期待値

2024.02.04

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本ページでは…

 本ページでは、ある系の状態\(\varPsi\)において、古典物理量\(F\)の測定を何度も行なって得られる測定値の平均値を期待値\(〈F〉\)といい、波動関数と演算子\(\hat F\)を用いて

\begin{align*}〈F〉=\int dv\ \varPsi^*\hat F\varPsi \end{align*}

と表されることを確認する。

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 前ページでは、系の状態\(\varPsi\)が古典物理量の演算子\(\hat F\)に対応する固有関数\(\psi_i\)の一次結合

\begin{align*}\varPsi=\sum_{i}c_i\psi_i\end{align*}

で表されたとき、古典物理量\(F\)の測定を行なってある固有値が測定値となる確率は、その固有値に対応する固有関数\(\psi_i\)の展開係数の2乗\(\vert c_i\vert^2\)になることを確認した。

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内容

期待値について

 ある系の状態\(\varPsi\)において、古典物理量\(F\)の測定を何度も行なって得られる測定値の平均値を期待値といい、記号\(〈〉\)を用いて期待値を\(〈F〉\)と表す。期待値\(〈F〉\)は、波動関数と演算子\(\hat F\)を用いて

\begin{align*}〈F〉=\int dv\ \varPsi^*\hat F\varPsi \tag{1}\end{align*}

と表される。

期待値の証明

 期待値を表す式(1)の証明を行なう。初めに、系の状態\(\varPsi\)が\(\hat F\)の固有関数\(\psi_i\)の一次結合

\begin{align*}\varPsi=\sum_{i}c_i\psi_i\tag{2}\end{align*}

で表されるとき、測定値\(f_i\)を得る確率は展開係数の2乗\(\vert c_i\vert^2\)になるため、平均値である期待値は

\begin{align*}〈F〉=\sum_i \vert c_i\vert^2 f_i\tag{3}\end{align*}

と表される。次に、式(2)の両辺に演算子\(\hat F\)を作用させると\(\hat F\psi_i=f_i\psi_i\)より

\begin{align*}\hat F\varPsi=&\hat F\sum_{i}c_i\psi_i\\&=\sum_{i}c_i(\hat F\psi_i)\\&=\sum_{i}c_if_i\psi_i\tag{4}\end{align*}

が得られるため、式(1)の右辺を計算すると

\begin{align*}\int dv\ \varPsi^*\hat F\varPsi&=\int dv\ \left(\sum_{i}c_i\psi_i\right)^*\left(\sum_{j}c_jf_j\psi_j\right)\\&=\sum_{i,j}c_i^*c_jf_j\int dv\ \psi_i^*\psi_j\\&=\sum_{i,j}c_i^*c_jf_j\delta_{ij}\\&=\sum_i\vert c_i\vert^2f_i\tag{5}\end{align*}

となり、式(3)より期待値の式

\begin{align*}〈F〉=\int dv\ \varPsi^*\hat F\varPsi \tag{1}\end{align*}

が得られる。

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 次ページでは、ある系の状態\(\varPsi\)において、古典物理量\(F\),\(G\)の演算子\(\hat F\),\(\hat G\)が可換で、縮重状態ではないとき、演算子\(\hat F\),\(\hat G\)に共通の固有関数である同時固有関数が存在すること、またその逆が成り立つことを確認する。

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