角運動量の2乗

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本ページでは…

 本ページでは、角運動量の2乗における固有値方程式

\begin{align*}-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right]\psi_{lm}=\lambda\psi_{lm}\end{align*}

を解き、固有関数\(\psi_{lm}\)

\begin{align*}\psi_{lm}&=R(r)\varTheta_{lm}(\theta)\varPhi_{m}(\varphi)\\\varPhi_m&=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{im\varphi}\\\varTheta_{lm}(\cos\theta)&=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-\vert m\vert)!}{(l+\vert m\vert)!}}P_l^{\vert m\vert}\end{align*}

と固有値\(\lambda\)

\begin{align*}\lambda=l(l+1)\hbar^2\end{align*}

を求める(ただし、\(P_l^{\vert m\vert}\)はルジャンドル陪多項式であり、\(l=0,1,2,\cdots\),\(m=-l,-(l-1),\cdots,-1,0,1,\cdots,l-1,l\)である)。

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前ページでは、角運動量の\(z\)成分における固有値方程式

\begin{align*}-i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}\psi_m=l_z\psi_m\end{align*}

を解き、固有関数\(\psi_m\)

\begin{align*}\psi_m&=f(r,\theta)\varPhi_m(\varphi)\\\varPhi_m(\varphi)&=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{im\varphi}\end{align*}

と固有値\(l_z\)

\begin{align*}l_z=m\hbar\ \ \ m=0,\pm1,\pm2,\cdot\end{align*}

を求める(ただし、\(\alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\),\(m=0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots\))。

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内容

角運動量の2乗における演算子

前ページで求めたが、角運動量のそれぞれの成分の演算子は

\begin{align*}\hat l_x&=i\hbar\left(\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)\tag{1}\\\hat l_y&=i\hbar\left(-\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)\tag{2}\\\hat l_z&=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}\tag{3}\end{align*}

であったため、角運動量の2乗における演算子は

\begin{align*}\boldsymbol{\hat l}^2&=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2\\&=-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right]\tag{4}\end{align*}

となる。

2乗における固有値方程式

 角運動量の2乗における固有値方程式は固有値\(\lambda\)を用いると

\begin{align*}\boldsymbol{\hat l}^2\psi_{lm}=\lambda\psi_{lm}\tag{5}\end{align*}

となり、式(5)の具体的な形は

\begin{align*}-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right]\psi_{lm}=\lambda\psi_{lm}\tag{6}\end{align*}

となる。

2乗における固有関数\(\psi_{lm}\)

 微分方程式の固有値方程式(6)は変数分離法で解くことができる。解となる固有関数が

\begin{align*}\psi_{lm}=R(r)\varTheta_{lm}(\theta)\varPhi_{m}(\varphi)\tag{7}\end{align*}

となると仮定したとき、固有値方程式(6)に代入すると

\begin{align*}-R\varPhi\frac{\hbar^2}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\varTheta}{\partial\theta}\right)-R\varTheta\frac{\hbar^2}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\varPhi}{\partial\varphi^2}=\lambda R\varTheta\varPhi\tag{8}\end{align*}

となる。両辺に\(\sin^2\theta/R\varTheta\varPhi\)を掛けて整理すると

\begin{align*}\frac{\hbar^2\sin\theta}{\varTheta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\varTheta}{\partial\theta}\right)+\lambda\sin^2\theta=-\frac{\hbar^2}{\varPhi}\frac{\partial^2\varPhi}{\partial\varphi^2}\tag{9}\end{align*}

となり、左辺は変数\(\theta\)のみからなり、右辺は変数\(\varphi\)のみからなることから、どのような変数\(\theta\),\(\varphi\)でも恒等的に成り立つためには両辺は定数でなければならない。このときの定数を\(m^2\hbar^2\)と置くと、二つの式

\begin{align*}\frac{\hbar^2\sin\theta}{\varTheta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\varTheta}{\partial\theta}\right)+\lambda\sin^2\theta=m^2\hbar^2\tag{10}\\-\frac{\hbar^2}{\varPhi}\frac{\partial^2\varPhi}{\partial\varphi^2}=m^2\hbar^2\tag{11}\end{align*}

が得られる。

\(\varphi\)依存部分

 2つの式のうち、式(11)から解いてみる。式(11)を変形すると

\begin{align*}\frac{\partial^2\varPhi}{\partial\varphi^2}=-m^2\varPhi\tag{12}\end{align*}

となり、解は規格化定数を含めて

\begin{align*}\varPhi_m(\varphi)=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{im\varphi}\tag{13}\end{align*}

となる。この解は、前ページで求めた角運動量の\(z\)成分における固有関数の\(\varphi\)に依存する部分と同じになる。

\(\theta\)依存部分

 次に、式(10)を解くために両辺に\(\varTheta/\hbar^2\sin^2\theta\)を掛けて次のように変形してみる。

\begin{align*}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\varTheta}{\partial\theta}\right)+\left[\frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\varTheta=0\tag{14}\end{align*}

 次のルジャンドルの陪微分方程式(\(m\)が整数で、\(l\)がゼロまたは正の整数で\(m\leqq l\)を満たすときにしか、次の微分方程式は物理的に意味のある解がない)

\begin{align*}(1-t^2)\frac{d^2}{dt^2}P_l^{\vert m\vert}(t)-2t\frac{d}{dt}P_l^{\vert m\vert}(t)+\left(l(l+1)+\frac{m^2}{1-t^2}\right)P_l^{\vert m\vert}(t)=0\tag{15}\end{align*}

の解はルジャンドル陪多項式

\begin{align*}P_l^{\vert m\vert}(t)=(1-t^2)^{\vert m\vert/2}\frac{d^{\vert m\vert}}{dt^{\vert m\vert}}P_l(t)\tag{16}\end{align*}

として知られており、式中に現れる\(P_l(t)\)はルジャンドル多項式

\begin{align*}P_l(t)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^l}{dt^l}\left[(x^2-1)^l\right]\tag{17}\end{align*}

であり、具体的な形は

\begin{align*}P_0^{0}(t)&=1\\P_1^{0}(t)&=t\\P_1^{1}(t)&=(1-t^2)^{\frac{1}{2}}\\P_2^{0}(t)&=\frac{1}{2}(3t^2-1)\\P_2^{1}(t)&=3(1-t^2)^{\frac{1}{2}}t\\P_2^{2}(t)&=3(1-t^2)\\\vdots&\end{align*}

となる。そのため、式(15)において

\begin{align*}t=\cos\theta\tag{18}\end{align*}

と置き、次の関係式

\begin{align*}\frac{d}{dt}&=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{d\theta}\\&=-\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\tag{19}\end{align*}

と合わせて用いると、ルジャンドルの陪微分方程式(15)は

\begin{align*}\sin\theta\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)\right)+2\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)+\left(l(l+1)+\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)&=0\\\rightarrow-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)+\frac{d^2}{d\theta^2}P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)+2\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)+\left(l(l+1)+\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)&=0\\\rightarrow\frac{d^2}{d\theta^2}P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)+\left(l(l+1)+\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)&=0\\\rightarrow\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d}{d\theta}P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)\right)+\left(l(l+1)+\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)&=0\tag{20}\end{align*}

となり、式(14)において

\begin{align*}l(l+1)=\frac{\lambda}{\hbar^2}\tag{21}\end{align*}

と置けば、式(14)の微分方程式の解はルジャンドル陪多項式となり、固有関数の式(7)に現れる\(\varTheta\)はルジャンドル陪多項式

\begin{align*}P_0^{0}(\cos\theta)&=1\\P_1^{0}(\cos\theta)&=\cos\theta\\P_1^{1}(\cos\theta)&=\sin\theta\\P_2^{0}(\cos\theta)&=\frac{1}{2}(3\cos^2\theta-1)\\P_2^{1}(\cos\theta)&=3\sin\theta\cos\theta\\P_2^{2}(\cos\theta)&=3\sin^2\theta\\\vdots&\end{align*}

の定数倍

\begin{align*}\varTheta=cP_l^{\vert m\vert}\tag{22}\end{align*}

となる。

 定数\(c\)は規格化から求めることができる。「波動関数\(\psi_{lm}\)の絶対値2乗が確率密度を表す」と仮定すると

\begin{align*}1&=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}drd\theta d\varphi\ \ \vert\psi_{lm}\vert^2r^2\sin\theta\\&=\int_{0}^{\infty} dr\ \vert R\vert^2 r^2\int_{0}^{\pi}d\theta \ \vert \varTheta\vert^2\sin\theta \int_{0}^{2\pi}d\varphi\ \ \vert\varPhi\vert^2\tag{23}\end{align*}

が成り立たなければならず、次の3式

\begin{align*}\int_{0}^{\infty} dr\ \vert R\vert^2 r^2&=1\tag{24}\\\int_{0}^{\pi}d\theta \ \vert \varTheta\vert^2\sin\theta&=1\tag{25}\\\int_{0}^{2\pi}d\varphi\ \ \vert\varPhi\vert^2=1\tag{26}\end{align*}

が成立すれば、固有関数\(\psi_{lm}\)は規格化される。ここで、式(26)において\(\varPhi\)は式(13)であり、既に規格化済みである(前ページ参照)。次に、式(25)を計算すると

\begin{align*}1&=\int_{0}^{\pi}d\theta \ \vert \varTheta\vert^2\sin\theta\\&=\vert c\vert^2\int_{0}^{\pi}d\theta \ \vert P_l^{\vert m\vert}\vert^2\sin\theta\tag{27}\end{align*}

となり、次の知られている関係式

\begin{align*}\int_{0}^{\pi}d\theta \ \vert P_l^{\vert m\vert}\vert^2\sin\theta=\frac{2}{2l+1}\frac{(l+\vert m\vert)!}{(l-\vert m\vert)!}\tag{28}\end{align*}

を用いると、定数\(c\)は

\begin{align*}c=\sqrt{\frac{2l+1}{2l}\frac{(l-\vert m\vert)!}{(l+\vert m\vert)!}}\tag{29}\end{align*}

と求まる。位相因子\(e^{i\theta}\)は任意性があるため、位相を\(\theta=0\)とした。以上より、\(\varphi\)に依存する\(\varTheta\)は

\begin{align*}\varTheta_{lm}(\cos\theta)=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-\vert m\vert)!}{(l+\vert m\vert)!}}P_l^{\vert m\vert}\tag{30}\end{align*}

となり、具体的な形は

\begin{align*}\varTheta_{00}(\cos\theta)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\varTheta_{10}(\cos\theta)&=\sqrt{\frac{3}{2}}\cos\theta\\\varTheta_{1,\pm1}(\cos\theta)&=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\\\varTheta_{20}(\cos\theta)&=\sqrt{\frac{5}{8}}(3\cos^2\theta-1)\\\varTheta_{2,\pm1}(\cos\theta)&=\frac{\sqrt{15}}{2}\sin\theta\cos\theta\\\varTheta_{2,\pm2}(\cos\theta)&=\frac{\sqrt{15}}{4}\sin^2\theta\\\vdots&\end{align*}

となる。

 ルジャンドルの陪微分方程式(15)は、\(m\)が整数で、\(l\)がゼロまたは正の整数で\(m\leqq l\)を満たすときにしか、物理的に意味のある解がない。そのため、ある整数\(l\)が与えられたとき、\(m\)の値は

\begin{align*}m=-l,-(l-1),\cdots,-1,0,1,\cdots,l+1,l\tag{31}\end{align*}

に制限される。

固有関数\(\psi_{lm}\)の形

 以上より、角運動量の2乗における固有関数は

\begin{align*}\psi_{lm}=R(r)\varTheta_{lm}(\theta)\varPhi_{m}(\varphi)\tag{7}\end{align*}

であり、固有値\(\lambda\)は式(21)より

\begin{align*}\lambda=l(l+1)\hbar^2\tag{32}\end{align*}

となる。このとき、\(l\)と\(m\)は

\begin{align*}l&=0,1,2,\cdots\tag{33}\\m&=-l,-(l-1),\cdots,-1,0,1,\cdots,l-1,l\tag{31}\end{align*}

となる。

球面調和関数

 角運動量の2乗における固有関数の中で、変数\(\theta\)と\(\varphi\)に依存する部分を合わせて球面調和関数\(Y_{lm}(\theta,\varphi)\)と呼び、水素原子におけるシュレーディンガー方程式で出番がまた来る。

\begin{align*}Y_{lm}(\theta,\varphi)=\varTheta_l(\theta)\varPhi_m(\varphi)\tag{34}\end{align*}

球面調和関数\(Y_{lm}(\theta,\varphi)\)を用いれば、角運動量の2乗における固有関数は

\begin{align*}\psi_{lm}=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)\tag{35}\end{align*}

と表せる。

 球面調和関数の具体的な形は以下になる。

\begin{align*}Y_{00}(\theta,\varphi)&=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\\Y_{10}(\theta,\varphi)&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\cos\theta\\Y_{1,\pm1}(\theta,\varphi)&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}\sin\theta\\Y_{20}(\theta,\varphi)e^{\pm i\varphi}&=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}(3\cos^2\theta-1)\\Y_{2,\pm1}(\theta,\varphi)&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\sin\theta\cos\theta e^{\pm i\varphi}\\Y_{2,\pm2}(\theta,\varphi)&=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\sin^2\theta e^{\pm 2i\varphi}\\\vdots&\end{align*}


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