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本ページでは、ある系の状態\(\varPsi\)において、古典物理量\(F\),\(G\)の演算子\(\hat F\),\(\hat G\)が可換で、縮重状態ではないとき、演算子\(\hat F\),\(\hat G\)に共通の固有関数である同時固有関数が存在すること、またその逆が成り立つことを確認する。
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前ページでは、ある系の状態\(\varPsi\)において、古典物理量\(F\)の測定を何度も行なって得られる測定値の平均値を期待値\(〈F〉\)といい、波動関数と演算子\(\hat F\)を用いて
と表されることを確認した。
内容
同時固有関数について
ある系の状態\(\varPsi\)において、古典物理量\(F\),\(G\)の演算子\(\hat F\),\(\hat G\)が可換
であるとき、\(\hat F\),\(\hat G\)に共通な固有関数系が存在する、つまり、古典物理量\(F\)と\(G\)は同時に確定値をとることができる。\(\hat F\),\(\hat G\)に共通な固有関数を同時固有関数という。
また、逆に古典物理量\(F\)と\(G\)が同時に確定値をとるとき、古典物理量\(F\),\(G\)の演算子\(\hat F\),\(\hat G\)は可換である。
同時固有関数が存在することの証明
今回は、演算子\(\hat F\),\(\hat G\)の固有値が縮重していないときを考える(縮重しているときは次ページで考える)。
初めに、波動関数\(\psi_i^f\)を演算子\(\hat F\)の固有値\(f_i\)に対応する固有関数とすると、次の固有値方程式
が成り立つ。式(2)の両辺に左から\(\hat G\)を作用させると
となり、演算子\(\hat F\)と\(\hat G\)は可換であるから
と書ける。この式(4)より、関数\(\hat G\psi_i^f\)は固有値\(f_i\)に対応する固有関数であることが分かる。そして、今回は固有値\(f_i\)が縮重していないため、固有値\(f_i\)に対応する固有関数はひとつ\(\psi_i\)しかなく、\(\hat G\psi_i^f\)と\(\psi_i\)は定数倍だけしか変わらないはずである。定数を\(g_i\)とすると、次の関係式
が成り立ち、関数\(\psi_i^f\)が演算子\(\hat G\)の固有値\(g_i\)に対応する固有関数でもあることが分かる。
以上より、演算子\(\hat F\)と\(\hat G\)が可換なとき、状態\(\psi_i^f\)は演算子\(\hat F\),\(\hat G\)に共通の固有関数、つまり、同時固有関数であり、測定\(\hat F\)または\(\hat G\)を行なうと、確定値として\(f_i\)および\(g_i\)が得られる。
可換であることの証明
ここでも、演算子\(\hat F\),\(\hat G\)の固有値が縮重していないときを考える(縮重しているときは次ページで考える)。
初めに、固有関数\(\psi_i\)が演算子\(\hat F\),\(\hat G\)に共通な固有関数、つまり、同時固有関数であるとき
が成立する。次に、式(6),(7)の両辺に左からそれぞれ\(\hat G\),\(\hat F\)を掛けて差をとると
となる。よって
が成り立ち、測定\(\hat F\)または\(\hat G\)を行なって確定値として\(f_i\)および\(g_i\)が得られるとき、演算子\(\hat F\)と\(\hat G\)は可換であることが分かる。