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本ページでは、クライン-ゴルドン方程式から、1階の時間微分と1階の空間微分を含むディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を求める。
また、ディラック方程式を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)が満たすべき条件
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\ \ \ \ \ (\mu,\nu=0,1,2,3)\end{align*}
を求める。
内容
クライン-ゴルドン方程式への不満
クライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\tag{1}\end{align*}
への不満点として、次の三つが挙げられる。
①方程式が2階の時間微分を含むため、確率密度\(\rho\)は\(\phi\phi^*\)の形をとらず、負の値もとってしまう(以前のページ参照)。
②正のエネルギー解だけでなく、負のエネルギー解を含む(以前のページ参照)。
③正のエネルギー解と負のエネルギー解で扱い方が異なる(以前のページ参照)。
①に関しては、2階の時間微分を含まずに1階の時間微分のみを含む方程式を扱えばよく(以前のページ参照)、これがディラック方程式となる。残念ながら②と③の不満点はディラック方程式でも解決せず、場の量子論に移らなければ解決しない。
ディラック方程式の導出
クライン-ゴルドン方程式は次のように2階の時間微分と2階の空間微分を含む方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\tag{1}\\\left(\partial_\mu\partial^\mu+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi=0\tag{2}\end{align*}
である(式(2)はアインシュタインの縮約記法と微分ベクトルを用いて表している)が、次のように1階の時間微分と1階の空間微分のみを含む方程式に変形できないかを試みる。
\begin{align*}\left\{i\boldsymbol\gamma^0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}-\left(i\boldsymbol\gamma^1\frac{\partial}{\partial x}+i\boldsymbol\gamma^2\frac{\partial}{\partial y}+i\boldsymbol\gamma^3\frac{\partial}{\partial z}\right)-\frac{mc}{\hbar} \right\}\boldsymbol\psi=0\tag{3}\end{align*}
各項の係数\(\boldsymbol\gamma^\mu\)はクライン-ゴルドン方程式と等しくするために付けられており、ガンマ行列と呼ばれる。ガンマ行列は単なる数ではなく、名前のとおり行列であり、行列でなければクライン-ゴルドン方程式と等しくならない。そのことから、クライン-ゴルドン方程式と異なり、波動関数\(\boldsymbol\psi\)も行列で表されており、アインシュタインの縮約記法を用いると
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\tag{4}\end{align*}
と表される。式(3)または式(4)をディラック方程式といい、\(\gamma\)行列はクライン-ゴルドン方程式とディラック方程式とを等しくする働きがあるため、ディラック方程式を満たす波動関数\(\boldsymbol \psi\)はクライン-ゴルドン方程式も次のように満たす。
\begin{align*}\left(\partial_\mu\partial^\mu+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\boldsymbol \psi=0\tag{5}\end{align*}
ガンマ行列の条件
ディラック方程式(4)がクライン-ゴルドン方程式(2)と等しくなるためには、ガンマ行列はどのような条件を満たさなければならないだろうか。
ガンマ行列の条件を求めるために、ディラック方程式(4)を変形した次の関係
\begin{align*}\frac{mc}{\hbar} \boldsymbol\psi=i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu\boldsymbol\psi\tag{6}\end{align*}
をクライン-ゴルドン方程式(2)に代入したいが、方程式(2)の波動関数\(\phi\)は行列ではないため直接代入することはできず、波動関数\(\phi\)を成分に持つ行列の波動関数\(\boldsymbol\psi\)に変えた次の方程式
\begin{align*}\left(\partial_\mu\partial^\mu+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\boldsymbol \psi=0\tag{5}\end{align*}
に代入する必要がある。実際に代入してみると
\begin{align*}\left(\partial_\mu\partial^\mu-\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu\boldsymbol\gamma^\nu\partial_\nu\right)\boldsymbol \psi=0\tag{7}\end{align*}
となり、この式を満たすには次の関係式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu\boldsymbol I_N&=\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu\boldsymbol\gamma^\nu\partial_\nu\tag{8}\end{align*}
を満たさなければならないことが分かる(両辺を行列にするために単位行列\(\boldsymbol I_N\)を付けている)。この関係式を変形すると
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu\boldsymbol I_N&=\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu\boldsymbol\gamma^\nu\partial_\nu\\\rightarrow\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\boldsymbol I_N&=\partial_\mu\partial_\nu\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^\nu\\&=\partial_{\mu}\partial_{\nu}\frac{1}{2}(\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\mu+\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu)\\&=\partial_{\mu}\partial_{\nu}\frac{1}{2}\{\boldsymbol{\gamma}^\mu,\boldsymbol{\gamma}^\nu\}\tag{9}\end{align*}
となり、ガンマ行列は次の関係を満たすことが分かる。
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\ \ \ \ \ (\mu,\nu=0,1,2,3)\tag{10}\end{align*}
※※※式(9)において、2行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\mu\nu}\)を用いて上付き添え字\(\mu\)を下付き添え字\(\nu\)に変えており(以前のページ参照)、\(\partial_\mu\),\(\partial_\nu\)が\(\boldsymbol\gamma^\mu\),\(\boldsymbol\gamma^\nu\)と可換である(積の順序を入れ替えても値が同じになる)ことを用いた。また、3行目への変換では次の関係式
\begin{align*}\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu=\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\mu\tag{11}\end{align*}
を用い、4行目への変換では次の式
\begin{align*}\{\boldsymbol{\gamma}^\mu,\boldsymbol{\gamma}^\nu\}=\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu+\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\mu\tag{12}\end{align*}
のように反交換関係を反交換関係記号\(\{,\}\)を用いて表した。式(11)が成り立つことは、\(\partial_\mu\partial_\nu\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^\nu\)において添え字\(\mu\)と\(\nu\)を入れ替えても値が変わらないこと
\begin{align*}\partial_\mu\partial_\nu\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^\nu=\partial_\nu\partial_\mu\boldsymbol\gamma^\nu\boldsymbol\gamma^\mu\tag{13}\end{align*}
を用いると求めることができる。式(13)の右辺において、\(\partial_\nu\)と\(\partial_\mu\)は可換であるため
\begin{align*}\partial_\mu\partial_\nu\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^\nu&=\partial_\nu\partial_\mu\boldsymbol\gamma^\nu\boldsymbol\gamma^\mu\\&=\partial_\nu\partial_\nu\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^\mu\tag{14}\end{align*}
と書くことができ、この式(14)より式(11)を求めることができる。※※※
次ページから…
次ページでは、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)の固有値は\(\pm1\)、\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)の固有値は\(\pm i\)であり、\(\boldsymbol\gamma^0\)はエルミート行列、\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)は反エルミート行列であることをみる。
また、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)はユニタリ行列でもあり、単位行列\(\boldsymbol I_N\)とガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)は互いに直交することを調べる。
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