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本ページでは、荷電粒子が従うクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi&=0\end{align*}
を導出し、この方程式がゲージ不変性を持つことを見る。
また、相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン
\begin{align*}H=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}
を求め、正のハミルトニアンは非相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\end{align*}
に静止エネルギー\(mc^2\)を足したものであることを確認する。
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前ページでは、シュレーディンガー方程式には現れなかった負のエネルギー解がクライン-ゴルドン方程式に現れたのは、元となったアインシュタインの関係式
\begin{align*}E^2=m^2c^4+\boldsymbol p^2c^2\end{align*}
がエネルギー\(E\)の二次式だからであることを確認した。
内容
荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式
シュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol \nabla^2\varPsi\tag{1}\end{align*}
において、次の変換
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial t}&\rightarrow\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\tag{2}\\\boldsymbol \nabla&\rightarrow\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\tag{3}\end{align*}
を施せばゲージ変換の下でゲージ不変性を持つ荷電粒子のシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\tag{4}\end{align*}
が得られた(以前のページ参照)。クライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^2+\boldsymbol\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi&=0\tag{5}\end{align*}
においても同様の変換を施すとゲージ変換の下でゲージ不変性を持つ荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi&=0\tag{6}\end{align*}
が得られる。
クライン-ゴルドン方程式のゲージ不変性
荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式(6)がゲージ不変性を持つことを確かめる。
荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式(6)に次のゲージ変換(\(f\)は任意の関数)
\begin{align*}A^0&\rightarrow A'{}^0= A^0-\frac{\partial f}{\partial t}\tag{7}\\\boldsymbol A&\rightarrow\boldsymbol A’= \boldsymbol A +\boldsymbol\nabla f\tag{8}\\\phi&\rightarrow\phi’=e^{\frac{iq}{\hbar}f}\phi\tag{9}\end{align*}
を行ない得られた荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA'{}^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A’}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi’&=0\tag{10}\end{align*}
も変形を繰り返すと元のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}&\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA'{}^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A’}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi’=0\\\rightarrow&\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}-\frac{iq}{\hbar}\frac{\partial f}{\partial t}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}-\frac{iq}{\hbar}\boldsymbol\nabla f\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}e^{\frac{iq}{\hbar}f}\phi=0\\\rightarrow &e^{\frac{iq}{\hbar}f}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\\\rightarrow&\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\tag{6}\end{align*}
となることから、荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式(6)はゲージ不変性を持つことが分かる。
以上より、式(2),(3)の変換をクライン-ゴルドン方程式(5)に施せばゲージ不変性を持つクライン-ゴルドン方程式(6)が得られる。
1点注意だが、荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式(6)がゲージ変換されると式の形は変わらないが、波動関数\(\phi’\)には位相因子\(e^{\frac{iq}{\hbar}f}\)が掛けられており、波動関数\(\phi’\)の位相が\(\frac{q}{\hbar}f\)だけズレている。
相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン
相対論的な荷電粒子におけるハミルトニアン\(H\)を求める。荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi&=0\tag{6}\end{align*}
の全体に\(-\hbar^2c^2\)を掛けると
\begin{align*}\left\{\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-qA^0\right)^2-c^2\left(-i\hbar\boldsymbol\nabla-q\boldsymbol A\right)^2-m^2c^4\right\}\phi&=0\tag{11}\end{align*}
となり、エネルギー演算子\(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\)と運動量演算子\(-i\hbar\boldsymbol \nabla\)をエネルギー\(E\)(ハミルトニアン\(H\))と運動量\(\boldsymbol p\)に置き換え
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}&\rightarrow E=H\tag{12}\\-i\hbar\boldsymbol \nabla&\rightarrow \boldsymbol p\tag{13}\end{align*}
を行なって波動関数\(\phi\)を無視すると
\begin{align*}\left(H-qA^0\right)^2-c^2\left(\boldsymbol p-q\boldsymbol A\right)^2-m^2c^4=0\tag{14}\end{align*}
となり、ハミルトニアン\(H\)について解くと
\begin{align*}H=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{15}\end{align*}
となる。ハミルトニアン\(H\)とエネルギー\(E\)は等しいため、エネルギー\(E\)についても次の式となる。
\begin{align*}E=\pm c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{16}\end{align*}
以前のページで、アインシュタインの関係式
\begin{align*}E^2=\boldsymbol p^2c^2+m^2c^4\tag{17}\end{align*}
に正のエネルギー解と負のエネルギー解
\begin{align*}E=\pm c\sqrt{\boldsymbol p^2+m^2c^2}\tag{18}\end{align*}
が現れていが、今回も正のエネルギー解と負のエネルギー解が現れている。
正のハミルトニアン\(H\)は
\begin{align*}H=+c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\tag{19}\end{align*}
であり、次のように変形
\begin{align*}H&=c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\\&=mc^2\sqrt{1+\frac{1}{m^2c^2}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2}+qA^0\\&=mc^2\left\{1+\frac{1}{2}\frac{1}{m^2c^2}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+\cdots\right\}+qA^0\\&\simeq mc^2+\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0&\tag{20}\end{align*}
を行なうと非相対論における荷電粒子のハミルトニアン(以前のページ参照①,②)
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{21}\end{align*}
に静止エネルギー\(mc^2\)を足した形であることが分かる。
次のページから…
次ページでは、非相対論的極限において正のエネルギー解
\begin{align*}E=+ c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}
における荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\end{align*}
は、荷電粒子のシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\end{align*}
となることを確かめる。
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