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本ページでは、位相空間での経路積分表示(スカラー場)に具体的なハミルトニアンを代入し、フレネル積分を行なうことにより、配位空間での経路積分表示(スカラー場)を求める。
ここで扱うスカラー場は無限連続自由度であり、連続な空間全ての点で自由度がある、ということである。例えば\(x\),\(y\),\(z\)軸からなる3次元空間では、空間の点全ては連続であり、それぞれの点で自由度がある、つまり任意の値を取ることができるイメージである。
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前々ページで、位相空間での経路積分表示(スカラー場)を求めた。
\begin{align*} &K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\int\frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)-\mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\tag{1} \end{align*}
この表示では、指数関数の肩にハミルトニアン密度\(\mathcal H\)があり、このままではスカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)と正準運動量\(\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)を別々に計算することができない。
内容
配位空間とは
配位空間とはスカラー場\(\phi\)のみを変数とする空間であり、この空間において関数はスカラー場\(\phi\)で表される。
配位空間での経路積分表示
位相空間での経路積分表示(スカラー場)に、次のハミルトニアン密度\(\mathcal H\)を代入して、平方完成を行なうことにより、スカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)と正準運動量\(\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)を別々に計算することができる。
\begin{align*}\mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))=\frac{1}{2}\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2+\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2+V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\tag{2}\end{align*}
ここで、ハミルトニアン密度\(\mathcal H\)やポテンシャルエネルギー\(V\)は空間座標\(\boldsymbol x\)と時間\(t\)を表す\(n\)によって値が決まる。さらに、正準運動量\(\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)に関してフレネル積分を行なうことにより、スカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)のみで表すことができ、配位空間での経路積分表示(スカラー場)を求めることが出来る。
実際に式(\(1\))にハミルトニアン密度式(\(2\))を代入して見ると次のようになる。
\begin{align*}&K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\int\frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)-\frac{1}{2}\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2-\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\int\frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{-\frac{1}{2}\left(\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\Big)^2+\frac{1}{2}\Big(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2-\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\tag{3}\end{align*}
※※※2番目の等号では、正準運動量\(\pi_{\scriptsize{\boldsymbol x,n}}\)に関して平方完成を行なった。※※※
そして、次の変数変換
\begin{align*}\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-m\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\rightarrow \pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\tag{4}\end{align*}
を行なうと、スカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)と正準運動量\(\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)を別々に計算することができる(正準運動量\(\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)に積分変数のスカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)や\(\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)\)が含まれているように思えるが、\(N\rightarrow\infty\)の極限では\(\varDelta t\)と合わせて\(\dot \phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)となり、積分変数とは異なるので心配はいらない)。
\begin{align*}&K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\int\frac{\varDelta Vd\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{-\frac{1}{2}\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)+\frac{1}{2}\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2-\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right] \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\int\frac{\varDelta Vd\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\varDelta t\varDelta V\left\{-\frac{1}{2}\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2\right\}\bigg]\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2-\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\tag{5}\end{align*}
※※※2番目の等号では、スカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)と正準運動量\(\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)をそれぞれにまとめた。※※※
最後に、正準運動量\(\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)に対してフレネル積分
\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}d\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\ e^{-\frac{i}{2}b\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2} =\sqrt{\frac{2\pi}{i\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)}}\ \ \ \ (\pi’_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\in\mathbb{R}) \tag{6}\end{align*}
を行なうと、次のように変形できる。
\begin{align*}&K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}} \prod^{N}_{n=1}\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{i\varDelta t\varDelta V}}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2-\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right] \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\sqrt{\frac{ \varDelta V}{2\pi\hbar i\varDelta t}}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2-\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\tag{7}\end{align*}
これが配位空間での経路積分表示(スカラー場)であり、配位空間のためスカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)のみで表されている。
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次ページでは、位置を連続変数と捉えることで、配位空間での経路積分表示(スカラー場)を汎関数積分の形で求める。
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