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本ページでは…
本ページでは、電磁気学においてゲージ場\(A^\mu\)を考える理由について述べる。
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前ページでは、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の中で運動する電荷\(q\)の荷電粒子におけるラグランジアン\(L\)
\begin{align*}L=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-q\phi\end{align*}
とハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+q\phi\end{align*}
を求めた。
内容
電場·磁場とゲージ場
以前のページで、電場\(\boldsymbol E\)と磁場(正確には磁束密度)\(\boldsymbol B\)で表したマクスウェル方程式をゲージ場\(A^\mu\)を用いて表したが、電場\(\boldsymbol E\)·磁場\(\boldsymbol B\)とゲージ場\(A^\mu\)のどちらが本質的な場だろうか。
観測量からの観点
初めに、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)のゲージ変換について考えてみる。マクスウェル方程式はゲージ変換で不変のため、電場\(\boldsymbol E\)·磁場\(\boldsymbol B\)とゲージ変換された電場\(\boldsymbol E’\)·磁場\(\boldsymbol B’\)どちらもマクスウェル方程式を満たす。電場\(\boldsymbol E\)·磁場\(\boldsymbol B\)とゲージ場\(A^\mu\)
\begin{align*}A^\mu&=(\phi/c,\boldsymbol A)\\&=(A^0,A^1,A^2,A^3)\end{align*}
の関係性は
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{1}\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{2}\end{align*}
であり(以前のページを参照)、ゲージ場\(A^\mu\)が次のゲージ変換
\begin{align*}A^\mu(x)\rightarrow A’^\mu(x)=A^\mu(x)+\partial^\mu\varLambda(x)\tag{3}\end{align*}
されたとき、ゲージ変換された電場\(\boldsymbol E’\)と磁場\(\boldsymbol B’\)
\begin{align*}\boldsymbol B’&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A’\tag{4}\\\boldsymbol E’&=-\boldsymbol\nabla \phi’-\frac{\partial \boldsymbol A’}{\partial t}\tag{5}\end{align*}
は
\begin{align*}\boldsymbol B’&=\boldsymbol B\tag{4}\\\boldsymbol E’&=\boldsymbol E\tag{5}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol B’&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A’\\&=\left(\partial_1,\partial_2,\partial_3\right)×\left(A’^1,A’^2,A’^3\right)\\&=\left(\partial_1,\partial_2,\partial_3\right)×\left(A^1+\partial^1\varLambda,A^2+\partial^2\varLambda,A^3+\partial^3\varLambda\right)\\&=\left(\partial_2A^3+\partial_2\partial^3\varLambda-\partial_3A^2-\partial_3\partial^2\varLambda,\partial_3A^1+\partial_3\partial^1\varLambda-\partial_1A^3-\partial_1\partial^3\varLambda,\partial_1A^2+\partial_1\partial^2\varLambda-\partial_2A^1-\partial_2\partial^1\varLambda\right)\\&=\left(\partial_2A^3-\partial_3A^2,\partial_3A^1-\partial_1A^3,\partial_1A^2-\partial_2A^1\right)\\&=\left(\partial_1,\partial_2,\partial_3\right)×\left(A^1,A^2,A^3\right)\\&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\\&=\boldsymbol B\tag{4}\\\boldsymbol E’&=-\boldsymbol\nabla \phi’-\frac{\partial \boldsymbol A’}{\partial t}\\&=-c\boldsymbol\nabla A’^0-\frac{\partial \boldsymbol A’}{\partial t}\\&=\left(-c\partial_1A’^0-c\partial_0A’^1,-c\partial_2A’^0-c\partial_0A’^2,-c\partial_3A’^0-c\partial_0A’^3\right)\\&=\left(-c\partial_1A^0-c\partial_1\partial^0\varLambda-c\partial_0A^1-c\partial_0\partial^1\varLambda,-c\partial_2A^0-c\partial_2\partial^0\varLambda-c\partial_0A^2-c\partial_0\partial^2\varLambda,-c\partial_3A^0-c\partial_3\partial^0\varLambda-c\partial_0A^3-c\partial_0\partial^3\varLambda\right)\\&=\left(-c\partial_1A^0-c\partial_0A^1,-c\partial_2A^0-c\partial_0A^2,-c\partial_3A^0-c\partial_0A^3\right)\\&=-c\boldsymbol\nabla A^0-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\\&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\\&=\boldsymbol E\tag{5}\end{align*}
ここで、微分ベクトルの表記は次の通りである(以前のページを参照)。
\begin{align*}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial x^0}=\partial_0=\partial^0\\\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x^1}=\partial_1=-\partial^1\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x^2}=\partial_2=-\partial^2\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial x^3}=\partial_3=-\partial^3\end{align*}
となってゲージ変換で電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)は不変であることが分かる。よって、マクスウェル方程式の解として電場\(\boldsymbol E\)·磁場\(\boldsymbol B\)を一意的に決めることができ、電場\(\boldsymbol E\)·磁場\(\boldsymbol B\)は観測量とみなすことはできる。
次に、ゲージ場\(A^\mu\)のゲージ変換について考えてみる。マクスウェル方程式はゲージ変換で不変のため、ゲージ場\(A^\mu\)とゲージ変換
\begin{align*}A^\mu(x)\rightarrow A’^\mu(x)=A^\mu(x)+\partial^\mu\varLambda(x)\tag{3}\end{align*}
されたゲージ場\(A’^\mu\)どちらもマクスウェル方程式を満たす。もちろん、元のゲージ場\(A^\mu\)とゲージ変換されたゲージ場\(A’^\mu\)は一致しないため、ゲージ場\(A^\mu\)はゲージ変換で不変ではなく、マクスウェル方程式の解としてゲージ場\(A^\mu\)を一意的に決められず、ゲージ場\(A^\mu\)は観測量とみなすことはできない。
以上より、観測量という観点からはゲージ場\(A^\mu\)よりも電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の方が本質的な物理量であると思われ、実際に力場の作用を表すローレンツ力の式
\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E+q\boldsymbol v×\boldsymbol B\tag{6}\end{align*}
はゲージ場\(A^\mu\)ではなく電場\(\boldsymbol E\)·磁場\(\boldsymbol B\)で表されている。
解析力学·量子力学からの観点
では、解析力学·量子力学の観点から眺めるとどうだろうか。ローレンツ力の式
\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E+q\boldsymbol v×\boldsymbol B\tag{6}\end{align*}
は確かに電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)で表されていたが、ローレンツ力の式を導くラグランジアン\(L\)
\begin{align*}L=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-q\phi\tag{7}\end{align*}
とハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+q\phi\tag{8}\end{align*}
はゲージ場\(A^\mu\)で表されており、電場\(\boldsymbol E\)や磁場\(\boldsymbol B\)を用いて表すことはできなかった(前ページを参照)ため、ゲージ場\(A^\mu\)が重要となってくる。
例として、無限に長いソレノイドが置かれている状態を考える。このとき、ソレノイド内には磁場\(\boldsymbol B\)が存在するが、ソレノイド外では磁場\(\boldsymbol B\)はゼロであり、ソレノイド外の磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol B\)は定義式(1)より次の関係
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A&=\boldsymbol 0\tag{9}\end{align*}
を満たす。磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)に対してストークスの定理(以前のページを参照)
\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f)\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol l\tag{10}\end{align*}
を用いると
\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A)\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\tag{11}\end{align*}
となり、磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式(1)
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{1}\end{align*}
を用いると
\begin{align*}\int_S \boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\tag{12}\end{align*}
となる。そして、磁場\(\boldsymbol B\)は磁束の面密度である(以前のページを参照)ため、\(\int_S \boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S\)は面\(S\)を貫く磁束を表し、面\(S\)の縁である閉曲線\(C\)沿いの磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の線積分に等しいことが分かる。ここで、無限に長いソレノイドが貫くように面\(S\)を定めると、式(12)の左辺はゼロでない値をとり、閉曲線\(C\)沿いの磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)もゼロでない値をとる。つまり、このような例では、ソレノイド外の磁場\(\boldsymbol B\)はゼロであるにも関わらず、ソレノイド外の磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)はゼロにはならない。
この例に関して、解析力学においてラグランジアン\(L\)
\begin{align*}L=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-q\phi\tag{7}\end{align*}
をラグランジュの運動方程式
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}}-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol x}=0\tag{13}\end{align}
に代入してローレンツ力の式
\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E+q\boldsymbol v×\boldsymbol B\tag{6}\end{align*}
を導く際には問題にならない。なぜなら、磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)は回転\(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A\)となって(前ページを参照)、磁場\(\boldsymbol B\)としてローレンツ力の式に現れ、ソレノイド外では磁場はゼロとなってもちろんローレンツ力は働かないからである。
一方、この例に関して、ハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+q\phi\tag{8}\end{align*}
をそのまま用いる量子力学においては、磁場\(\boldsymbol B\)がゼロであっても磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)はゼロでなく、実際に粒子の運動に影響が出てくる。つまり、量子力学においてゲージ場\(A^\mu\)を本質的な場として考えなければ説明できない現象があることを示しており、そのような現象の例として次ページからアハラノフ-ボーム効果について述べていく。
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