでこのユニタリ演算子は例である)。この純粋状態は、どのような\(2\)行\(1\)列の行列\(\boldsymbol A\),\(\boldsymbol B\)
\begin{align*}\boldsymbol A&=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\tag{21}\\\boldsymbol B&=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\end{array}\right)\tag{22}\end{align*}
を用いてもテンソル積\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)
\begin{align*}\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B&=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}a_1b_1\\a_1b_2\\a_2b_1\\a_2b_2\end{array}\right)\tag{23}\end{align*}
で表すことはできない。これは、テンソル積の自由度が少ないためである。相互作用した後の純粋状態は、部分系における純粋状態のテンソル積の重ね合わせで表すことができ、
\begin{align*}\hat{\boldsymbol U}\vert R,L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0\\1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\\0\end{array}\right)\\&=\frac{\vert R,L\rangle+\vert L,R\rangle}{\sqrt{2}}\tag{24}\end{align*}
となって、相互作用した後の純粋状態は\(\vert R,L\rangle\)と\(\vert L,R\rangle\)の重ね合わせの状態であることが分かる。これが、量子もつれである。
量子もつれの状態である式(24)の密度行列を求めると
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&1/2&1/2&0\\0&1/2&1/2&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{25}\end{align*}
となるが、式(15)~(18)の状態の密度行列
\begin{align*}\rho_{RR}&=\vert R,R\rangle\langle R,R\vert\\&=(\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle)(\langle R\vert\otimes\langle R\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{26}\\\rho_{RL}&=\vert R,L\rangle\langle R,L\vert\\&=(\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle)(\langle R\vert\otimes\langle L\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{27}\\\rho_{LR}&=\vert L,R\rangle\langle L,R\vert\\&=(\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle)(\langle L\vert\otimes\langle R\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{28}\\\rho_{LL}&=\vert L,L\rangle\langle L,L\vert\\&=(\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle)(\langle L\vert\otimes\langle L\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\tag{29}\end{align*}
の重ね合わせで表すことができない。なぜなら、式(25)の密度行列は
\begin{align*}&\frac{\vert R,L\rangle+\vert L,R\rangle}{\sqrt{2}}\frac{\langle R,L\vert+\langle L,R\vert}{\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{2}(\vert R,L\rangle\langle R,L\vert+\vert R,L\rangle\langle L,R\vert+\vert L,R\rangle\langle R,L\vert+\vert L,R\rangle\langle L,R\vert)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&1/2&1/2&0\\0&1/2&1/2&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{30}\end{align*}
であり、純粋状態の密度行列でない\(\vert R,L\rangle\langle L,R\vert\)や\(\vert L,R\rangle\langle R,L\vert\)が含まれているからである。
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次ページでは、純粋状態の合成系における密度行列の部分トレースをとると部分系の密度行列が得られ、量子もつれの状態のとき、部分系の密度行列は混合状態になることを確認する。
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