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本ページでは、量子力学で現れるルジャンドル陪多項式の直交関係
\begin{align*}\int_{-1}^{1}P_{l}^{m}( x )P_{q}^{m}( x )\text{d}x=\frac{2}{2l+1}\frac{(p+m)!}{(p-m)!}\delta_{lq}\end{align*}
または
\begin{align*}\int_{0}^{\pi}P_{l}^{m}( \cos\theta)P_{q}^{m}(\cos\theta)\sin\text{d}\theta=\frac{2}{2l+1}\frac{(p+m)!}{(p-m)!}\delta_{lq}\end{align*}
を求める。
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前ページでは、ルジャンドル陪多項式\(P_{l}^m( x )\)の母関数表示
\begin{align*} G(P_{l}^{m}( x );t) &=\left(\frac{t}{2}\right)^{m} \frac{(2m)!}{m!}\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-2xt+t^{2}}\right)^{m}\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}\end{align*}
と、ルジャンドル陪多項式を生成するロドリゲスの公式
\begin{align*}P^{m}_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}(x^{2}-1)^{l} \end{align*}
を求めた。
内容
ルジャンドル陪多項式の直交関係
今回は、量子力学の「角運動量の2乗における固有値方程式」や「水素原子におけるシュレーディンガー方程式」を解く際に現れるルジャンドル陪多項式の直交関係を見る。このときの直交関係は
\begin{align*}\int_{0}^{\pi}P_{l}^{m}( \cos\theta)P_{q}^{m}(\cos\theta)\sin\text{d}\theta=\frac{2}{2l+1}\frac{(p+m)!}{(p-m)!}\delta_{lq}\tag{1}\end{align*}
であり、\(\cos\theta=x\)を用いて\(x\)に関する式にすると
\begin{align*}\int_{-1}^{1}P_{l}^{m}( x )P_{q}^{m}( x )\text{d}x=\frac{2}{2l+1}\frac{(p+m)!}{(p-m)!}\delta_{lq}\tag{2}\end{align*}
となる。2つのルジャンドル陪多項式の積の順は自由に交換出来るため、以後、\(q\leqq l\)とする。
直交関係の導出
はじめに、直交関係式(2)の左辺にロドリゲスの公式
\begin{align*}P^{m}_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}(x^{2}-1)^{l} \tag{3}\end{align*}
を代入すると
\begin{align*}&\int_{-1}^{1}P_{l}^{m}( x )P_{q}^{m}( x )\text{d}x\\&=\frac{1}{2^{l+q}l!q!}\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{m}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}(x^{2}-1)^{l}\frac{\text{d}^{q+m}}{\text{d}x^{q+m}}(x^{2}-1)^{q}\text{d}x\\&=\frac{(-1)^{m}}{2^{l+q}l!q!}\int_{-1}^{1} (x^2-1)^{m}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+ m}}(x^{2}-1)^{l}\frac{\text{d}^{q+m}}{\text{d}x^{q+m}}(x^{2}-1)^{q}\text{d}x\\&=\frac{(-1)^{m}}{2^{l+q}l!q!}\int_{-1}^{1} X^{m}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}X^{l}\frac{\text{d}^{q+m}}{\text{d}x^{q+m}}X^{q}\text{d}x\tag{4}\end{align*}
となるが、最後の行で見やすくするために\(X=x^{2}-1\)と置いた。\(q\leqq l\)のため、次のように部分積分を行なってみると
\begin{align*}&\int_{-1}^{1}P_{l}^{m}( x )P_{q}^{m}( x )\text{d}x\\&=\frac{(-1)^{m}}{2^{l+q}l!q!}\left\{\left[ X^{m}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}X^{l}\frac{\text{d}^{q+m-1}}{\text{d}x^{q+m-1}}X^{q}\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1} \left\{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(X^{m}\frac{\text{d}^{l+ m}}{\text{d}x^{l+m}}X^{l}\right)\right\}\frac{\text{d}^{q+ m-1}}{\text{d}x^{q+ m-1}}X^{q}\right\}\tag{5}\end{align*}
と変形できるが、第一項では \(x= \pm1\)を代入すると\(X^{m}=0\)となる。部分積分を\(a\)回目繰り返えすと、\(a=m\)回目までは第一項の\( \frac{\text{d}^{a-1}}{\text{d}x ^{a-1} }\left(X^{ m}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}X^{l}\right) \)が\(0\)となり、\(a=m+1\)回目からは第一項の\(\frac{\text{d}^{q+ m-a}}{\text{d}x^{q+ m-a}}X^{q}\)が\(0\)となる。部分積分を\(a=q+m\)回目繰り返えすと
\begin{align*}\int_{-1}^{1}P_{l}^{m}( x )P_{q}^{m}( x )\text{d}x=\frac{(-1)^{q+2m}}{2^{l+q}l!q!}\int_{-1}^{1} \left\{\frac{\text{d}^{q+ m}}{\text{d}x^{q+m}}\left(X^{m}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}X^{l}\right)\right\}X^{q}\text{d}x\tag{6}\end{align*}
とシンプルになる。このとき部分積分で生じた\((-1)^{q+m}\)をかけていることに注意する。また、\(l\text{<}q\)のとき\(\{\}\)内はゼロになるため、\(q\leqq l\)でなけれならない。式(6)にライプニッツの公式
\begin{align*}\dfrac{\text{d}^{n}}{\text{d}x^{n}}[f(x)g(x)]&=\sum ^{n }_{k=0}{}_n \mathrm{C} _k\left[\dfrac{\text{d}^{n-k}}{\text{d}x^{n-k}}f(x)\right]\left[\dfrac{\text{d}^{k}}{\text{d}x^{k}}g(x)\right]\\&=\sum ^{n }_{k=0}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\left[\dfrac{\text{d}^{n-k}}{\text{d}x^{n-k}}f(x)\right]\left[\dfrac{\text{d}^{n}}{\text{d}x^{k}}g(x)\right]\tag{7}\end{align*}
を被積分関数に用いると
\begin{align*}X^{q}\frac{\text{d}^{q+m}}{\text{d}x^{q+m}}\left(X^{m}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}X^{l}\right)=X^{q}\sum_{k=0}^{q+m}\frac{(q+m)!}{k!(q+ m-k)!}\frac{\text{d}^{q+m-k}}{\text{d}x^{q+ m-k}}X^{m}\frac{\text{d}^{l+m+k}}{\text{d}x^{l+m+k}}X^{l}\tag{8}\end{align*}
となるが、\(X^{m}\)と \(X^{l}\)の最高次数は\(2m\)と \(2l\)であるため、 \(2 m\)階と \(2l\)階を越える微分は\(0\)となる。つまり、\(0\)とならない項は\(q+ m-k \leq 2 m\)かつ\(l+m+k \leq 2l\)の項だけであり、整理すると \(q-m \leq k\)かつ\(k \leq l-m\)の項となる。
\(l\neq q\)のとき
\(q\leqq l\)であるから、\(l\neq q\)のときは\(q\text{<}l\)となり、\(q-m \leq k\)かつ\(k \leq l-m\)の条件を満たせず、式(6)の全ての項はゼロとなる。
\begin{align*}\int_{-1}^{1}P_{l}^{m}( x )P_{q}^{m}( x )\text{d}x=0\tag{9}\end{align*}
\(l=q\)のとき
式(6)の全ての項がゼロにならないためには\(l=q\)でなければはらず、\(l=q\)のときに\(0\)とならない項は\(k=l-m\)の項のみであるため、式(6)は
\begin{align*}\int_{-1}^{1}\left\{P_{l}^{m}( x )\right\}^2\text{d}x&=\frac{(-1)^{l+2m}(l+m)!}{2^{2l}(l!)^2(l-m)!(2 m)!}\int_{-1}^{1}X^{l}\frac{\text{d}^{2 m}}{\text{d}x^{2 m}}X^{m}\frac{\text{d}^{2l}}{\text{d}x^{2l}}X^{l} \text{d}x \tag{10}\end{align*}
となる。最後に
\begin{align*}\frac{\text{d}^{2m}}{\text{d}x^{2m}}X^{m}&=\frac{\text{d}^{2m}}{\text{d}x^{2m}}(x^2-1)^{m}\\&=\frac{\text{d}^{2 m}}{\text{d}x^{2m}}(x^{2m}- mx^{2m-2}+\cdots)\\&=(2 m)! \tag{8} \\ \frac{\text{d}^{2l}}{\text{d}x^{2l}}X^{l}&=(2l)!\tag{11}\end{align*}
を用いると
\begin{align*}\int_{-1}^{1}\left\{P_{l}^{m}( x )\right\}^2\text{d}x&=\frac{(-1)^{l+2 m}(2l)!(l+ m)!}{2^{2l}(l!)^2(l-m)!}\int_{-1}^{1}X^{l}\text{d}x \\&=\frac{(2l)!(l+m)!}{2^{2l}(l!)^2(l-m)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{2l+1} \theta\text{d}\theta\tag{12}\end{align*}
となる。二行目への変換では\(x=\cos \theta \)を用いて \(X^l=(\cos^2\theta-1)^l=(-1)^l\sin^{2l}\theta \)と \(\text{d}x=-\sin \theta \text{d} \theta \)の関係を用いた。積分部分は
\begin{align*}\int_{0}^{\pi}\sin^{2l+1} \theta\text{d}\theta=\frac{2}{2l+1}\frac{2^{2l}(l!)^2}{(2l)!}\tag{13}\end{align*}
であるから
\begin{align*}\int_{-1}^{1}\left\{P_{l}^{m}( x )\right\}^2\text{d}x=\frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\tag{14}\end{align*}
となる。
直交関係のまとめ
式(9)と式(14)をまとめると、
\begin{align*}\int_{-1}^{1}P_{l}^{m}( x )P_{q}^{m}( x )\text{d}x=\frac{2}{2l+1}\frac{(p+m)!}{(p-m)!}\delta_{lq}\tag{2}\end{align*}
となり、量子力学で現れる形にするため\(x=\cos\theta\)とすると
\begin{align*}\int_{0}^{\pi}P_{l}^{m}( \cos\theta)P_{q}^{m}(\cos\theta)\sin\text{d}\theta=\frac{2}{2l+1}\frac{(p+m)!}{(p-m)!}\delta_{lq}\tag{1}\end{align*}
が得られる。
次ページから…
次ページでは、ラゲールの微分方程式の解であるラゲール多項式を求める。
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