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本ページでは、有限の深さの井戸型ポテンシャル
\begin{align*}V=V_1&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2},\frac{a}{2}\leqq x\\V=0&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\end{align*}
における束縛状態\(E\text{＜}V_1\)において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式から波動関数の形を求め、トンネル効果と呼ばれる現象が見られることを確認する。
また、波動関数の形は、最低エネルギー準位から偶関数、奇関数、偶関数⋯となり、エネルギー準位の数\(N\)は次の関係式
\begin{align*}\frac{\pi}{2}(N-1)\text{＜}\frac{\sqrt{2mV_1}a}{2\hbar}\leqq\frac{\pi}{2}N\end{align*}
を満たすことを確認する。
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前ページでは、有限の深さの井戸型ポテンシャル
\begin{align*}V=V_1&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2},\frac{a}{2}\leqq x\\V=0&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\end{align*}
における時間に依存しないシュレーディンガー方程式
\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\right)\psi_n=E\psi_n\tag{1}\end{align*}
を導き、井戸の外で\(E\text{＜}V_1\)となる束縛状態と\(V_1\text{＜}E\)となる散乱状態が存在することを確認した。
内容
束縛状態
井戸の外において(\(0\text{＜}E\text{＜}V_1\))となる束縛状態の時、微分方程式(1)の一般解は
\begin{align*}\psi_n=C_1e^{k’x}+D_1e^{-k’x}&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2}\tag{2}\\\psi_n=A\cos kx+B\sin kx&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\tag{3}\\\psi_n=C_2e^{k’x}+D_2e^{-k’x}&\ \ \ \ \frac{a}{2}\leqq x\tag{4}\end{align*}
となる。ここで、波数\(k\)と\(k’\)を
\begin{align*}k&=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{5}\\k’&=\frac{\sqrt{2m(V_1-E)}}{\hbar}\tag{6}\end{align*}
と置いた(以前のページで、井戸の中の一般解を複素指数関数で表したが、定数\(A\),\(B\)を複素数にすれば式(3)もそのように表せる)。
確率密度が有限の値になるように波動関数\(\psi_n\)は無限遠でゼロにならなければならないため、
\begin{align*}\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\psi_{n}(x)&=0\tag{7}\end{align*}
より、\(D_1=C_2=0\)でなければならないことが分かる。
次に、井戸の境界で波動関数は連続
\begin{align*}\lim_{x\rightarrow\pm a/2-0}\psi_{n}(x)&=\lim_{x\rightarrow\pm a/2+0}\psi_{n}(x)\tag{8}\end{align*}
でなければならないため、式(2)と(3)に\(x=-a/2\)を、式(3)と式(4)に\(x=+a/2\)を代入して等号で結ぶと
\begin{align*}C_1e^{-k’a/2}&=A\cos\left(- \frac{ka}{2}\right)+B\sin\left(-\frac{ka}{2}\right)\tag{9}\\D_2e^{-k’a/2}&=A\cos \frac{ka}{2}+B\sin \frac{ka}{2}\tag{10}\end{align*}
となる。そして、式(9)と式(10)の和と差をとると
\begin{align*}(C_1+D_2)e^{-k’a/2}&=2A\cos\frac{ka}{2}\tag{11}\\(C_1-D_2)e^{-k’a/2}&=-2B\sin\frac{ka}{2}\tag{12}\end{align*}
が得られる。
最後に、井戸の境界で波動関数は微分可能
\begin{align*}\lim_{x\rightarrow\pm a/2-0}\psi_{n}'(x)&=\lim_{x\rightarrow\pm a/2+0}\psi_{n}'(x)\tag{13}\end{align*}
でなければならないため、式(2)と(3)を微分して\(x=-a/2\)を、式(3)と式(4)を微分して\(x=+a/2\)を代入して等号で結ぶと
\begin{align*}k’C_1e^{-k’a/2}&=-kA\sin\left(- \frac{ka}{2}\right)+kB\cos\left(-\frac{ka}{2}\right)\tag{14}\\-k’D_2e^{-k’a/2}&=-kA\sin \frac{ka}{2}+kB\cos \frac{ka}{2}\tag{15}\end{align*}
となる。そして、式(14)と式(15)の和と差をとると
\begin{align*}k'(C_1-D_2)e^{-k’a/2}&=2kB\cos\frac{ka}{2}\tag{16}\\k'(C_1+D_2)e^{-k’a/2}&=2kA\sin\frac{ka}{2}\tag{17}\end{align*}
が得られる。式(11)を式(17)に、式(12)を式(16)に代入すると、
\begin{align*}2k’A\cos\frac{ka}{2}&=2kA\sin\frac{ka}{2}\tag{18}\\-2k’B\sin\frac{ka}{2}&=2kB\cos\frac{ka}{2}\tag{19}\end{align*}
となり、どのような\(k\),\(k’\)でも式(18)と式(19)の両式が成り立つためには\(A\)または\(B\)どちらかがゼロにならなければならない。
波動関数が偶関数のとき
\(B\)がゼロのとき、式(16)より\(C_1=D_2\)となり、波動関数は
\begin{align*}\psi_n=C_1e^{-k’x}&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2}\tag{20}\\\psi_n=A\cos kx&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\tag{21}\\\psi_n=C_1e^{k’x}&\ \ \ \ \frac{a}{2}\leqq x\tag{22}\end{align*}
となり、偶関数になることが分かる。
古典的には粒子が存在できない\(E\text{＜}V_1\)となる井戸の外でも、量子力学では波動関数が存在することが分かる。この現象をトンネル効果とよぶ。
波動関数が奇関数のとき
\(A\)がゼロのとき、式(17)より\(C_1=-D_2\)となり、波動関数は
\begin{align*}\psi_n=C_1e^{-k’x}&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2}\tag{23}\\\psi_n=B\sin kx&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\tag{24}\\\psi_n=-C_1e^{k’x}&\ \ \ \ \frac{a}{2}\leqq x\tag{25}\end{align*}
となり、奇関数になることが分かる。奇関数においても、偶関数と同様にトンネル効果が見られる。
束縛状態のエネルギー準位
波動関数が偶関数のときのエネルギー準位は式(18)から導かれる式(26)を、奇関数のときのエネルギー準位は式(19)から導かれる式(27)を満たす。
\begin{align*}\frac{k’}{k}&=\tan\frac{ka}{2}\tag{26}\\\frac{k’}{k}&=-\frac{1}{\tan\frac{ka}{2}}\\&=\tan\left(\frac{ka}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\tag{27}\end{align*}
これらの式より、エネルギー準位は次のグラフ
\begin{align*}y(E)&=\frac{k’}{k}=\frac{\sqrt{V_1-E}}{\sqrt{E}}\tag{28}\end{align*}
と次のどちらかのグラフ
\begin{align*}y(E)&=\tan\frac{ka}{2}=\tan\frac{\sqrt{2mE}a}{2\hbar}\tag{29}\\y(E)&=\tan\left(\frac{ka}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\sqrt{2mE}a}{2\hbar}+\frac{\pi}{2}\right)\tag{30}\end{align*}
との交点となる。ここで、\(0\text{＜} E\text{＜}V_1\)の範囲において、グラフ(28)は常に正であり、正の無限大からゼロを目指して減少していくことに注意する。
次の条件式
\begin{align*}\frac{\pi}{2}(n-1)\text{＜}\frac{\sqrt{2mE}a}{2\hbar}\text{＜}\frac{\pi}{2}n\tag{31}\end{align*}
において、\(\tan\)関数であるグラフ(29)は\(n=1,3,5,\cdots\)のとき、グラフ(30)は\(n=2,4,6,\cdots\)のとき常に正の値をとる。そのため、\(0\text{＜}E\text{＜}V_1\)の範囲において、最初にグラフ(28)は\(n=1\)の範囲でグラフ(29)と交わり、最もエネルギー準位が低い基底状態は偶関数になって、零点エネルギーを持つ。次にグラフ(28)は\(n=2\)の範囲でグラフ(30)と交わり、2番目に低いエネルギー準位では奇関数になる。以後繰り返して、エネルギー準位は、偶関数、奇関数、偶関数⋯を繰り返していく。
グラフ(28)と\(E\)軸の交点では
\begin{align*}E=V_1\tag{32}\end{align*}
であり、井戸の外のポテンシャルエネルギー\(V_1\)が
\begin{align*}\frac{\pi}{2}(N-1)\text{＜}\frac{\sqrt{2mV_1}a}{2\hbar}\leqq\frac{\pi}{2}N\tag{33}\end{align*}
の関係を満たすとき、グラフ(28)とグラフ(29)またはグラフ(30)と次の範囲
\begin{align*}\frac{\pi}{2}(N-1)\text{＜}\frac{\sqrt{2mE}a}{2\hbar}\text{＜}\frac{\pi}{2}N\tag{34}\end{align*}
で必ず交わる。この交わった点が最高エネルギー準位であり、この束縛状態には\(N\)個のエネルギー準位があることがわかる。
エネルギー固有関数まとめ
有限の深さの井戸型ポテンシャルにおける束縛状態において、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)の形は、偶関数では
\begin{align*}\Psi_n=C_1e^{-k’x}e^{-i(E/\hbar)t}&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2}\tag{35}\\\Psi_n=A\left(\cos kx\right)e^{-i(E/\hbar)t}&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\tag{36}\\\Psi_n=C_1e^{k’x}e^{-i(E/\hbar)t}&\ \ \ \ \frac{a}{2}\leqq x\tag{37}\end{align*}
奇関数では
\begin{align*}\Psi_n=C_1e^{-k’x}e^{-i(E/\hbar)t}&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2}\tag{38}\\\Psi_n=B\left(\sin kx\right)e^{-i(E/\hbar)t}&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\tag{39}\\\Psi_n=-C_1e^{k’x}e^{-i(E/\hbar)t}&\ \ \ \ \frac{a}{2}\leqq x\tag{40}\end{align*}
となる。
式(35)から式(40)を見ると、\(e^{-i(E/\hbar)t}\)は複素周期関数であるため、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)は振幅が\(\vert\psi_n\vert\)の定常波であることが分かる。また、エネルギー固有値が不連続であり、最低エネルギー準位は有限の値の零点エネルギーと持つ。
運動量固有関数
以前のページで述べたが、ある古典物理量の演算子\(\hat F’\)に対応する固有関数系\(\{\phi_j\}\)の1次結合によって、他の古典物理量の演算子\(\hat F\)に対応するどのような固有関数\(\varPsi_i\)も表せる。
井戸の中のエネルギー固有関数\(\varPsi_n\)
\begin{align*}\varPsi_n&=A\left(\cos kx\right)e^{-i(E/\hbar)t},\ B\left(\sin kx\right)e^{-i(E/\hbar)t}\\&\propto\cos kx,\ \sin kx\tag{41}\end{align*}
を運動量演算子\(\hat p_x\)
\begin{align*}\hat p_x=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\tag{42}\end{align*}
に対応する固有関数系
\begin{align*}\phi_{p_x}&\propto e^{i(p/\hbar)x}\tag{43}\end{align*}
の1次結合で表してみると、エネルギー固有関数は
\begin{align*}\varPsi_n&\propto\cos kx,\ \sin kx\\&\propto e^{ikx}\pm e^{-ikx}\\&=e^{i(\vert p_x\vert/\hbar)x}\pm e^{-i(\vert p_x\vert/\hbar)x}\\&\propto\phi_{p_x}\pm \phi_{-p_x}\tag{44}\end{align*}
となり、運動量\(p_x\)の固有関数と運動量\(-p_x\)の固有関数との1次結合で表されることが分かる。
※※※式(26)の2行目への変換ではオイラーの公式を用い、3行目への変換では波数\(k\)と運動量の絶対値\(\vert p_x\vert\)の関係であるド・ブロイの式
\begin{align*}k&=\vert p_x\vert/\hbar\tag{46}\end{align*}
を用いた。※※※
そのため、無限に深い井戸型ポテンシャルの時と同様に井戸の中ではエネルギー固有状態と運動量固有状態は一致しておらず、エネルギー固有状態は2つの逆向きの運動量固有状態の1次結合で表され、井戸の中にある自由粒子の運動量の大きさ\(\vert p\vert\)は確定するが、どちらの方向に移動しているかは決まらない。
次に井戸の外のエネルギー固有関数\(\varPsi_n\)
\begin{align*}\varPsi_n=C_1e^{k’x}e^{-i(E/\hbar)t}\ \ \ \ &x\leqq-\frac{a}{2}\tag{47}\\\varPsi_n=C_1e^{- k’x}e^{-i(E/\hbar)t}\ \ \ &\frac{a}{2}\leqq x\tag{48}\end{align*}
を運動量演算子\(\hat p\)に対応する固有関数系の1次結合で表してみると、エネルギー固有関数は\(x\leqq-\frac{a}{2}\)のとき
\begin{align*}\varPsi_n&\propto e^{k’x}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty da\ \frac{1}{k’+ia}e^{-iax}\\&\propto\int_{-\infty}^\infty dp’_x\ \frac{1}{k’+ip’_x/\hbar}e^{-i(p’_x/\hbar)x}\tag{49}\end{align*}
、\(\frac{a}{2}\leqq x\)のとき
\begin{align*}\varPsi_n&\propto e^{-k’x}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty da\ \frac{1}{k’+ia}e^{iax}\\&\propto\int_{-\infty}^\infty dp’_x\ \frac{1}{ k’+ip’_x/\hbar}e^{i(p’_x/\hbar)x}\tag{50}\end{align*}
となり、あらゆる運動量\(p’_x\)の固有関数の1次結合で表されることが分かる。つまり、トンネル効果中の粒子の運動量は完全に不定である。ただし、固有関数の係数は\(\frac{1}{k’+ip’_x/\hbar}\)であるため、運動量\(p’_x\)が大きい固有関数ほど相対確率密度\(\frac{1}{k’^2+p’^2_x/\hbar^2}\)が小さくなり観測されにくくなる。
※※※式(49),(50)の2行目への変換では次のフーリエ変換の関係
\begin{align*}e^{k’x}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty da\ \frac{1}{k’+ia}e^{-iax}\ \ \ x\text{＜}0\tag{51}\\e^{- k’x}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty da\ \frac{1}{k’+ia}e^{iax}\ \ \ 0\text{＜}x\tag{52}\end{align*}
を用いた。これらの関係は、それぞれに
\begin{align*}\frac{1}{k’+ia}&=\left[\frac{e^{(k’+ia)y}}{k’+ia}\right]^0_{-\infty}\\&=\int_{-\infty}^0dy\ e^{k’y} e^{iay}\\&=\int_{-\infty}^\infty dy\ e^{k’y} e^{iay}\ \ \ y\text{＜}0\tag{53}\\\frac{1}{k’+ia}&=\left[-\frac{e^{-(k’+ia)y}}{k’+ia}\right]^\infty_{0}\\&=\int^{\infty}_0dy\ e^{-k’y} e^{-iay}\\&=\int^{\infty}_{-\infty}dy\ e^{-k’y} e^{-iay}\ \ \ 0\text{＜}y\tag{54}\end{align*}
を代入すると、デルタ関数の関係式
\begin{align*}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty da\ e^{i(x-y)a}=\delta(x-y)\tag{55}\end{align*}
より、
\begin{align*}e^{k’x}=\int_{-\infty}^\infty dy\ e^{k’y}\delta(x-y)\ \ \ y\text{＜}0\tag{56}\\e^{- k’x}=\int_{-\infty}^\infty da\ e^{-k’y}\delta(x-y)\ \ \ 0\text{＜}y\tag{57}\end{align*}
となって成り立つことが分かる。また、3行目への変換では次の置き換えを行なった。
\begin{align*}a=\frac{p_x}{\hbar}\tag{58}\end{align*}
※※※
次ページから⋯
次ページでは、有限の深さの井戸型ポテンシャルにおける散乱状態\(V_1\text{＜}E\)において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式から波動関数の形を求め、透過率と反射率を求める。また、量子反射と共鳴散乱と呼ばれる現象が見られることを確認する。
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