HOME ＞ 物理数学 ＞ 微分方程式 ＞ルジャンドルの陪微分方程式
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、ルジャンドルの陪微分方程式
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P^{m}_{l}(x)-2x\frac{\text{d}}{\text{d}x}P^{m}_{l}(x)+\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]P^{m}_{l}( x)=0\end{align*}
において、\(l\)が\(0\)以上の整数\(\{l\in\mathbb{Z}\mid l≧0\}\)で\(m\)が\(0\)以上\(l\)以下の整数\(\{m\in\mathbb{Z}\mid l≧m≧0\}\)のときの解であるルジャンドル陪多項式
\begin{align*}P_{l}^{m}( x )&=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}(x)\\&=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\sum ^{[\frac{l-m}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-m-2k)!}x^{l-m-2k}\end{align*}
を求める。
前ページまで…
前ページでは、ルジャンドル多項式\(P_{l}( x )\)の母関数表示
\begin{align}G(P_{l}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{l=0}P_{l}( x )t^{l}\\&=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}\end{align}
と、ルジャンドル多項式を生成するロドリゲスの公式
\begin{align*}P_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\text{d}^{l}}{\text{d}x^{l}}(x^{2}-1)^{l}\end{align*}
を求めた。
内容
ルジャンドルの陪微分方程式とは
ルジャンドルの陪微分方程式とは二階の線形常微分方程式である
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P^{m}_{l}(x)-2x\frac{\text{d}}{\text{d}x}P^{m}_{l}(x)+\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]P^{m}_{l}( x)=0\tag{1}\end{align*}
のことを指し、ルジャンドルの微分方程式
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P_{l}(x)-2x\frac{\text{d}}{\text{d}x}P_{l}(x)+ l(l+1)P_{l}( x)=0\tag{2}\end{align*}
に変数\(m\)が新たに加わっている。
ルジャンドルの陪微分方程式(1)の解をルジャンドル陪関数と言い、\(l\)が\(0\)以上の整数\(\{l\in\mathbb{Z}\mid l≧0\}\)で\(m\)が\(0\)以上\(l\)以下の整数\(\{m\in\mathbb{Z}\mid l≧m≧0\}\)のときのルジャンドルの陪微分方程式の解は
\begin{align*}P_{l}^{m}( x )&=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}(x)\\&=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\sum ^{[\frac{l-m}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-m-2k)!}x^{l-m-2k}\tag{3}\end{align*}
となりルジャンドル陪多項式と呼ばれている。ここで「陪」という漢字が頭についているが、陪には「つきそう、したがう、つきしたがう」という意味があり、陪微分方程式および陪多項式は元の微分方程式および多項式と関係があることからこのように呼ばれている。
量子力学において「角運動量の2乗における固有値方程式」や「水素原子におけるシュレーディンガー方程式」を変数分離した際に現れる角度座標\(\theta\)に関する微分方程式はルジャンドルの陪微分方程式であり、その解はルジャンドル陪多項式である。
ルジャンドル陪多項式の導出
\(\{l\in\mathbb{Z}\mid l≧0\}\)および\(\{m\in\mathbb{Z}\mid l≧m≧0\}\)のときのルジャンドルの陪微分方程式を解き、ルジャンドル陪多項式を求める。
はじめに、\(l\)次のルジャンドル多項式\(P_{l}( x )\)が解となるルジャンドルの微分方程式
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P_{l}(x)-2x\frac{\text{d}}{\text{d}x}P_{l}(x)+ l(l+1)P_{l}( x)=0\tag{2}\end{align*}
を\(m\)階微分すると
\begin{align*}\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[(1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P_{l}(x)\right]-\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[2x\frac{\text{d}}{\text{d}x}P_{l}(x)\right]+ \frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[ l(l+1)P_{l}( x)\right]=0\tag{4}\end{align*}
となるためそれぞれの項を計算する。式(4)の左辺第1項を計算すると
\begin{align*}&\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[ (1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P_{l}(x)\right]\\&=\frac{\text{d}^{m-1}}{\text{d}x^{m-1}}\left[-2x \frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P_{l}(x)+(1-x^{2})\frac{\text{d}^{3}}{\text{d}x^{3}}P_{l}(x)\right]\\&=\frac{\text{d}^{m-2}}{\text{d}x^{m-2}}\left[ -2\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}^{2}x}P_{l}(x)-2x\frac{\text{d}^{3}}{\text{d}^{3}x}P_{l}(x)-2x\frac{\text{d}^{3}}{\text{d}x^{3}}P_{l}(x)+(1-x^{2})\frac{\text{d}^{4}}{\text{d}x^{4}}P_{l}(x)\right]\\&=\cdots\\&=-m(m-1)\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}(x)-2mx\frac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}P_{l}(x)+(1-x^{2})\frac{\text{d}^{m+2}}{\text{d}x^{m+2}}P_{l}( x )\tag{5}\end{align*}
と変形でき、式(4)の左辺第2項は
\begin{align*}&-\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[2x\frac{\text{d}}{\text{d}x}P_{l}(x)\right]\\&=-\frac{\text{d}^{m-1}}{\text{d}x^{m-1}}\left[ 2\frac{\text{d}}{\text{d}x}P_{l}( x )+2x\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P_{l}( x )\right]\\&=-\frac{\text{d}^{m-2}}{\text{d}x^{m-2}}\left[2\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}^{2}x}P_{l}( x)+2\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P_{l}( x)+2x\frac{\text{d}^{3}}{\text{d}x^{3}}P_{l}( x )\right]\\&=\cdot\cdot\cdot\\&=-2m\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}( x )+2x\frac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}P_{l}(x)\tag{6}\end{align*}
と変形できる。そして、式(5)と式(6)を式(4)に代入すると
\begin{align*}-m(m-1)\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}(x)-2mx\frac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}P_{l}(x)+(1-x^{2})\frac{\text{d}^{m+2}}{\text{d}x^{m+2}}P_{l}( x )-2m\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}( x )+2x\frac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}P_{l}(x)+ \frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\left[ l(l+1)P_{l}( x)\right]=0\tag{7}\end{align*}
となり、整理すると
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{\text{d}^{m+2}}{\text{d}x^{m+2}}P_{l}( x )-2x (m+1 )\frac{\text{d}^{m+1}}{\text{d}x^{m+1}}P_{l}( x ) +(l^{2}+l-m^{2}-m)\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}( x ) =0\tag{8}\end{align*}
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}\left[\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}( x )\right]-2x (m+1 )\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}( x )\right] +(l^{2}+l-m^{2}-m)\left[\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}( x )\right] =0\tag{9}\end{align*}
となる。ここで、式(9)とルジャンドルの陪微分方程式
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}P^{m}_{l}(x)-2x\frac{\text{d}}{\text{d}x}P^{m}_{l}(x)+\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]P^{m}_{l}( x)=0\tag{1}\end{align*}
と見比べると、かなり近い形となっていることがわかる。ここで、
\begin{align*}\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}(x)=(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}v(x)\tag{10}\end{align*}
と仮定して、式(9)に代入すると、
\begin{align*}(1-x^{2})\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}\left[(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}v( x )\right]-2 x(m+1 )\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}v( x )\right] +(l^{2}+l-m^{2}-m)\left[(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}v( x )\right] =0\tag{11}\end{align*}
となり、2項目に現れる一階微分は
\begin{align*}&\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}v( x )\right]\\&=(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}v'(x)+mx(1-x^2)^{-\frac{m}{2}-1}v(x)\\&=(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}\left(v'(x)+\frac{mxv(x)}{1-x^2}\right)\tag{12}\end{align*}
であり、1項目に現れる二階微分は
\begin{align*}&\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}\left[(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}v( x )\right]\\&=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}\left(v'(x)+\frac{mxv(x)}{1-x^2}\right)\right]\\&=mx(1-x^2)^{-\frac{m}{2}-1}\left(v'(x)+\frac{mxv(x)}{1-x^2}\right)+(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}\left(v'{}'(x)+\frac{mv(x)}{1-x^2}+\frac{mxv'(x)}{1-x^2}+\frac{2mx^2v(x)}{(1-x^2)^2}\right)\\&=(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}\left(v'{}'(x)+\frac{2mxv'(x)}{1-x^2}+\frac{mv(x)}{1-x^2}+\frac{m(m+2)x^2v(x)}{(1-x^2)^2}\right)\tag{13}\end{align*}
であるから、
\begin{align*}&(1-x^2)v'{}'(x)+2mxv'(x)+mv(x)+\frac{m(m+2)x^2v(x)}{1-x^2}\\&-2x(m+1)v'(x)-\frac{2m(m+1)x^2v(x)}{1-x^2}\\&+(l^{2}+l-m^{2}-m)v(x)=0\\&\rightarrow (1-x^{2})v'{}'(x)-2xv'(x)+\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]v( x)=0\tag{14}\end{align*}
であることがわかり、式(14)はルジャンドルの陪微分方程式(1)と同じ形をしているため関数\(v(x)\)がルジャンドル陪多項式であると分かる。よって、式(10)よりルジャンドル陪多項式は
\begin{align*}P_{l}^m(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}P_{l}(x)\tag{3}\end{align*}
である。
次にルジャンドル陪多項式の具体的な形を求める。式(3)に前回導出したルジャンドル多項式
\begin{align*}P_{l}(x)=\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-2k)!}x^{l-2k}\tag{15}\end{align*}
を代入すると、ルジャンドル陪多項式の具体的な形
\begin{align*}P_{l}^{m}( x )&=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{\text{d}^{m}}{\text{d}x^{m}}\sum ^{[\frac{l}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-2k)!}x^{l-2k}\\&=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\sum ^{[\frac{l-m}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!(l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-2k)!(l-m-2k)!}x^{l-m-2k}\\&=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\sum ^{[\frac{l-m}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-m-2k)!}x^{l-m-2k}\tag{3}\end{align*}
が得られる。総和の上限が\(k=[\frac{l}{2}]\)から\(k=[\frac{l-m}{2}]\)に置き換わったのは、\(k\)が\([\frac{l-m}{2}]\)より大きいとき\(m\)階微分されると\(0\)になるからである。
ルジャンドル陪多項式の具体例
求めたルジャンドル陪多項式(3)から具体的な形を求めると次のようになる。
\begin{align*}P_{l}^{m}( x )&=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\sum ^{[\frac{l-m}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2l-2k)!}{2^{l}k!(l-k)!(l-m-2k)!}x^{l-m-2k}\tag{3}\\P_{0}^{0}( x )&=(1-x^2)^{\frac{0}{2}}\sum ^{[\frac{0-0}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(0-0)!}{2^{0}0!(0-0)!(0-0-2k)!}x^{0-0-2k}=1\\P_{1}^{0}( x )&=(1-x^2)^{\frac{0}{2}}\sum ^{[\frac{1-0}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2-2k)!}{2^{1}k!(1-k)!(1-0-2k)!}x^{1-0-2k}=x\\P_{1}^{1}( x )&=(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\sum ^{[\frac{1-1}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(2-2k)!}{2^{1}k!(1-k)!(1-1-2k)!}x^{1-1-2k}=(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\\P_{2}^{0}( x )&=(1-x^2)^{\frac{0}{2}}\sum ^{[\frac{2-0}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(4-2k)!}{2^{2}k!(2-k)!(2-0-2k)!}x^{2-0-2k}=\frac{1}{2}(3x^2-1)\\P_{2}^{1}( x )&=(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\sum ^{[\frac{2-1}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(4-2k)!}{2^{2}k!(2-k)!(2-1-2k)!}x^{2-1-2k}=3(1-x^2)^{\frac{1}{2}}x\\P_{2}^{2}( x )&=(1-x^2)^{\frac{2}{2}}\sum ^{[\frac{2-2}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(4-2k)!}{2^{2}k!(2-k)!(2-2-2k)!}x^{2-2-2k}=3(1-x^2)\\P_{3}^{0}( x )&=(1-x^2)^{\frac{0}{2}}\sum ^{[\frac{3-0}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(6-2k)!}{2^{3}k!(3-k)!(3-0-2k)!}x^{3-0-2k}=\frac{5}{2}x^3-\frac{3}{2}x\\P_{3}^{1}( x )&=(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\sum ^{[\frac{3-1}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(6-2k)!}{2^{3}k!(3-k)!(3-1-2k)!}x^{3-1-2k}=\frac{3}{2}(1-x^2)^{\frac{1}{2}}(5x^2-1)\\P_{3}^{2}( x )&=(1-x^2)^{\frac{2}{2}}\sum ^{[\frac{3-2}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(6-2k)!}{2^{3}k!(3-k)!(3-2-2k)!}x^{3-2-2k}=15(1-x^2)x\\P_{3}^{3}( x )&=(1-x^2)^{\frac{3}{2}}\sum ^{[\frac{3-3}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(6-2k)!}{2^{3}k!(3-k)!(3-3-2k)!}x^{3-3-2k}=15(1-x^2)^{\frac{3}{2}}\\P_{4}^{0}( x )&=(1-x^2)^{\frac{0}{2}}\sum ^{[\frac{4-0}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(8-2k)!}{2^{4}k!(4-k)!(4-0-2k)!}x^{4-0-2k}=\frac{35}{8}x^4-\frac{15}{4}x^2+\frac{3}{8}\\P_{4}^{1}( x )&=(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\sum ^{[\frac{4-1}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(8-2k)!}{2^{4}k!(4-k)!(4-1-2k)!}x^{4-1-2k}=\frac{5}{2}(1-x^2)^{\frac{1}{2}}(7x^3-3x)\\P_{4}^{2}( x )&=(1-x^2)^{\frac{2}{2}}\sum ^{[\frac{4-2}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(8-2k)!}{2^{4}k!(4-k)!(4-2-2k)!}x^{4-2-2k}=\frac{15}{2}(1-x^2)(7x^2-1)\\P_{4}^{3}( x )&=(1-x^2)^{\frac{3}{2}}\sum ^{[\frac{4-3}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(8-2k)!}{2^{4}k!(4-k)!(4-3-2k)!}x^{4-3-2k}=105(1-x^2)^{\frac{3}{2}}x\\P_{4}^{4}( x )&=(1-x^2)^{\frac{4}{2}}\sum ^{[\frac{4-4}{2}]}_{k=0}\frac{(-1)^{k}(8-2k)!}{2^{4}k!(4-k)!(4-4-2k)!}x^{4-4-2k}=105(1-x^2)^2\end{align*}
次ページから…
量子力学ではルジャンドル陪多項式の「直交関係」を使うことがあるため、次ページでは直交関係を見るために使用するルジャンドル陪多項式の母関数表示を求める。
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 物理数学 ＞ 微分方程式 ＞ルジャンドルの陪微分方程式
