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本ページでは、場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\end{align}
を求める。
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前ページでは、場が従うクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\end{align}
を導くハミルトニアン\(H\)において、構成する場\(\phi\)と場に対する正準共役運動量\(\pi=\partial ^0\phi\)を次の同時刻正準交換関係
\begin{align} [\hat\phi(t,\boldsymbol x),\ \hat\pi(t,\boldsymbol y)]&=i\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align}
を満たす演算子に置き換える量子化である第2量子化について調べた。
内容
スカラー場のラグランジアン密度
場の理論において、クライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\tag{1}\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\tag{2}\end{align}
である。実際にオイラー-ラグランジュ方程式(以前のページを参照)
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}=0\tag{3}\end{align}
に代入してみると
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}&=\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi\\&=0\tag{4}\end{align}
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu\phi}\left(\frac{1}{2}\partial_\nu\phi\partial^\nu\phi\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial\phi}\left(-\frac{m^2}{2}\phi^2\right)\\&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu\phi}\left(\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\partial_\nu\phi\partial_\rho\phi\right)\right\}+m^2\phi\\&=\partial_\mu\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\left\{\frac{\partial\left(\partial_\nu\phi\right)}{\partial \partial_\mu\phi}\partial_\rho\phi+\partial_\nu\phi\frac{\partial\left(\partial_\rho\phi\right)}{\partial \partial_\mu\phi}\right\}+m^2\phi\\&=\partial_\mu\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\left(\delta_\nu{}^\mu\partial_\rho\phi+\partial_\nu\phi\delta_\rho{}^\mu\right)+m^2\phi\\&=\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi\\&=0\tag{4}\end{align}
2行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\nu\rho}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、3行目への変形では積の微分公式を用いた。
となって、クライン-ゴルドン方程式が導出されることが分かる。
相互作用項を持つラグランジアン密度
相互作用項をもつラグランジアン密度を考える。後で分かるが、もし、\(Z_2\)不変性(\(\phi\rightarrow-\phi\)の下での不変性)とくりこみ理論を要求すると相互作用項は\(\phi^4\)項に絞られ、\(\phi\)項や\(\phi^3\)項は現れない。このとき、ラグランジアン密度は
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{5}\end{align}
となり、クライン-ゴルドン方程式は
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=0\tag{6}\end{align}
となる。ここで、\(\lambda\)は結合定数と呼ばれる定数である。
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