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本ページでは…
本ページでは、場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\end{align}
を求め、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性を持つことを確かめる。
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前ページでは、場が従うクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\end{align}
を導くハミルトニアン\(H\)において、構成する場\(\phi\)と場に対する正準共役運動量\(\pi=\partial ^0\phi\)を次の同時刻正準交換関係
\begin{align} [\hat\phi(t,\boldsymbol x),\ \hat\pi(t,\boldsymbol y)]&=i\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align}
を満たす演算子に置き換える量子化である第2量子化について調べた。
内容
スカラー場のラグランジアン密度
場の理論において、クライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\tag{1}\end{align}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\tag{2}\end{align}
である。実際にオイラー-ラグランジュ方程式(以前のページを参照)
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}=0\tag{3}\end{align}
に代入してみると
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}&=\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi\\&=0\tag{4}\end{align}
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\phi}&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu\phi}\left(\frac{1}{2}\partial_\nu\phi\partial^\nu\phi\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial\phi}\left(-\frac{m^2}{2}\phi^2\right)\\&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu\phi}\left(\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\partial_\nu\phi\partial_\rho\phi\right)\right\}+m^2\phi\\&=\partial_\mu\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\left\{\frac{\partial\left(\partial_\nu\phi\right)}{\partial \partial_\mu\phi}\partial_\rho\phi+\partial_\nu\phi\frac{\partial\left(\partial_\rho\phi\right)}{\partial \partial_\mu\phi}\right\}+m^2\phi\\&=\partial_\mu\frac{1}{2}\eta^{\nu\rho}\left(\delta_\nu{}^\mu\partial_\rho\phi+\partial_\nu\phi\delta_\rho{}^\mu\right)+m^2\phi\\&=\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi\\&=0\tag{4}\end{align}
2行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\nu\rho}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、3行目への変形では積の微分公式を用いた。
となって、クライン-ゴルドン方程式が導出されることが分かる。
相互作用項を持つラグランジアン密度
相互作用項をもつラグランジアン密度を考える。後で分かるが、もし、\(Z_2\)不変性(\(\phi\rightarrow-\phi\)の下での不変性)とくりこみ理論を要求すると相互作用項は\(\phi^4\)項に絞られ、\(\phi\)項や\(\phi^3\)項は現れない。このとき、ラグランジアン密度は
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{5}\end{align}
となり、クライン-ゴルドン方程式は
\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=0\tag{6}\end{align}
となる。ここで、\(\lambda\)は結合定数と呼ばれる定数である。
ラグランジアン密度の相対論的不変性
スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性を持つことを確認する。
スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}&=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{5}\end{align}
において、ローレンツ変換によってスカラー場\(\phi\)とダランベルシアン\(\partial_\mu\partial^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}\phi&\rightarrow\phi’\\\partial_\mu\partial^\mu&\rightarrow\partial’_\mu\partial’^\mu\end{align*}
する際、ラグランジアン密度\(\mathscr L’\)は
\begin{align}\mathscr L’&=\frac{1}{2}\partial’_\mu\phi’\partial’^\mu\phi’-\frac{m^2}{2}\phi’^2-\frac{\lambda}{4!}\phi’^4\tag{7}\end{align}
となる。また、スカラー場\(\phi\)やダランベルシアン\(\partial_\mu\partial^\mu\)は全てスカラーなためローレンツ変換によって変化しない
\begin{align*}\phi’&=\phi\\\partial’_\mu\partial’^\mu&=\partial_\mu\partial^\mu\end{align*}
ため、ラグランジアン密度\(\mathscr L’\)
\begin{align}\mathscr L’&=\frac{1}{2}\partial’_\mu\phi’\partial’^\mu\phi’-\frac{m^2}{2}\phi’^2-\frac{\lambda}{4!}\phi’^4\\&=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\\&=\mathscr L\tag{8}\end{align}
はローレンツ変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、スカラー場の作用積分\(S\)は相対論的不変性を持つことが分かる。
ラグランジアン密度の\(Z_2\)不変性
スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)が\(Z_2\)不変性も持つことを確認する。
スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}&=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{5}\end{align}
において、\(Z_2\)変換によってスカラー場\(\phi\)が次のように変換
\begin{align*}\phi\rightarrow\phi’=-\phi\end{align*}
する際、ラグランジアン密度\(\mathscr L’\)は
\begin{align}\mathscr L’&=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\\&=\mathscr L\tag{9}\end{align}
と\(Z_2\)変換前のラグランジアン密度\(\mathscr L\)と等しくなり、スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)は\(Z_2\)不変性を持つことが分かる。
運動項とポテンシャル項
古典力学でのラグランジアン\(L\)は、
\begin{align*}L=\frac{m\dot x^2}{2}-V\tag{10}\end{align*}
と表されており、運動項\(\frac{m\dot x^2}{2}\)とポテンシャル項\(V\)から成り立っていた(以前のページを参照)。
場の理論でのラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{5}\end{align}
においても
\begin{align*}V&=\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{11}\end{align*}
と置けば、
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-V\tag{12}\end{align}
となって、運動項\(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi\)とポテンシャル項\(\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\)から構成されていることが分かる。
もし、運動項またはポテンシャル項の関数形が下に凸でないと、エネルギーに下限がなくなり、どのような状態であってもエネルギーを放出しながらより低いエネルギー準位に遷移して安定状態をとれなくなる。そのため、運動項とポテンシャル項の関数形は下に凸である必要があるが、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の式(5)の運動項\(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi\)とポテンシャル項\(\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\)ではしっかりとそのようになっている。
次ページから…
次ページでは、場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\end{align}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性を持つことを確かめる。
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